!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:numtheory НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ)) ---- ==Задачи== 1. Верно ли равенство $$ \operatorname{HOD}(A, \operatorname{HOK}(B,C))=\operatorname{HOK}(\operatorname{HOD}(A,B),\operatorname{HOD}(A,C)) \ ? $$ 2. Придумать признак делимости на число $ 91 $. 3. ((#источники [1])) Доказать, что каждый член последовательности $$ 49,\ 4489,\ 444889,\ 44448889, \dots, \underbrace{44\dots 44}_{n}\underbrace{88\dots 89}_{n} $$ является полным квадратом. 4. ((#источники [2])) В десятичной записи $ 12 $-значного числа $ A_{} $ цифры $ 2_{} $ и $ 9_{} $ встречаются по два раза, а остальные --- по одному разу. Может ли число $ A_{} $ быть полным квадратом? 5. Пусть число $ A_{} $ чётно. В каком случае оно может быть факторизовано по ((:numtheory#факторизация методу Ферма))? 6. Доказать, что числа $ \{u_j\} $ и $ \{v_j\} $ из пункта ((:numtheory#линейное_представление_нод "Линейное представление НОД")) удовлетворяют равенству $$ u_j v_{j-1} - u_{j-1}v_j =(-1)^{j} \, . $$ 7. Доказать, что $\operatorname{HOD}(A,A+1)=1$ при любом $ A\in \mathbb N $. 8 ((:numtheory/problems:vspom10 .)) Доказать, что $\operatorname{HOD}(A+1,A^2+1)=1$ при любом четном $ A\in \mathbb N $. 9 . Доказать, что для взаимно простых чисел $ A $ и $B$ числа $ u $ и $ v $ из линейного представления $$ uA+v B =1 $$ могут быть выбраны из условий $|u|