==Полином одной переменной==
~~TOC~~
!!§!! Полиномы нескольких переменных рассматриваются
☞
((:polynomialm ЗДЕСЬ)).
Будем обозначать через $ \mathbb A_{} $ какое-либо из множеств $ \mathbb Z,\mathbb Q, \mathbb R_{} $ или
$ \mathbb C_{} $.
===Общая информация==
Функция вида
$$
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n = \sum_{j=0}^n a_jx^{n-j}
$$
при $ n_{} \in \{0,1,\dots \} $ и $ \{a_{0},\dots,a_n\}\subset \mathbb A $ относительно переменной $ x_{} $ называется
**полиномом**[[$ \pi o \lambda \acute \upsilon $ --- много, бóльшая часть, основная масса; $ \nu o \mu \acute o \varsigma $ --- округ, область, часть.]]
или **многочленом** от указанной переменной над множеством $ \mathbb A_{} $. Число $ a_{j} $
называется **коэффициентом**[[co(cum)-efficients (//лат.//) --- совместно производящий. Термин придуман Декартом.]] полинома (при $ (n-j)_{} $-й степени переменной),
выражение $ a_{j}x^{n-j} $ --- **членом** (**одночленом**) **полинома**,
$ a_{n} $ --- **свободным членом**, $ x_{}^{n-j} $ --- **мономом**.
!!П!! **Пример.** Выражения
$$ x^{2}+2\,x-679,\ x^{2}+\sqrt{2}x-\pi , \ {\mathbf i} \, x^{3}- 2\,x +\sqrt{3} $$
являются полиномами; а
$$ x^{-2}+3\, x +x^{2} ,\ x^{x}, \ \sum_{j=0}^{\infty} x^{j}/j_{} $$
полиномами не являются.
Если $ a_{0}\ne 0 $, то член $ a_0x^{n} $ называется **ведущим членом**, а
$ a_{0} $ --- **старшим коэффициентом** полинома. При этом
число $ n_{} $ называется **степенью** полинома и обозначается[[degree (//aнгл.//) --- степень, порядок, градус.]] $ \deg f_{}(x) $.
Полином первой степени называется **линейным полиномом**.
Полином, все коэффициенты которого, кроме, возможно, $ a_{n} $, равны нулю,
называется **константой**[[constans (//лат.//) ---
постоянный, неизменный.]]; будем обозначать его //**const**//.
Очевидно, что степень константы равна нулю; исключительным для этого
утверждения является случай когда константа является нулем.
Если все коэффициенты полинома равны нулю,
то такой полином называется (**тождественно**) **нулевым**. В этом
случае его степень не определяется.
На переменную $ x_{} $ мы пока не накладываем ни какого ограничения: она может
принимать значения из любого указанного выше множества --- не обязательно
из того, которому принадлежат коэффициенты полинома. Обозначим область
определения полинома через $ \mathbb B_{} $.
**Значением полинома при** (или **в точке**) $ c\in \mathbb B_{} $ называется число
$$
f(c) = a_0c^n+a_1c^{n-1}+\dots+a_n \ .
$$
Два полинома
$$ f(x)=a_0x^n+\dots+a_n \ u \ g(x)=b_0x^m+\dots+b_m $$
с коэффициентами из $ \mathbb A $ называются (**тождественно**) **равными**:
$$ f(x)\equiv g(x) $$
если совпадают множества их членов; или, что то же, равны их степени
и равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
Это определение отличается от привычного определения равенства двух функций:
две функции $ F_{}(x) $ и $ G(x)_{} $ называются равными на множестве $ \mathbb B_{} $ если
совпадают их значения при любом $ x \in \mathbb B_{} $.
На самом деле, для случая полиномов эти два определения --- **алгебраическое** и **функциональное** --- эквивалентны.
!!Т!! **Теорема.** $ f_{}(x)\equiv g(x) $ //тогда и только тогда, когда//
$ f(c)=g(c)_{} $ //для// $ \forall c\in \mathbb B_{} $.
Одним из следствий теоремы является тот факт, что для полинома совершенно
не важен порядок следования его членов; в частности, наряду с записью
полинома по убывающим степеням переменной, мы имеем право
записывать его и по возрастающим: $ f_{}(x)= \sum_{j=0}^n a_{n-j}x^{j} $.
Форма полинома, в которой его разложение записывается
по убывающим степеням переменной, называется его **канонической формой**.
Кроме того, теорема дает нам право на операцию, называемую
**приведением подобных членов**:
$$ ax^{j}+bx^j \equiv (a+b)x^j, \quad ax^j\cdot bx^k=ab x^{j+k} \ .$$
Имея в виду этот факт, определим теперь две основные операции для полиномов:
сложение и умножение.
**Суммой** двух полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ называется полином, составленный как сумма всех одночленов, входящих в состав
$ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $:
$$ f(x) + g(x) =
$$
$$
=(a_n+b_m) + (a_{n-1}+b_{m-1})x+\dots +
\left\{\begin{array}{ll}
(a_0+b_0)x^n & \ \mbox{при} \ m=n, \\
a_0x^n & \mbox{при} \ mn.
\end{array} \right.
$$
!!Т!! **Теорема.** $ \deg (f+g_{})\le \max (\deg f, \deg g) $.
**Произведением** двух полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ называется полином, составленный как сумма всевозможных попарных произведений членов первого полинома на члены второго:
$$
\begin{matrix}
f(x)g(x) &=& a_0b_0x^{n+m}+(a_1b_0+a_0b_1)x^{n+m-1}
+(a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2)x^{n+m-2}+ \\
& &+\dots + (a_0b_k+a_1b_{k-1}+\dots+a_kb_0)x^{n+m-k}+ \dots + a_nb_m \ .
\end{matrix}
$$
(В записи коэффициента при $ x^{n+m-k} $ мы полагаем $ a_{j}= 0 $ при $ j>n_{} $ и
$ b_{\ell} = 0 $ при $ \ell>m_{} $).
!!Т!! **Теорема.** //Если// $ f_{}(x) \not\equiv 0 $ //и// $ g_{}(x) \not\equiv 0 $,
//то//
$$ \deg (f\cdot g_{})= \deg f + \deg g_{} \, . $$
Фактическое выполнение операции перемножения полиномов возможно по схеме,
напоминающей алгоритм умножения целых чисел "столбиком": это позволяет
сэкономить время на выписывание степеней переменной.
!!П!! **Пример.** Перемножить полиномы
$$ x^{5}+x^3-2\,x^2+3 \quad \mbox{ и } \quad 2\, x^{4}-3\,x^3 +4\,x^2-1 \, . $$
**Решение.** Представим полиномы наборами их коэффициентов, расположив
один из них горизонтально, а второй --- вертикально. Умножение полинома
$ f_{}(x) $ на $ b_{j}x^{n-j} $ сводится к умножению набора $ (a_{0},\dots,a_n) $
на $ b_{j} $; результат следующего умножения --- на $ b_{j+1}x^{n-j-1} $ ---
получается аналогичным образом, но записывается со сдвигом на одну позицию
вправо. Получившиеся ряды суммируются по столбцам.
$$
\begin{array}{r|rrrrrrrrrr}
&1 & 0 & 1 & -2& 0 & 3 \\
\hline
2 & 2 & 0 & 2 & -4 & 0 & 6 \\
-3& & -3 & 0 & -3 & 6 & 0 & -9 \\
4 & & & 4 & 0 & 4 & -8 & 0 & 12 \\
0 & & & \\
-1 &&&&& -1 & 0 & -1 & 2 & 0 & -3 \\
\hline& 2 & -3 & 6 & -7 & 9 & -2 & -10 & 14 & 0 & -3
\end{array}
$$
(В отличие от перемножения чисел здесь результаты сложения в столбиках не
переносятся в следующий разряд.)
**Ответ.** $ 2\,x^{9}-3\,x^8+6\,x^7-7\,x^6+9\,x^5-2\,x^4-10\,x^3+14\,x^2 - 3 $.
Множество всех полиномов от переменной $ x_{} $ с коэффициентами из $ \mathbb A_{} $
будем обозначать $ \mathbb A_{} [x] $.
!!§!! Способы более эффективного умножения полиномов излагаются
☞
((:interpolation:dft:polynom_mult ЗДЕСЬ))
===Схема Хорнера==
**Задача.** Вычислить значение полинома в точке $ c $.
Схема вычисления, заложенная в самом определении, "стóит" $ 3n_{}-1 $ операции:
$$ \begin{array}{rrrrr}
& &c^2=c\times c, & \dots, & c^n=c^{n-1}\times c \ , \\
&a_{n-1} \times c, & a_{n-2} \times c^2, & \dots, & a_0 \times c^n \ ,\\
a_n & +a_{n-1} \times c & + a_{n-2} \times c^2 & + \dots & + a_0 \times c^n,
\end{array}
$$
т.е. $ 2n_{}-1 $ операции умножения и $ n_{} $ операций сложения. Организуем теперь
вычисления по-другому:
$$
\begin{matrix}
f(c)&=&a_n+a_{n-1}c+a_{n-2}c^2+\dots +a_1c^{n-1}+a_0c^n = \\
&=&a_n+c\left(a_{n-1}+a_{n-2}c+ \dots + a_0c^{n-1} \right) = \\
&= &a_n+c\left(a_{n-1}+c\left(a_{n-2}+\dots + a_0c^{n-2} \right) \right) = \\
&=& \dots = \\
&=&a_n+c\left(a_{n-1}+c\left(a_{n-2}+\dots + c(a_1+ a_0c)\dots \right) \right) .
\end{matrix}
$$
Начинаем вычислять с самой внутренней скобки:
$${\mathfrak b}_1= a_1+ a_0c,\ {\mathfrak b}_2= a_2+ {\mathfrak b}_1 c,\dots,
{\mathfrak b}_{n-1} = a_{n-1} +{\mathfrak b}_{n-2}c,\, {\mathfrak b}_{n} = a_{n} +{\mathfrak b}_{n-1}c=f(c)
$$
Вычисление каждой величины $ {\mathfrak b}_{k} $ "стоит" $ 2_{} $ операции --- одного
сложения и одного умножения (при условии, что предварительно вычислено $ {\mathfrak b}_{k-1}^{} $).
Приведем компактную запись алгоритма:
$$
{\mathfrak b}_k = a_k + {\mathfrak b}_{k-1}c \quad npu \quad {\mathfrak b}_0 = a_0 \quad u \quad
k\in \{1,\dots,n \}
\ .
$$
"Стоимость" вычисления значения $ f_{}(c) $ по этой **схеме Хорнера** составляет
$ 2n_{} $ операций. Налицо экономия по сравнению с прямым способом вычисления $ f_{}(c) $.
Вычисления удобно производить с помощью таблицы, стартовое состояние которой следующее:
$$
\begin{array}{c|ccccccc}
& a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\
\hline
c & a_0
\end{array}
$$
Будем отсчитывать строки сверху вниз, начиная от горизонтальной черты, т.е.
нулевой строкой будем считать строку из коэффициентов полинома.
Вычисление значения $ {\mathfrak b}_{1} $ в первой строке производится по схеме: предыдущее число умножается на $ c_{} $ и складывается с верхним, т.е.
$$
\begin{array}{c|ccccccc}
& a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\
\hline
c & a_0 & \underbrace{a_1+ca_0}_{{\mathfrak b}_1}
\end{array}
$$
Далее вычисления идут по тому же правилу:
$$
\begin{array}{c|ccccccc}
& a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\
\hline
c & a_0 &{\mathfrak b}_1&\underbrace{a_2+c{\mathfrak b}_1}_{{\mathfrak b}_2}
\end{array}
$$
и т.д. Величина, получившаяся в последнем столбце, и будет искомым значением $ f_{}(c) $:
$$
\begin{array}{c|ccccccc}
& a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\
\hline
c & a_0 &{\mathfrak b}_1&{\mathfrak b}_2&\dots &{\mathfrak b}_{n-2} & {\mathfrak b}_{n-1}&
\underbrace{a_n+c{\mathfrak b}_{n-1}}_{{\mathfrak b}_n=f(c)}
\end{array}
$$
!!П!! **Пример.** Вычислить значение полинома $ x^{5}-3\, x +1 $ в точке $ 2+ \mathbf i_{} $.
**Решение.**
$$
\begin{array}{c|cccccc}
& 1 & 0 & 0 & 0 & -3 & 1 \\
\hline
2+ \mathbf i & 1& 2+\mathbf i &3+4 \mathbf i &2+11 \mathbf i & -10+24\mathbf i& -43+38\mathbf i
\end{array}
$$
**Ответ.** $ -43+38\mathbf i_{} $.
Выясним теперь смысл коэффициентов $ {\mathfrak b}_{1},\dots, {\mathfrak b}_{n-1} $
первой строки схемы Хорнера.
!!Т!! **Теорема.** //Пусть// $ c\in \mathbb B_{} $ //и// $ \mathbb B\subset \mathbb A_{} $. //Полином//
$ f_{}(x)\in \mathbb A[x] $ //допускает единственное представление в виде://
$$
f(x)\equiv (x-c)q(x)+r \ npu \ r=const\in \mathbb A,\ q(x)\in \mathbb A[x],
\deg q = \deg f - 1 \ .
$$
**Доказательство.** Будем искать константу $ r_{} $ и полином $ q_{}(x) $ методом неопределенных
коэффициентов:
$ q(x)= q_{0}x^{n-1}+q_1x^{n-2}+ \dots + q_{n-1} $. Подставим его в правую часть доказываемого
тождества, приведем подобные и приравняем коэффициенты
полученного полинома коэффициентам полинома $ f_{}(x) $. Получим линейные уравнения,
из которых последовательно определяем $ q_{0},q_1, \dots, q_{n-1} $ :
$$
\begin{array}{l|lll}
x^n& a_0&=q_0, & \\
x^{n-1}& a_1&=q_1-q_0c &\Rightarrow q_1=a_1+q_0c, \\
x^{n-2}& a_2&=q_2-q_1c &\Rightarrow q_2=a_2+q_1c, \\
\vdots & & \dots & \\
x & a_{n-1}&=q_{n-1}-q_{n-2}c &\Rightarrow q_{n-1}=a_{n-1}+q_{n-2}c,\\
1 & a_n&=\qquad -q_{n-1}c+r & \Rightarrow r=a_n+q_{n-1}c.
\end{array}
$$
Видим, что формулы, определяющие коэффициенты $ q_{k} $, полностью совпадают
с формулами, определяющими элементы первой строки
схемы Хорнера, т.е. $ q_0={\mathfrak b}_{0},\dots,q_{n-1}={\mathfrak b}_{n-1} $.
Но тогда $ r=a_n+q_{n-1}c=a_{n}+{\mathfrak b}_{n-1}c={\mathfrak b}_{n}=f(c) $.
♦
Итак, имеем:
$$q(x)={\mathfrak b}_0x^{n-1}+\dots+{\mathfrak b}_{n-1},\ r={\mathfrak b}_{n} \ , $$
при этом все коэффициенты вычисляются по схеме Хорнера, а старший коэффициент
полинома $ q_{}(x) $ совпадает со старшим коэффициентом $ f_{}(x) $. Так, для полинома приведенного выше примера имеет место тождество:
$$x^5-3\, x +1 \equiv
$$
$$
\equiv (x-2-\mathbf i)\left(x^4+ (2+\mathbf i)x^3+(3+4\,\mathbf i)x^2+ (2+11\,\mathbf i)x
-10+24\,\mathbf i \right) -43+38 \mathbf i \ .
$$
Фактически результат предыдущей теоремы говорит о возможности __деления__ полинома $ f_{}(x) $ на линейный полином $ (x-c)_{} $ с остатком. Строгое определение операции деления полиномов дается
☟
((#делимость_полиномов НИЖЕ)).
Алгоритм схемы Хорнера можно развить и до вычисления значений ((#производные_от_полинома производных от полинома)) $ f(x_{}) $ в точке $ c_{} $. См.
☞
((:polynomial:taylor ЗДЕСЬ)).
===Корни==
Если значение полинома $ f_{}(x) $ при $ x=c\in \mathbb B_{} $ равно нулю, то число $ c_{} $ называется **корнем** полинома $ f_{}(x) $.
Иными словами, корень полинома $ f_{}(x) $ --- это решение уравнения $ f_{}(x)=0 $, принадлежащее множеству
$ \mathbb B_{} $.
"Корень"
как название неизвестной величины, которую требуется определить ("извлечь") из уравнения,
является переводом арабского слова
ریشه
"джизр, джазир" --- буквально означающего
"корень растения". В свою очередь, арабский вариант, по-видимому, является переводом санскритского слова "мула", применявшегося индийскими
учеными для обозначения квадратного корня.
Уравнение $ f_{}=0 $, в левой части которого стоит полином одной или
((#полином_нескольких_переменных нескольких)) переменных, называется **алгебраическим**.
**Задача.** Выяснить количество корней полинома $ f_{}(x)\in \mathbb A[x] $,
принадлежащих множеству $ \mathbb B_{} $, и вычислить их.
**Решить** алгебраическое **уравнение** $ f_{}(x)=0 $ **над множеством**
$ \mathbb B $ означает найти все корни $ f_{}(x) $, принадлежащие $ \mathbb B_{} $.
На основании теоремы из предыдущего пункта имеет место следующая
!!Т!! **Теорема [Безу].** //Пусть// $ \mathbb B \subset \mathbb A_{} $ и $ c\in \mathbb B_{} $ --- //корень полинома// $ f_{}(x), \deg f\ge 1 $. //Тогда полином// $ f_{}(x)\in \mathbb A [x] $ //допускает представление в виде произведения://
$$
f(x)\equiv (x-c)f_1(x) \ ,
$$
//где полином// $ f_{1}(x)\in \mathbb A [x], \deg f_1 = \deg f - 1 $ //определяется единственным образом.//
Итак, теорема Безу утверждает, что в случае существования корня полинома,
возможно разложение этого полинома в произведение двух полиномов --- одного
первой степени и одного полинома степени, на единицу меньшей исходного.
Тем самым, задача о нахождении корней полинома $ f_{}(x) $ сведется к аналогичной
задаче для полинома $ f_{1}(x) $; вторая задача может оказаться более простой
за счет понижения степени.
Фактическое нахождение полинома $ f_{1}(x) $ возможно произвести с помощью схемы Хорнера.
!!П!! **Пример.** Решить уравнение
$$ x^{3}+3 \mathbf i\, x^2-3(1+2 \mathbf i)x+10-5 \mathbf i =0 $$
над множеством $ \mathbb C_{} $, если известно, что число $ (-1-2 \mathbf i)_{} $ --- одно из его решений.
**Решение.** Строим схему Хорнера:
$$
\begin{array}{c|cccc}
& 1& 3\mathbf i & -3(1+2 \mathbf i) & 10-5 \mathbf i \\
\hline
-1-2 \mathbf i & 1& -1+ \mathbf i & -5 \mathbf i & 0
\end{array}
$$
Видим, что число $ (-1-2 \mathbf i)_{} $ действительно является корнем полинома, и, следовательно, последний раскладывается в произведение двух полиномов: линейного и квадратичного. Коэффициенты квадратичного полинома выбираются из той же схемы:
$$ (x+1+2 \mathbf i )(x^2 + (-1+ \mathbf i )x- 5 \mathbf i) \ . $$
Квадратное уравнение над $ \mathbb C_{} $ можно решить (см.
☞
((:complex_num#квадратный_корень ЗДЕСЬ)) ), его корни:
$ (-1-2 \mathbf i)_{} $ и $ 2+\mathbf i_{} $.
**Ответ.** $ (-1-2 \mathbf i), 2+ \mathbf i_{} $.
Если полином $ f_{}(x) $ раскладывается в произведение $ f_{}(x)\equiv (x-c)f_1(x) $, то полином $ (x-c) $ называется **линейным множителем** для $ f_{}(x) $ **над множеством** $ \mathbb B_{} $.
!!=>!! Для того, чтобы $ (x-c)_{} $ был линейным множителем для $ f_{}(x) $ необходимо и достаточно чтобы число $ c_{} $ было корнем $ f_{}(x) $.
Начиная с этого места, корни полинома будем обозначать греческими буквами: $ \lambda, \mu_{} $ и т.д.
Примеры показывают, что не для всякого полинома и множества $ \mathbb B_{} $
корни существуют. Очевидно не имеет корней полином нулевой степени
(константа, отличная от нуля); любой полином первой степени над $ \mathbb A_{} $
имеет единственный корень, принадлежащий $ \mathbb A_{} $.
Квадратный полином $ x^{2}+1 $ не имеет вещественных корней,
но имеет мнимые.
===Основная теорема высшей алгебры==
!!Т!! **Теорема.** //Любой полином с комплексными коэффициентами, степень которого больше нуля, имеет хотя бы один корень, в общем случае, комплексный.//
Эта теорема гарантирует существование корня $ \lambda_{1}\in \mathbb C $.
На основании теоремы Безу, можно утверждать, что $ f_{}(x) $ допускает представление
$$ f(x)\equiv (x-\lambda_1)f_1(x) \quad npu \quad f_1(x)\in \mathbb C [x],\ \deg f_1(x)=\deg f(x) -1 \ .$$
Если $ \deg f_{1}(x) \ge 1 $, то, по той же теореме, полином $ f_{1}(x) $
также должен обладать корнем, который мы обозначим[[Он не обязательно
отличается от $ \lambda_{1} $.]] $ \lambda_{2} $; теорема Безу гарантирует тогда представление
$$
f(x)\equiv (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)f_2(x) \quad npu \quad f_2(x)\in \mathbb C [x],\ \deg f_2(x)=\deg f(x) -2
\ .$$
Продолжая процесс далее, мы за $ n_{} $ шагов придем к представлению
$$
f(x)\equiv (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\times \dots \times (x-\lambda_n)f_n(x) \quad npu \quad f_n(x)\in \mathbb C[x],\ \deg f_n(x)=0
\ ,$$
т.е. полином $ f_{n}(x)^{} $ представляет собой константу. На основании условия
тождественного равенства полиномов утверждаем, что $ f_{n}(x) \equiv a_0 $.
Таким образом приходим к следующей альтернативной версии основной теоремы высшей алгебры.
!!Т!! **Теорема.** //Для произвольного полинома// $ f_{}(x) $ //степени// $ n_{}\ge 1 $
//существует его представление в виде произведения линейных множителей//
$$
f(x)\equiv a_0(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\times \dots \times (x-\lambda_n) \ ;
$$
//это представление единственно с точностью до перестановки сомножителей.//
Как уже отмечалось в доказательстве теоремы, в этом представлении
могут встречаться одинаковые линейные сомножители. Собрав их вместе, получим
иной вид этого представления
$$
f(x)\equiv a_0(x-\lambda_1)^{{\mathfrak m}_{1}}\times
\dots \times
(x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}}} \ , npu\
{\mathfrak m}_{1}+{\mathfrak m}_{2}+\dots+{\mathfrak m}_{\mathfrak r}=n
$$
и все числа $ \lambda_{1},\dots,\lambda_{\mathfrak r} $ теперь различны. Эта
формула называется формулой **разложения полинома** $ f_{}(x) $ **на линейные сомножители** или **линейным представлением полинома** $ f_{}(x) $; при этом число
$ {\mathfrak m}_{j}^{}\in \mathbb N $ называется **кратностью линейного сомножителя**
$ x-\lambda_{j} $ или **кратностью корня ** $ \lambda_{j} $ в полиноме $ f_{}(x) $.
Корень $ \lambda_{j} $ называется **простым**, если $ {\mathfrak m}_{j}=1_{} $ и
**кратным кратности** $ {\mathfrak m}_{j}^{} $ если $ {\mathfrak m}_{j}>1_{} $ (двойным или двукратным, если $ {\mathfrak m}_{j}=2_{} $, тройным или трехкратным если $ {\mathfrak m}_{j}=3_{} $ и т.д.)
Здесь имеет место неоднозначность математической терминологии:
простой корень --- не обязательно ((:numtheory#простые_числа простое число))!
!!П!! **Пример.** Найти линейное представление полинома
$$ f(x)=x^{6}-2\, x^3+1 \, .$$
**Решение.** Линейное представление легко получить если сначала заметить, что $ f(x)\equiv (x^3-1)^{2} $, а затем использовать
выражения для ((:complex_num#корни_из_единицы корней кубических из единицы)):
$$f(x)\equiv (x-1)^2 \left(x- \frac{-1+ \mathbf i \sqrt{3}}{2} \right)^2
\left(x- \frac{-1 - \mathbf i \sqrt{3}}{2} \right)^2
\ .
$$
Все корни полинома имеют вторую кратность.
♦
!!§!! Выведение условия наличия кратного корня (в терминах коэффициентов полинома)
☞
((#производные_от_полинома ЗДЕСЬ)). При известном корне, нахождение его кратности
☞
((#формула_тейлора ЗДЕСЬ)).
!!Т!! **Теорема.** //Два полинома, степени которых
не превосходят// $ n_{} $, //равны тождественно если они имеют равные значения более
чем при// $ n_{} $ //различных значениях переменной.//
**Доказательство** необходимости очевидно. Если полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ удовлетворяют условию теоремы, то полином $ f(x)-g_{}(x) $ должен иметь более,
чем $ n_{} $ корней, что, ввиду основной теоремы высшей алгебры, возможно лишь если он тождественно
нулевой.
♦
Теорема утверждает, что полином $ f_{}(x) $ степени,
$ \le n_{} $, однозначно определяется своими значениями при более чем $ n_{} $
различных значениях переменной. Можно ли эти значения задавать произвольно?
Оказывается задание $ (n+1)_{} $-й пары $ (x_{1},y_1),\dots,(x_{n+1},y_{n+1}) $
при всех различных $ x_{1},\dots,x_{n+1} $ позволяет __однозначно__ определить
полином $ f_{}(x) $ такой, что $ f(x_{1})=y_1,\dots,f(x_{n+1})=y_{n+1} $ и
$ \deg f_{} \le n $. Практические способы решения этой задачи обсуждаются в разделе
☟
===Интерполяция==
Раздел находится
☞
((:interpolation#интерполяция ЗДЕСЬ)).
===Корни и коэффициенты полинома==
====Симметрические функции корней==
Разложение полинома $ f_{}(x) $ на линейные множители дает интересные
соотношения между корнями полинома и его коэффициентами. Сначала выведем их
для малых степеней. Для $ n_{}=2 $:
$$a_0x^2+a_1x+a_2\equiv a_0(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\equiv
a_0x^2-a_0(\lambda_1+\lambda_2)x+a_0\lambda_1\lambda_2 \
\Rightarrow \
$$
$$
\Rightarrow \
\left\{ \begin{array}{ccr}
\lambda_1+\lambda_2&=&-a_1/a_0, \\
\lambda_1\lambda_2&=&a_2/a_0,
\end{array}
\right.
$$
т.е. получили формулы известные из школьного курса алгебры. Далее, для $ n_{}=3 $:
$$a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\equiv a_0(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)(x-\lambda_3)\equiv $$
$$\equiv
a_0x^3-a_0(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)x^2+a_0(\lambda_1\lambda_2
+ \lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)x-a_0\lambda_1\lambda_2\lambda_3 \
\Rightarrow \
$$
$$
\Rightarrow \
\left\{ \begin{array}{ccr}
\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3&=&-a_1/a_0, \\
\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3&=&a_2/a_0,\\
\lambda_1\lambda_2\lambda_3&=&-a_3/a_0.
\end{array}
\right.
$$
!!Т!! **Теорема.** //Для корней// $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ //полинома//
$$ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n,\, a_0\ne 0 $$
//справедливы// **формулы Виета**
$$
\sum_{1 \le j\le n} \lambda_j = \lambda_1+ \dots+ \lambda_n= -\frac{a_1}{a_0},
$$
$$
\sum_{1\le j_1
☞