**((:subject_index Указатель))** --- **((:content Разделы))** --- **((:algebra2:notations Обозначения))** --- **((:users:au:index Автор))** --- **((:start:project_history О проекте))**
----




Вспомогательная страница к разделу ☞ ((:numtheory:divispascal Исторические задачи по элементарной математике))

----




==Задача Чевы==

{{ numtheory:cheva.gif|}}

!!?!! Пусть через вершины треугольника $ ABC $ и произвольную точку $ O_{} $, лежащую внутри его, проведены прямые, пересекающие стороны $ AB, AC, BC $ соответственно в точках $ C_1, B_1 $ и $ A_{1} $, определяя на каждой из них два отрезка. Тогда произведения длин каждых трех отрезков, не имеющих общей вершины, равны между собой: 
$$ |AC_1| \cdot |BA_1|\cdot |CB_1|=|AB_1|\cdot |CA_1| \cdot |BC_1 | \ .$$

**Решение.** Поскольку треугольники $ AOB $ и $ AOC $ имеют общее основание $ AO $, то площади их относятся как их высоты или как $ |BA_1| $ и $ |CA_1| $; аналогичное имеет место для треугольников $ BOC $ и $ BOA $ и треугольиков $ COA $ и $ COB $. Поэтому 
$$ \frac{S(AOB)}{S(AOC)}=\frac{|BA_1|}{|CA_1|}\ , \ \frac{S(BOC)}{S(BOA)}=\frac{|CB_1|}{|AB_1|}\ ,
\frac{S(COA)}{S(COB)}=\frac{|AC_1|}{|BC_1|} \ . $$
Перемножение дробей дает требуемое равенство.

> **Источники.** \\
> //De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructione// \\
>**Попов Г.Н.** //Сборник исторических задач по элементарной математике.// М.-Л.ГТТИ.1932