**((:subject_index Указатель))** --- **((:content Разделы))**--- **((:algebra2:notations Обозначения))**  --- **((:users:au:index Автор))** --- **((:start:project_history О проекте))**
----



Вспомогательная страница к разделу ☞ ((:numtheory:divispascal Исторические задачи по элементарной математике))

----





===Задача Шлёмильха ==

!!?!! **[Шлёмильх]** [[Шлёмильх Оскар (Schlömilch Oscar Xaver, 1823-1901) --- немецкий математик. Основатель и редактор журнала //Zeitschrift für Mathematik und Physik//. Биография ☞ ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Schlomilch.html ЗДЕСЬ)).]]. Доказать, что при $ n>2_{} $ имеет место неравенство $ 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \times \dots \times n^2> n^n $ (или в записи с использованием факториала: $ (n!)^2 > n^n $).

**Решение.** Пусть $ n>m+1 $. Умножим на $ m_{} $ обе части этого неравенства, получим:
$$ nm>m^2+m \quad \Rightarrow \quad nm+n>m^2+m+n \quad \Rightarrow \quad (n-m)(m+1)>n \ . $$
Полагая $ m_{} $ последовательно равным $ 0,1,2,\dots , n-1 $, получим:
$$
\begin{array}{rcc}
n \cdot 1 & = & n, \\
(n-1) \cdot 2 & > & n, \\
(n-2) \cdot 3 & > & n, \\
(n-3) \cdot 4 & > & n, \\
\vdots & & \vdots \\
2\cdot (n-1) & > & n,\\
1 \cdot n &= & n. 
\end{array}
$$
Перемножение дает требуемый результат.


===Источник==

**Попов Г.Н.** //Сборник исторических задач по элементарной математике.// М.-Л.ГТТИ.1932