== Глава 7. Элементы операционного исчисления ==
=== Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение ===

Рассмотрим функцию вещественного переменного $f(t)$ определенную на всей вещественной оси $t\in R$ и интегрируемую на любом конечном промежутке. Пусть $f(t)$ удовлетворяет условиям:

1)  $f(t)=0$ при $t<0$.  

2)  Существуют такие числа $M>0$, $s\geqslant0$, что функция $f(t)$ при любом  $t\in R$ удовлетворяет неравенству:
$$
 |f(t)|\leqslant Me^{st}.
$$

Функция $f(t)$, удовлетворяющая всем перечисленным выше условиям, называется //функцией ограниченного роста//, а число $s_0=\mbox{inf}\,s$ называется //показателем роста//.

<note>
Первое условие можно обойти, введя функцию Хевисайда:
$$
\eta(t)=\left\{
\begin{aligned}
0,\,\,&t<0,\\
1,\,\,&t \geqslant0.
\end{aligned}
\right.
$$
</note>

В дальнейшем любую функцию  $f(t)$ будем заменять на $f(t)\cdot\eta(t)$ и будем считать условие выполненным. Например, если мы указываем функцию $f(t)=\mbox{sin}t$, то на самом деле имеем в виду функцию
$$
f(t)=\mbox{sin}t\cdot\eta(t)=\left\{
\begin{aligned}
0,\,\,&t<0,\\
\mbox{sin}t,\,\,&t\geqslant0.
\end{aligned}
\right.
$$

Функция комплексного переменного $p\in C$, $p=s+i\sigma$
$$ F(p)=\int\limits_0^{\infty} f(t)e^{-pt}dt $$
называется //изображением по Лапласу//, если существует указанный несобственный интеграл. Исходная функция $f(t)$ называется //оригиналом//.

Обозначается: $ F(p) \risingdotseq f(t), \,\,  \mbox{или}\,\, F(p)=L\{f(t)\} $.

Читается: $F(p)$ есть изображение для $f(t)$, $f(t)$ есть оригинал для $F(p)$.

!!П!! Найти изображение для функции Хэвисайда $f(t)=\eta(t)$.

Условие 1) выполнено.

Условие 2) выполнено при $M=1$, $s_0=0$.
\begin{gather*}
  F(p)=\int\limits_0^{\infty} \eta(t)\cdot e^{-pt}dt=\int\limits_0^{\infty} e^{-pt}dt=\displaystyle\frac{1}{p} \,\,(\mbox{Re}p>0).\\
\end{gather*}

Получили, что  $\eta(t)\risingdotseq \displaystyle\frac{1}{p}$. В таблицах обычно записывают  $1\risingdotseq \displaystyle\frac{1}{p}$, имея в виду, что на самом деле мы работаем не с $f(t)=1$, а с $f(t)=\eta(t)$. 
 

!!Т!! Теорема о существовании изображения.

Пусть функция $f(t)$ является функцией ограниченного роста с показателем роста $s_0$. Тогда в правой полуплоскости $\mbox{Re}\,p>s_0$ существует изображение $F(p) = \int\limits_0^{\infty} f(t)\,e^{-pt}dt$, причем $F(p)$ --- аналитическая функция. 

=== Свойства преобразования Лапласа ===

<note>
Будем использовать следующие обозначения:

Функции действительного переменного $f(t)$, $g(t)$ являются оригиналами,\\ 
функции комплексного переменного $F(p)$, $G(p)$ являются изображениями:
$ f(t)\risingdotseq F(p), \,\, g(t)\risingdotseq G(p).$
</note>

==== Свойство линейности ====
Пусть $\alpha$, $\beta \in \mathbb{C}$. Тогда изображение линейной комбинации функций $f(t)$ и $g(t)$ является линейной комбинацией их изображений $F(p)$ и $G(p)$:
\begin{equation*}
 \alpha f(t)+\beta g(t) \risingdotseq \alpha F(p)+\beta G(p).
\end{equation*} 

!!П!!

Найти изображение для $f(t)=\mbox{sin}\,\alpha t$.
\begin{equation*}
 \mbox{sin}\,\alpha t=\frac{e^{i\alpha t}-e^{-i\alpha t}}{2i} \risingdotseq \frac{1}{2i}\left(\frac{1}{p-i\alpha}+\frac{1}{p+i\alpha}\right)=\frac{1}{2i}\cdot\frac{2i\alpha}{p^2+a^2}=\frac{\alpha}{p^2+\alpha^2}.
\end{equation*}
 

!!П!!

Найти изображение для $f(t)=\mbox{sin}^2 t$.
\begin{equation*}
\begin{split}
 &\mbox{sin}^2 t=\left(\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\right)^2 = -\frac{1}{4}e^{2it}+\frac12-\frac{1}{4}e^{-2it} \risingdotseq \\
 &\risingdotseq -\frac14\cdot\frac{1}{p-2i}+ \frac{1}{2p}-\frac14\cdot\frac{1}{p+2i}=-\frac{2p}{p^2+4}+\frac{1}{2p}=\frac{2}{p(p^2+4)}.
\end{split}
\end{equation*}
 

==== Теорема подобия ====
Пусть $a\in  R $, $a>0$.
\begin{equation*}
    f(at)\risingdotseq \displaystyle\frac{1}{a}F\left(\displaystyle\frac{p}{a}\right).
\end{equation*} 

==== Теорема смещения ====
Пусть  $\alpha \in \mathbb{C}$.
\begin{equation*}
    e^{\alpha t}\cdot f(t)\risingdotseq F(p-\alpha).
\end{equation*}
 
!!П!!

Найти изображение для $f_1(t)= e^{\alpha t}\mbox{sin}\,\beta t, \,\, f_2(t)=e^{\alpha t}\mbox{cos}\,\beta t$.
\begin{gather*}
\mbox{sin}\,\beta t=\risingdotseq  \frac{\beta}{p^2+\beta^2}\,\,\Rightarrow e^{\alpha t}\mbox{sin}\,\beta t  \risingdotseq \frac{\beta}{(p-\alpha)^2+\beta^2},\\
\mbox{cos}\,\beta t=\risingdotseq  \frac{p}{p^2+\beta^2}\,\,\Rightarrow  e^{\alpha t}\mbox{cos}\,\beta t  \risingdotseq \frac{p-\alpha}{(p-\alpha)^2+\beta^2}.
\end{gather*}
 


==== Теорема запаздывания ====
Пусть $\tau \in R$, $\tau>0$.
\begin{equation*}
    f(t-\tau) \risingdotseq e^{-p\tau}\cdot F(p).
\end{equation*}
В механике используют включение с запаздыванием для различных приборов. В математической модели таких включений удобно использовать функцию Хэвисайда, а изображения для таких функций удобно находить с помощью теоремы запаздывания.
 
 
!!П!!

Найти изображение для кусочно-непрерывной функции:
\begin{equation*}
  f(t)=\begin{cases}
  0,& t<0,\\
  \displaystyle\frac{t-a}{a},& 0\leqslant t<a,\\
  0,& a\leqslant t<2a,\\
  \displaystyle\frac{t-2a}{a},& t\geqslant2a.
  \end{cases}
\end{equation*}

\begin{equation*}
  f(t)= \left(\frac{t}{a}-1\right)\eta(t)-\frac{t-a}{a}\eta(t-a)+\frac{t-2a}{a}\cdot\eta(t-2a).
\end{equation*}

\begin{equation*}
    F(p) = \frac{1}{ap^2}-\frac{1}{p}-\frac{1}{ap^2}e^{-ap}-\frac{1}{ap^2}e^{-2ap}.
\end{equation*}

 
==== Дифференцирование оригинала ====
\begin{equation*}
\begin{aligned}
f'(t) & \risingdotseq p\,F(p)-f(0),\\
f''(t)& \risingdotseq p^2F(p)-p\,f(0)-f'(0),\\
&\cdots\\
f^{(n)}(t)& \risingdotseq p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-\ldots -f^{(n-1)}(0).
\end{aligned}
\end{equation*}

!!П!!

Решить задачу Коши:
\begin{equation*}
 x'''+x'=1, \quad x(0)=x'(0)=x''(0)=0.
\end{equation*}
Запишем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения:
\begin{equation*}
 p^3\,X(p)+p\,X(p)=\frac{1}{p}.
\end{equation*}
Найдем из записанного алгебраического уравнения неизвестную функцию $X(p)$:
\begin{equation*}
 X(p)=\frac{1}{p^2(p^2+1)}=\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2+1}.
\end{equation*}
И запишем оригинал для найденного изображения:
\begin{equation*}
 \frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2+1}\risingdotseq t-\mbox{sin}\,t.
\end{equation*}
Получили ответ для поставленной задачи Коши:
\begin{equation*}
 x(t)=t-\mbox{sin}\,t.
\end{equation*}
 

==== Дифференцирование изображения ====
\begin{equation*}
\begin{aligned}
 F'(p)& \risingdotseq -t f(t),\\
 F''(p)& \risingdotseq t^2 f(t),\\
 &\cdots\\
 F^{(n)}(p)& \risingdotseq (-1)^n t^n f(t).
\end{aligned}
\end{equation*}


!!П!!

Найти изображение для $f(t) = t^2e^t$. 

Известно, что
$$ e^t\risingdotseq \frac{1}{p-1}.$$
Тогда по теореме о дифференцировании изображений
\begin{equation*}
\begin{aligned}
  & \left( \frac{1}{p-1}\right)' = -\frac{1}{(p-1)^2} \risingdotseq t e^t,\\
 & \left(-\frac{1}{(p-1)^2}\right)'' = \frac{2}{(p-1)^3}\risingdotseq t^2 e^t.
\end{aligned}
\end{equation*}

 
  
==== Интегрирование оригинала ====
\begin{equation*}
\int\limits_0^t f(\tau)d\tau\risingdotseq \frac{F(p)}{p}.
\end{equation*}

!!П!!

Найти изображение для $f(t) = \int\limits_0^t e^{\tau}d\tau$.  
\begin{equation*}
e^t \risingdotseq \frac{1}{p-1}\,\, \Rightarrow \,\, \int\limits_0^t e^{\tau}d\tau \risingdotseq \frac{1}{p(p-1)}.
\end{equation*}
 
 
==== Интегрирование изображения ====
\begin{equation*}
\frac{f(t)}{t}\risingdotseq \int\limits_p^{+\infty}F(p)dp.
\end{equation*}


!!П!!

Найти изображение для $f(t)=\frac{\mbox{sin}\,t}{t}$.  

\begin{equation*}
\begin{aligned}
     & \mbox{sin}\, t \risingdotseq \frac{1}{p^2+1}\,\, \Rightarrow\\
     & \frac{\mbox{sin}\, t}{t} \risingdotseq \int\limits_p^{+\infty}\left.\frac {dp}{p^2+1} = \mbox{arctg}\, \right|_p^{+\infty}=\frac{\pi}{2}-\mbox{arctg}\,p=\mbox{arcctg}\,p.
\end{aligned}
\end{equation*}
Для многозначных функций берем их главные ветви.


=== Теоремы разложения ===

==== Первая теорема разложения ==== 
Пусть $F(p)$ --- аналитическая в окрестности $z=\infty$ функция и в этой окрестности раскладывается в ряд Лорана:
 \begin{equation*}
 F(p)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{c_k}{p^k}.
 \end{equation*}
Тогда
 \begin{equation*}
  F(p)\risingdotseq f(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{c_k}{(k-1)!}t^{k-1}.
 \end{equation*} 


==== Вторая теорема разложения ====
Пусть $F(p)$ --- дробно-рациональная функция и  $p_1, \ldots p_n$ --- ее полюсы (простые или кратные).
Тогда
\begin{equation*}
    F(p)\risingdotseq f(t)=\sum\limits_{k=1}^{n}\mbox{res}\left(F(p_k)e^{p_kt}\right).
\end{equation*} 


=== Теоремы умножения. Интеграл Дюамеля ===

==== Теорема о свертке (умножение изображений) ====

Интеграл $\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$ называется **свёрткой функций** $f(t)$, $g(t)$ и обозначается $(f\ast g)(t)$:
\begin{equation*}
    (f\ast g)(t)=\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau.
\end{equation*}
 

Если $F(p)$ и $G(p)$ являются изображениями по Лапласу функций $f(t)$ и $g(t)$, то их произведение также является изображением, причем
\begin{equation*}
    F(p)\cdot G(p)\risingdotseq (f\ast g)(t)=\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau.
\end{equation*}
(произведение изображений является изображением свертки).

 Свертка коммутативна: 
\begin{equation*}
    (f\ast g)(t)=(g\ast f)(t)=\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau=\int\limits_0^t\,g(\tau)f(t-\tau)\,d\tau.
\end{equation*}


==== Следствие теоремы о свёртке (интеграл Дюамеля) ====
\begin{equation*}
    p\cdot F(p)\cdot G(p) \risingdotseq f(0)\cdot g(t)+\int\limits_0^t f'(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
\end{equation*}
\begin{equation*}
    p\cdot F(p)\cdot G(p) \risingdotseq g(0)\cdot f(t)+\int\limits_0^t f(\tau)\,g'(t-\tau)\,d\tau.
\end{equation*}

Каждую из этих формул называют //интеграл Дюамеля//.

==== Теорема об умножении оригиналов ====  

Пусть $f(t)$ и $g(t)$ удовлетворяют условиям:
1) Теорема о существовании изображения.
2) Их показатели роста равны $s_1$ и $s_2$.
3) $f(t)\risingdotseq F(p)$, $ g(t) \risingdotseq G(p)$.
4) Произведение $f(t)\cdot g(t)$ также является оригиналом. 

Тогда
\begin{equation*}
 f(t)\cdot g(t) \risingdotseq \displaystyle\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(q)\cdot G(p-q)\,dq,
\end{equation*}
где $c\geqslant s_1$, $\mbox{Re}\,p>s_2+c$, $p\in \mathbb{C}$, $q\in \mathbb{C}$.

=== Применения операционного исчисления ===

((:opLaplace;seminar5_2# Примеры ))