!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:numtheory#простые_числа НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ))

<note>
Все изображения на настоящей странице --- результаты работы программы, составленной **Андреем Рогалем** (2010 г.)
</note>

----


































==Числовые спирали==

Запишем числа натурального ряда в узлах прямоугольной сетки плоскости по схеме, начало которой показано на рисунке. Начало схемы --- в $ 1_{} $, следующие числа ставятся вокруг нее по спирали раскручивающейся против часовой стрелки. 
{{ numtheory:spiral1.gif |}}
Начнем отмечать на этой схеме ((:numtheory#простые_числа простые числа)) цветом.
{{ numtheory:spiral2.gif |}}
Видим, что простые числа начинают устойчиво группироваться на некоторых прямых, расположенных под углами $ \pm\pi/4 $ к вертикали. Это наблюдение, впервые замеченное в 1963 году математиком Станиславом Уламом, проявляется и при дальнейшем расширении схемы. 

Первые $ 961=31^2 $ чисел:

{{ numtheory:screen_31x31_.png |}}

Первые $ 3721=61^2 $ чисел:

{{ numtheory:screen_61x61_2.png |}}

То же самое, $ 1_{} $ выделена жёлтым:

{{ numtheory:screen_61x61_3_.png |}}

Первые $ 10201=101^2 $ чисел:

{{ numtheory:screen_101x101_.png |}}

Теперь посмотрим что представляют собой диагонали построенной схемы. Диагонали, идущие из левого верхнего в правый нижний угол
{{ numtheory:spiral3.gif |}} 
заполнены последовательностями вида $ \{n^2+a \mid n\in \mathbb N\} $. А вот диагонали, им перпендикулярные
{{ numtheory:spiral4.gif |}}
состоят из последовательностей вида $ \{n^2-n+a \mid n\in \mathbb N\} $. К последним относится и 
((:numtheory#простые_числа последовательность Эйлера)) $ \{n^2-n+41 \mid n\in \mathbb N\} $:

{{ numtheory:screen_61x61_4.png |}}

Верхний и нижний участки этой последовательности как раз и расположены под углами $ \pm\pi/4 $ к вертикали[[А вот на каких прямых лежат отрезки, расположенные ближе к $ 1_{} $, я не разобрался...]]. Та же последовательность ---  на квадрате $ 101\times 101 $:  
{{ numtheory:screen_101x101_1.png |}}
и на квадрате $ 201\times 201 $:
{{ numtheory:screen_201x201_.png |}}

<note>
((http://en.wikipedia.org/wiki/Bunyakovsky_conjecture Гипотеза Буняковского)) заключается в том, что для ((:polynomial:irreduc неприводимого над)) $ \mathbb Z_{} $ квадратичного полинома $ a\,x^2+b\,x+c $ с целыми коэффициентами $ a,b,c $, последовательность $ \{a\,n^2+b\,n+c \mid n\in \mathbb N \} $ либо состоит из чисел, имеющих нетривиальный общий делитель, либо содержит бесконечное подмножество простых чисел. Не доказана[[По состоянию на 2010 г.]]. 
</note>

!!?!! Почему на зелёном кресте 
{{ numtheory:screen_101x101_2.png |}}
нет простых чисел?

----

==Источники==

**Ulam spiral.** From ((http://en.wikipedia.org/wiki/Ulam_spiral Wikipedia)).