== Основные свойства и теоремы ==

=== Таблица оригиналов и изображений ===

 
^  f(t)                     ^  F(p)                                        ^      
| $$1$$                     |  $\displaystyle\frac{1}{p}$                  | 
| $$e^{\lambda t}$$         |  $\displaystyle\frac{1}{p-\lambda}$          |
| $$\mbox{sin}\,\omega t$$  |  $\displaystyle\frac{\omega}{p^2+\omega^2}$  | 
| $$\mbox{cos}\,\omega t$$  |  $\displaystyle\frac{p}{p^2+\omega^2}$       |
| $$t$$                     |  $\displaystyle\frac{1}{p^2}$                |
| $$t^n$$                   |  $\displaystyle\frac{n!}{p^{n+1}}$           |
| $$\mbox{sh}\,\omega t$$   |  $\displaystyle\frac{\omega}{p^2-\omega^2}$  |
| $$\mbox{ch}\,\omega t$$     |  $\displaystyle\frac{p}{p^2-\omega^2}$     |
| $$t\,\mbox{sin}\,\omega t$$ |  $\displaystyle\frac{2p\omega}{(p^2+\omega^2)^2}$      |
| $$t\,\mbox{cos}\,\omega t$$ |  $\displaystyle\frac{p^2-\omega^2}{(p^2+\omega^2)^2}$  |
| $$e^{\lambda t}\mbox{sin}\,\omega t$$ |  $\displaystyle\frac{\omega}{(p-\lambda)^2+\omega^2}$     |
| $$e^{\lambda t}\mbox{cos}\,\omega t$$ |  $\displaystyle\frac{p-\lambda}{(p-\lambda)^2+\omega^2}$  |  
| $$e^{\lambda t}\,t$$                  |  $\displaystyle\frac{1}{(p-\lambda)^{2}}$                 |
| $$e^{\lambda t} \,t^n$$               |  $\displaystyle\frac{n!}{(p-\lambda)^{n+1}}$              |
 
=== Основные теоремы ===
 
^  Оригинал                 ^  Изображение                                 ^  Свойство  ^  
|  $\alpha f(t)+\beta g(t),\, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$        |  $\alpha F(p)+\beta G(p)$   | ((:opLaplace;course#Свойство_линейности Свойство линейности))  |
|  $$f(at),\, a\in  R,\, a>0$$   |  $\displaystyle\frac{1}{a}F\left(\displaystyle\frac{p}{a}\right)$  | ((:opLaplace;course#теорема_подобия Теорема подобия)) |
|  $e^{\alpha t}\cdot f(t)$    |  $F(p-\alpha)$  | ((:opLaplace;course#теорема_смещения Теорема смещения))  |
|  $f(t-\tau)$, $ \tau \in R$, $\tau>0$  |  $e^{-p\tau}\cdot F(p)$  | ((:opLaplace;course#теорема_запаздывания Теорема запаздывания)) |
|  $f^{(n)}(t)$  | $p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-\ldots - f^{(n-1)}(0)$ | ((:opLaplace;course#Дифференцирование_оригинала Дифференцирование оригинала)) |
|  $ (-1)^n t^n f(t)$  |  $F^{(n)}(p)$  | ((:opLaplace;course#Дифференцирование_изображения Дифференцирование изображения)) |
|  $\int\limits_0^t f(\tau)d\tau$  |  $\displaystyle\frac{F(p)}{p}$  | ((:opLaplace;course#Интегрирование_оригинала Интегрирование оригинала)) |
|  $\displaystyle\frac{f(t)}{t}$  |  $\int\limits_p^{+\infty}F(p)dp$  | ((:opLaplace;course#Интегрирование_изображения Интегрирование изображения)) |
|  $\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$  |  $$F(p)\cdot G(p)$$  | ((:opLaplace;course#Теорема_о_свертке_(умножение_изображений) Умножение изображений (теорема о свёртке)) |
|  $f(0)\cdot g(t)+\int\limits_0^t f'(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau$  | $$p\cdot F(p)\cdot G(p) $$ | ((:opLaplace;course#Следствие_теоремы_о_свёртке_(интеграл_Дюамеля) Интеграл Дюамеля)) |
|  $$ f(t)\cdot g(t) $$  |  $\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(q)\cdot G(p-q)\,dq$  | ((:opLaplace;course#Теорема_об_умножении_оригиналов Теорема об умножении оригиналов)) |