!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:numtheory#генераторы_простых_чисел НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ))

----





==Полиномиальные "генераторы" простых чисел==


!!Т!! **Теорема.** //Если значение полинома степени// $ 25 $ //от// $ 26 $ //переменных//

$$
F(a,b,c,d,\dots,w)=
$$
$$
=(k+2)\bigg\{1-[wz+h+j-q]^2-[(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z]^2-[2\,n+p+q+z-e]^2-
$$
$$
-[16\,(k+1)^3(k+2)(n+1)^2+1-f^2]^2-[e^3(e+2)(a+1)^2+1-o^2]^2-[(a^2-1)y^2+1-x^2]^2-[16\,r^2y^4(a^2-1)+1-u^2]^2-
$$
$$
-
[((a+u^2(u^2-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^2]^2-[n+\ell+v-y]^2-[(a^2-1)\ell^2+1-m^2]^2-[ai+k+1-\ell-i]^2-
$$
$$
-[p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m]^{2}-[q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^2-2p-2)-x]^2-
$$
$$
-[z+p\ell (a-p)+t(2 a p-p^{2}-1)-m p]^{2} \bigg\} \ .
$$
//при некотором наборе неотрицательных целых значений переменных// $ (a_0,b_0,\dots,w_0) $ //положительно, то это значение --- обязательно простое число.// 

Структура полинома такова, что множитель, стоящий в фигурных скобках $ \{ \ \} $, может принимать положительные значения (конкретно, $ 1_{} $), тогда и только тогда, когда все слагаемые, кроме первой $ 1_{} $ обратятся в нуль. Иными словами, значения
переменных, при которых полином $ F_{} $ принимает положительные значения, должны удовлетворять системе из $ 14_{} $ алгебраических уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{rl}
wz+h+j-q&=0, \\
(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z&=0, \\
2\,n+p+q+z-e&=0, \\
16\,(k+1)^3(k+2)(n+1)^2+1-f^2&=0, \\
e^{3}(e+2)(a+1)^2+1-o^2&=0, \\
(a^2-1)y^2+1-x^2&=0, \\
16\,r^2y^4(a^2-1)+1-u^2&=0,\\
((a+u^2(u^2-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^2&=0,\\
n+\ell+v-y&=0,\\
(a^2-1)\ell^2+1-m^2&=0,\\
ai+k+1-\ell-i&=0,\\
p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m&=0, \\
q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^2-2p-2)-x&=0,\\
z+p\ell (a-p)+t(2 a p-p^2-1)-m p&=0.
\end{array}
\right.
$$ 
Возникает отдельная задача о нахождении неотрицательных целых решений алгебраической системы уравнений. Эта задача оказывается нетривиальной, поскольку регулярных способов решения нелинейных диофантовых уравнений (кроме тривиального перебора) в настоящее время нет. Можно воспользоваться тем обстоятельством, что часть уравнений являются линейными --- это позволит уменьшить число переменных. Можно попытаться исключить оставшиеся переменные (например, с помощью теории исключения) --- но это приведет к усложнению оставшихся уравнений. Оптимизация в сторону уменьшения количества переменных приводит к увеличению степени генерирующего полинома. Так, в ((#источники [1])) доказано существование полинома от $ 10 $ переменных степени $ 1.6\times 10^{45} $. Оптимизация в сторону уменьшения степени приводит к росту числа переменных (существует генератор степени $ 5 $ от $ 42_{} $ переменных). 

Хотя результат является выдающимся достижением в теории целых чисел, практическую его значимость следует признать незначительной.


==Источники==

[1]. **Матиясевич Ю.В.**  //Диофантово представление множества простых чисел//. ДАН СССР, 1971,  Т. 196, № 4, 770-773

[2]. **Jones J.P., Sato D., Wada H., Wiens D.** //Diophantine representation of the set of prime numbers.// Amer. Math. Monthly, 83 (1976) 449-464.