!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:polynomial ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ))
----
==Правило знаков Декарта==
Сокращение $ \operatorname{nrr} $ --- **число вещественных корней**[[number of real roots (//англ.//)]].
!!Т!! **Теорема [Декарт].** //Число положительных корней полинома//
$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n \in \mathbb R[x], \quad (a_0> 0,a_n \ne 0)$$
//с учетом их кратностей равно или меньше на четное число ((:algebra2:notations#число_знакопостоянств_знакоперемен числа знакоперемен)) в ряду его коэффициентов//:
$$
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} = {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)-2 k , \quad
k\in \{0,1,2, \dots \} \ .
$$
**Доказательство.**
1.
Докажем сначала, что
$$
{\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)=
\left\{
\begin{array}{cc}
\mbox{ четно} & \iff a_n>0; \\
\mbox{ нечетно} & \iff a_n<0.
\end{array}
\right.
$$
Индукция по $ n $. Для $ n=1 $ верно: поскольку $ a_0>0 $, то
$ {\mathcal V}(a_0,a_1)=0 $ при $ a_1>0 $ и $ {\mathcal V}(a_0,a_1)=1 $ при $ a_1<0 $.
Пусть верно для $ n=k $, докажем для $ n=k+1 $. Воспользуемся равенством
$$
{\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_k,a_{k+1})=
{\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_k)+{\mathcal V}(a_k,a_{k+1}) \, .
$$
Если $ a_k>0 $ то по индукционному предположению $ {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_k) $
--- четно. Тогда $ {\mathcal V}(a_k,a_{k+1})= 0 $ тогда и только тогда, когда
$ a_{k+1}>0 $, и при этом условии число $ {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_k,a_{k+1}) $ остается четным.
При $ a_{k+1}<0 $ получим $ {\mathcal V}(a_k,a_{k+1})= 1 $ и
число $ {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_k,a_{k+1}) $ становится нечетным.
Аналогично рассматривается случай $ a_{k}<0 $. Следовательно, доказываемая альтернатива
справедлива.
2.
Покажем, что числа $ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} $ и $ {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n) $ имеют одинаковую четность:
$$
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \}=
{\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)\pm 2\, k , \quad
k\in \{0,1,2 \dots \}\, .
$$
Если число $ {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n) $ --- четное (нечетное), то по
доказанному в пункте
1
следует, что $ a_n>0 $ (соответственно, $ a_n<0 $). Но тогда,
на основании следствия $ 4 $ к ((:polynomial:geometry теореме Больцано)),
и число $ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} $ --- четное (соответственно, нечетное).
Разность двух чисел одинаковой четности --- четное число, и доказываемая
формула справедлива.
3.
Покажем, что в формуле
$$
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \}=
{\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)\pm 2\, k , \quad
k\in \{0,1,2 \dots \}\, .
$$
знака $ + $ быть не может:
$$
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} \le {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n) \, .
$$
Используем индукцию по степени полинома. Для $ n=1 $
$$f(x)=a_0x+a_1 \Rightarrow \lambda=-a_1/a_0 \
\left\{ \begin{array}{cc}
>0 & \iff a_0a_1<0
\Rightarrow {\mathcal V}=1; \\
<0 & \iff a_0a_1>0 \Rightarrow {\mathcal V}=0.
\end{array}
\right.
$$
Пусть утверждение верно для любого полинома степени $ < n $. Покажем, что
оно справедливо и для полинома степени $ n_{} $. По индукционному предположению
$$\operatorname{nrr} \{ f'(x)=0 \mid x>0 \} \le {\mathcal V}(na_0,(n-1)a_1,\dots,a_{n-1}) =$$
$$={\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_{n-1}) \le {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_{n-1},a_n).$$
(Здесь мы дополнительно предположили, что $ a_{n-1}\ne 0 $.
Если $ a_{n-1}= 0 $, то следует рассматривать полином $ f^{\prime}(x)/x $,
положительные корни которого совпадают с положительными корнями $ f^{\prime}(x) $).
На основании ((:polynomial:geometry#Корни_полинома_и_его_производной следствия к теореме Ролля))
$$\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} \le \operatorname{nrr} \{ f'(x)=0 \mid x>0 \}+1 \le
{\cal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)+1 \, .$$
Но по доказанному в пункте
2
имеем
$$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} \ne {\cal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)+1
$$
(у этих чисел должна быть одинаковая четность). Поэтому и справедливо неравенство
$$
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} \le {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n) \, .
$$
Из него и из равенства из пункта
2
следует утверждение теоремы.
♦
С помощью преобразования корней полинома (см. пункт
1
☞
((#преобразования_корней ЗДЕСЬ)) ) можно доказать следствие:
!!=>!! //Число отрицательных корней полинома//
$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n, \quad (a_0> 0,a_n \ne 0)$$
//с учетом их кратностей можно оценить по формуле//
$$
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x<0 \} = {\mathcal V}(a_0,-a_1,a_2,\dots,(-1)^na_n)-2 k'
\ ,
$$
//а если среди коэффициентов// $ a_{j} $ //нет нулевых, то --- по формуле//
$$
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x<0 \} = {\mathcal P}(a_0,a_1,a_2,\dots,a_n)-2 k' \ ,
$$
где $ k'\in \{0,1,2, \dots \} $ и $ {\mathcal P} $ обозначает ((algebra2:notations#число_знакопостоянств_знакоперемен число знакопостоянств)).
!!П!! **Пример.** Оценить число положительных и число отрицательных корней
полинома
$$ f(x)=x^5-2\, x^4-8\,x^3-x^2-9\, x+1 \, .$$
**Решение.** $ {\mathcal V}(1,-2,-8,-1,-9,1)=2 $.
$$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} =2-2k \ge 0
\ ,$$
следовательно $ f_{}(x) $ имеет либо два, либо ни одного положительного
корня. Далее, по следствию:
$$
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x<0 \} = {\mathcal P}(1,-2,-8,-1,-9,1)=3-2k'\ge 0
\ ,
$$
следовательно $ f_{}(x) $ имеет либо три отрицательных корня, либо один.
**Проверка.** Вещественные корни полинома: $ -2.23233, 0.10863, 4.12369 $.
!!П!! **Пример.** Оценить число положительных и число отрицательных корней
полинома
$$ f(x)=x^5-x^3-1 \, . $$
**Решение.** Здесь $ {\mathcal V}(1,0,-1,0,0,-1)={\mathcal V}(1,-1,-1)=1 $.
$$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} =1-2k \ge 0 \
\Longrightarrow \ = 1 $$
Далее, на основании __первой__ формулы из следствия имеем
$$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x<0 \}
={\mathcal V}(1,0,-1,0,0,1)-2k'=2-2k' =
\left\{
\begin{array}{cc}
2 & npu \ k'=0; \\
0 & npu \ k'=1.
\end{array}
\right.
$$
**Ответ.** Полином имеет один положительный и либо два, либо ни
одного отрицательного корня.
Заметим, что формальное применение для решения последнего примера __второй__ формулы из следствия дало бы неправильную оценку для $ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x<0 \} $.
!!=>!! Если каким-то образом заранее известно, что все корни полинома вещественны, то число положительных из них определяется по правилу знаков Декарта однозначно:
$$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} = {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n) \ . $$
!!П!! **Пример.** Характеристический полином вещественной симметричной матрицы удовлетворяет условию следствия. См.
☞
((:algebra2:charpoly:symm ЗДЕСЬ)).
Не смотря на кажущуюся грубость (приблизительность) оценки, правило знаков Декарта позволяет иногда делать достаточно глубокие выводы относительно корней полинома. В частности, из него следует, что чем больше коэффициентов полинома $ f_{}(x) $ обращается в нуль[[Полином с большим количеством нулевых коэффициентов называется **разреженным**.]], тем меньше у него потенциальных возможностей иметь вещественные корни!
!!?!! ((#istochniki [2])) Пусть $ a_0\ne 0, a_n\ne 0 $ и $ 2m, m \in \mathbb N $ последовательных коэффициентов полинома $ f(x) $ равны нулю. Доказать, то $ f(x) $ имеет по крейней мере $ 2m $ мнимых корней.
!!=>!! Из ((polynomial:taylor формулы Тейлора)) вытекает следующее неравенство
$$
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>a \} = {\mathcal V}(f(a),f^{\prime}(a),\dots, f^{(n)}(a))-2 k , \quad
k\in \{0,1,2, \dots \} \ .
$$
==Источники==
[1]. **Окунев Л.Я.** //Высшая алгебра//. М. Учпедгиз. 1958
[2]. **Полиа Г.**, **Сеге Г.** //Задачи и теоремы из анализа. Т 2, отдел 5, глава 1.// М.Наука.1978