== Свойства преобразования Лапласа ==

<note>
Будем использовать следующие обозначения:

Функции действительного переменного $f(t)$, $g(t)$ являются оригиналами,\\ 
функции комплексного переменного $F(p)$, $G(p)$ являются изображениями:
$ f(t)\risingdotseq F(p), \,\, g(t)\risingdotseq G(p).$
</note>

=== Свойство линейности ===
Пусть $\alpha$, $\beta \in \mathbb{C}$. Тогда изображение линейной комбинации функций $f(t)$ и $g(t)$ является линейной комбинацией их изображений $F(p)$ и $G(p)$:
\begin{equation*}
 \alpha f(t)+\beta g(t) \risingdotseq \alpha F(p)+\beta G(p).
\end{equation*} 


**Пример 1.**
Найти изображение для $f(t)=\mbox{sin}\,\alpha t$.
\begin{equation*}
 \mbox{sin}\,\alpha t=\frac{e^{i\alpha t}-e^{-i\alpha t}}{2i} \risingdotseq \frac{1}{2i}\left(\frac{1}{p-i\alpha}+\frac{1}{p+i\alpha}\right)=\frac{1}{2i}\cdot\frac{2i\alpha}{p^2+a^2}=\frac{\alpha}{p^2+\alpha^2}.
\end{equation*}
 

**Пример 2.**
Найти изображение для $f(t)=\mbox{cos}\,\alpha t$.
\begin{equation*}
 \mbox{cos}\,\alpha t=\frac{e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}}{2} \risingdotseq \frac12\left(\frac{1}{p-i\alpha}+\frac{1}{p+i\alpha}\right)=\frac12\cdot\frac{2p}{p^2+a^2}=\frac{p}{p^2+\alpha^2}.
\end{equation*} 


**Пример 3.**
Вывести формулы для изображений гиперболических функций.
\begin{gather*}
 \mbox{sh}\,\alpha t  \risingdotseq \frac{\alpha}{p^2-\alpha^2},\\
  \mbox{ch}\,\alpha t  \risingdotseq \frac{p}{p^2-\alpha^2}.
\end{gather*} 


**Пример 4.**
Найти изображение для $f(t)=\mbox{sin}^2 t$.
\begin{equation*}
\begin{split}
 &\mbox{sin}^2 t=\left(\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\right)^2 = -\frac{1}{4}e^{2it}+\frac12-\frac{1}{4}e^{-2it} \risingdotseq \\
 &\risingdotseq -\frac14\cdot\frac{1}{p-2i}+ \frac{1}{2p}-\frac14\cdot\frac{1}{p+2i}=-\frac{2p}{p^2+4}+\frac{1}{2p}=\frac{2}{p(p^2+4)}.
\end{split}
\end{equation*}
 

=== Теорема подобия ===
Пусть $a\in  R $, $a>0$.
\begin{equation*}
    f(at)\risingdotseq \displaystyle\frac{1}{a}F\left(\displaystyle\frac{p}{a}\right).
\end{equation*} 
=== Теорема смещения ===
Пусть  $\alpha \in \mathbb{C}$.
\begin{equation*}
    e^{\alpha t}\cdot f(t)\risingdotseq F(p-\alpha).
\end{equation*}

**Пример 5.**
Найти изображение для $f(t)=e^{2t}\mbox{sin}t$.
\begin{gather}
\mbox{sin}\, t=\risingdotseq  \frac{1}{p^2+1}\,\,\Rightarrow
 e^{2t}\mbox{sin}t\risingdotseq \frac{1}{(p-2)^2+1}.
\end{gather} 


** Пример 6. **
Найти изображение для $f_1(t)= e^{\alpha t}\mbox{sin}\,\beta t, \,\, f_2(t)=e^{\alpha t}\mbox{cos}\,\beta t$.
\begin{gather*}
\mbox{sin}\,\beta t=\risingdotseq  \frac{\beta}{p^2+\beta^2}\,\,\Rightarrow e^{\alpha t}\mbox{sin}\,\beta t  \risingdotseq \frac{\beta}{(p-\alpha)^2+\beta^2},\\
\mbox{cos}\,\beta t=\risingdotseq  \frac{p}{p^2+\beta^2}\,\,\Rightarrow  e^{\alpha t}\mbox{cos}\,\beta t  \risingdotseq \frac{p-\alpha}{(p-\alpha)^2+\beta^2}.
\end{gather*}
 
** Пример 7.**
Найти изображение для $f(t)=\mbox{ch}t\, \mbox{sin}\, t$.
\begin{equation*}
 \mbox{ch}t\, \mbox{sin}\, t\risingdotseq \frac{p^2+2}{p^2+4}.
\end{equation*}

**Пример 8.**
Найти изображение для $f(t)=\mbox{sh}\alpha t\,\mbox{sin}\,\beta t$.
\begin{equation*}
 \mbox{sh}\alpha t\,\mbox{sin}\,\beta t\risingdotseq \frac{2p\alpha\beta}{((p-a)^2+\beta^2)((p+a)^2+\beta^2)}.
\end{equation*} 


=== Теорема запаздывания ===
Пусть $\tau \in R$, $\tau>0$.
\begin{equation*}
    f(t-\tau) \risingdotseq e^{-p\tau}\cdot F(p).
\end{equation*}
В механике используют включение с запаздыванием для различных приборов. В математической модели таких включений удобно использовать функцию Хэвисайда, а изображения для таких функций удобно находить с помощью теоремы запаздывания.

**Пример 9 а).**
Найти изображение для $f(t)=\mbox{cos }(t-1)\,\eta(t-1)$.
\begin{equation*} 
  \mbox{cos }(t-1)\,\eta(t-1)\risingdotseq e^{-p\cdot1}\cdot\frac{p}{p^2+1}=e^{-p}\cdot\frac{p}{p^2+1}.  
\end{equation*}


**Пример 9 б).**
Найти изображение для $f(t)=\mbox{cos }(t-1)\,\eta(t)$.
\begin{equation*} 
 \mbox{cos }(t-1)\,\eta(t) = \mbox{cos }t\,\mbox{cos }1\,\eta(t) + \mbox{sin }t\,\mbox{sin }1\,\eta(t) \risingdotseq \frac{p}{p^2+1}\,\mbox{cos} 1+\frac{1}{p^2+1}\,\mbox{sin}1. 
\end{equation*}

** Пример 10.**
Найти изображение для кусочно-непрерывной функции:
\begin{equation*}
  f(t)=\begin{cases}
  0,& t<0,\\
  2t,& 0\leqslant t<1,\\
  2,& 1\leqslant t<2,\\
  4-t, & 2\leqslant t<4,\\
  0,& t\geqslant4.
  \end{cases}
\end{equation*}

Запишем аналитическое выражение для $f(t)$ через функцию Хэвисайда:
\begin{equation*}
\begin{split}
 f(t)&= 2t\cdot\eta(t)-2t\cdot\eta(t-1)+\\
 &+2\cdot\eta(t-1)-2\cdot\eta(t-2)+ \\
 &+(4-t)\cdot\eta(t-2)-(4-t)\cdot\eta(t-4)+\\
 &+0.
\end{split}
\end{equation*}

Сгруппируем так, чтобы было удобно находить изображения:
\begin{equation*}
\begin{split}
  f(t) =& 2t\cdot \eta(t) + (2-2t)\cdot\eta(t-1) +  \\
       +& (4-t-2)\cdot(t-2)-(4-t)\cdot(t-4) = \\
       =& 2t\cdot \eta(t) - 2(t-1)\cdot\eta(t-1) - \\
       -&(t-2)\cdot\eta(t-2)+(t-4)\cdot\eta(t-4).
\end{split}
\end{equation*}

Теперь, используя теорему смещения и тот факт, что $t \risingdotseq \frac{1}{p^2}$, запишем изображение для данной функции:
\begin{equation*}
    F(p) = \frac{2}{p^2}-\frac{2}{p^2}e^{-p}-\frac{1}{p^2}e^{-2p}+\frac{1}{p^2}e^{-4p}.
\end{equation*}

**Пример 11.**
Найти изображение для кусочно-непрерывной функции:
\begin{equation*}
  f(t)=\begin{cases}
  0,& t<0,\\
  \displaystyle\frac{t-a}{a},& 0\leqslant t<a,\\
  0,& a\leqslant t<2a,\\
  \displaystyle\frac{t-2a}{a},& t\geqslant2a.
  \end{cases}
\end{equation*}

\begin{equation*}
  f(t)= \left(\frac{t}{a}-1\right)\eta(t)-\frac{t-a}{a}\eta(t-a)+\frac{t-2a}{a}\cdot\eta(t-2a).
\end{equation*}

\begin{equation*}
    F(p) = \frac{1}{ap^2}-\frac{1}{p}-\frac{1}{ap^2}e^{-ap}-\frac{1}{ap^2}e^{-2ap}.
\end{equation*}

 
=== Дифференцирование оригинала ===
\begin{equation*}
\begin{aligned}
f'(t) & \risingdotseq p\,F(p)-f(0),\\
f''(t)& \risingdotseq p^2F(p)-p\,f(0)-f'(0),\\
&\cdots\\
f^{(n)}(t)& \risingdotseq p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-\ldots -f^{(n-1)}(0).
\end{aligned}
\end{equation*}

**Пример 12.**
Решить задачу Коши:
\begin{equation*}
 x'''+x'=1, \quad x(0)=x'(0)=x''(0)=0.
\end{equation*}
Запишем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения:
\begin{equation*}
 p^3\,X(p)+p\,X(p)=\frac{1}{p}.
\end{equation*}
Найдем из записанного алгебраического уравнения неизвестную функцию $X(p)$:
\begin{equation*}
 X(p)=\frac{1}{p^2(p^2+1)}=\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2+1}.
\end{equation*}
И запишем оригинал для найденного изображения:
\begin{equation*}
 \frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2+1}\risingdotseq t-\mbox{sin}\,t.
\end{equation*}
Получили ответ для поставленной задачи Коши:
\begin{equation*}
 x(t)=t-\mbox{sin}\,t.
\end{equation*}
 

=== Дифференцирование изображения ===
\begin{equation*}
\begin{aligned}
 F'(p)& \risingdotseq -t f(t),\\
 F''(p)& \risingdotseq t^2 f(t),\\
 &\cdots\\
 F^{(n)}(p)& \risingdotseq (-1)^n t^n f(t).
\end{aligned}
\end{equation*}


**Пример 13.**
Найти изображение для $f(t) = t^2e^t$. 

Известно, что
$$ e^t\risingdotseq \frac{1}{p-1}.$$
Тогда по теореме о дифференцировании изображений
\begin{equation*}
\begin{aligned}
  & \left( \frac{1}{p-1}\right)' = -\frac{1}{(p-1)^2} \risingdotseq t e^t,\\
 & \left(-\frac{1}{(p-1)^2}\right)'' = \frac{2}{(p-1)^3}\risingdotseq t^2 e^t.
\end{aligned}
\end{equation*}

**Пример 14.**
Найти изображение для $f(t) = t^2\mbox{cos}\,t$.  

\begin{equation*}
\begin{aligned}
 & \mbox{cos}\, t \risingdotseq \frac{p}{p^2+1},\\
 & t\,\mbox{cos}\, t \risingdotseq \frac{p^2-1}{(p^2+1)^2},\\
 & t^2\mbox{cos}\,t \risingdotseq \frac{2p(p^2+3)}{(p^2+1)^3}.
\end{aligned}
\end{equation*}
  
=== Интегрирование оригинала ===
\begin{equation*}
\int\limits_0^t f(\tau)d\tau\risingdotseq \frac{F(p)}{p}.
\end{equation*}

**Пример 15.**
Найти изображение для $f(t) = \int\limits_0^t e^{\tau}d\tau$.  
\begin{equation*}
e^t \risingdotseq \frac{1}{p-1}\,\, \Rightarrow \,\, \int\limits_0^t e^{\tau}d\tau \risingdotseq \frac{1}{p(p-1)}.
\end{equation*}

**Пример 16.** 
Найти изображение для $f(t) = \int\limits_0^t \tau^2 e^{-\tau}d\tau$.  
\begin{equation*}
 \int\limits_0^t \tau^2 e^{-\tau}d\tau \risingdotseq \frac{2}{p(p+1)^3}.
\end{equation*}
 
=== Интегрирование изображения ===
\begin{equation*}
\frac{f(t)}{t}\risingdotseq \int\limits_p^{+\infty}F(p)dp.
\end{equation*}


**Пример 17.**
Найти изображение для $f(t)=\frac{\mbox{sin}\,t}{t}$.  

\begin{equation*}
\begin{aligned}
     & \mbox{sin}\, t \risingdotseq \frac{1}{p^2+1}\,\, \Rightarrow\\
     & \frac{\mbox{sin}\, t}{t} \risingdotseq \int\limits_p^{+\infty}\left.\frac {dp}{p^2+1} = \mbox{arctg}\, \right|_p^{+\infty}=\frac{\pi}{2}-\mbox{arctg}\,p=\mbox{arcctg}\,p.
\end{aligned}
\end{equation*}
Для многозначных функций берем их главные ветви.


**Пример 18.**
Найти изображение для $f(t)=\frac{e^t-1}{t}$.  

\begin{equation*}
\begin{aligned}
     & e^t-1 \risingdotseq \frac{1}{p-1}-\frac{1}{p} = \frac{1}{p(p-1)} \Rightarrow\\
     & \frac{e^t-1}{t} \risingdotseq \int\limits_p^{+\infty}\frac {dp}{p(p-1)} = \mbox{ln}\left.\frac{p-1}{p}\, \right|_p^{+\infty}=\mbox{ln}\,1-\mbox{ln}\,\frac{p-1}{p}=\mbox{ln}\,\frac{p}{p-1}.
\end{aligned}
\end{equation*}


**Пример 19.**
Найти изображение для $f(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{t}$.  
\begin{equation*}
    f(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{t} \risingdotseq \mbox{ln}\,\frac{p+1}{p-1}.
\end{equation*}