**((:subject_index Указатель))** --- **((:content Разделы))**--- **((:algebra2:notations Обозначения))** --- **((:users:au:index Автор))** --- **((:start:project_history О проекте))** ---- ==Исторические задачи по элементарной математике== ~~TOC~~ ===Задача Никомаха== !!?!! Ряд последовательных нечетных чисел разбивается на группы скобками $$ (1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19), \dots $$ ( $ k_{} $-я скобка содержит $ k_{} $ чисел). Показать, что сумма чисел $ k_{} $-й скобки равна $ k^3 $ . ===Задачи из разных средневековых сборников== !!?!! Существует ли на свете два человека с одинаковым числом волос на голове? **Решение** ☞ ((:numtheory:divispascal:vspom5 ЗДЕСЬ)) ===Критерий делимости Паскаля== !!Т!! **Теорема.** //Обозначим остаток от деления// $ 10_{} $ //на число// $ B_{} $ //через// $ r_1 $; //остаток от деления// $ 10 r_1 $ //на// $ B_{} $ --- //через// $ r_2 $; //остаток от деления// $ 10 r_2 $ //на// $ B_{} $ --- //через// $ r_3 $ //и т.д. Для того чтобы число// $$ A=\underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}} = {\mathfrak a}_1\times 10^s+{\mathfrak a}_2 \times 10^{s-1} + \dots +{\mathfrak a}_s \times 10 + {\mathfrak a}_{s+1} $$ //делилось на// $ B_{} $ //необходимо и достаточно чтобы на// $ B_{} $ //делилось число// $$ {\mathfrak a}_{s+1}+{\mathfrak a}_{s}r_1+{\mathfrak a}_{s-1}r_2+{\mathfrak a}_{s-2}r_3+\dots \ . $$ **Доказательство** ☞ ((:modular#теоремы_ферма_и_эйлера ЗДЕСЬ)). > **Источник.** \\ **Pascal B.** //Caractères de divisibilité des nombres.// === Задача Баше де Мезириака== Каким наименьшим числом гирь и какого веса можно отвесить на весах любое целое число фунтов от $ 1_{} $ до $ 40_{} $ при условии, что гири можно класть на обе чашки весов? !!§!! **Баше де Мезириак Клод Гаспар** (Bachet de Méziriac Claude Gaspar, 1581-1638), автор популярного сборника математических головоломок. Биография ☞ ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Bachet.html ЗДЕСЬ)). Задача была решена еще Фибоначчи в 1202 г. ===Задача Озанама== Семь провинциалов собрались к обеду, но между ними возник церемонный спор, кому и с кем садиться. Чтобу прекратить пререкания, кто-то из присутствующих предложил всем сесть за стол как придется, но с условием, чтобы вновь собраться на другой день и затем в следующие дни обедать вместе, причем каждый раз садиться по-разному до тех пор, пока не будут использованы все возможные комбинации. Спрашивается, сколько раз придется им обедать вместе для этой цели? Озанам дает ответ в $ 5040 $ раз. Прав ли он? ===Задача Региомонтануса== Найти число, которое при делении на $ 17, 13 $ и $ 10_{} $ дает соответственно остатки $ 15,11 $ и $ 3_{} $. Общий метод решения подобных задач ☞ ((:modular:crt ЗДЕСЬ)). !!§!! **Мюллер Иоганн** (Müller Johann, 1436-1476), немецкий математик, прозван Regiomontanus по месту своего рождения (Кёнигсберг, латинизированное название Monte Regio). Биография ☞ ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Regiomontanus.html ЗДЕСЬ)). ===Последовательность Галилея== В 1615 г. Галилей обнаружил, что последовательность нечетных натуральных чисел обладает свойством $$ \frac{1}{3}=\frac{1+3}{5+7}=\frac{1+3+5}{7+9+11}=\dots $$ т.е. отношение суммы любых первых $ n_{} $ нечетных чисел к сумме последующих $ n_{} $ нечетных чисел всегда постоянна. Это наблюдение имело отношение к его работе о свободном падении тел. Действительно, если расстояние пропорционально квадрату времени и равно $ 1_{} $ за первый временной интервал, то расстояние, пройденное за несколько интервалов времени, будет полным квадратом, а расстояния, пройденные за каждый интервал времени будут нечетными числами. Если мы изменим временнýю шкалу и сделаем новый интервал отсчета равным множителю исходного интервала, то отношение расстояния, пройденного за первые два (новых) интервала должно остаться неизменным. Но это как раз и является "физическим смыслом" равенства: расстояние, пройденное за $ n_{} $ первых интервалов всегда равно трети от расстояния, пройденного за $ n_{} $ следующих интервалов. Галилей считал, что последовательность нечетных натуральных чисел --- единственная арифметическая прогрессия с указанным свойством, и это служило ему достаточным аргументом подтверждающим закон свободного падения. !!?!! Был ли прав ли Галилей? Можно ли указать целочисленные последовательности, у которых отношение суммы первых $ n_{} $ их членов к сумме следующих $ n_{} $ их членов всегда постоянна? ((#источники [2])). ===Задача Гольдбаха== Доказать, что при $ m_{} $ и $ n_{} $ --- натуральных сумма всех дробей вида $$ \frac{1}{(m+1)^{n+1}} $$ имеет пределом единицу. ===Задача Клеро== На неограниченной прямой, соединяющей два источника света, найти точку равноосвещенную обоими источниками. !!§!! **Клерó Алекси Клод** (**Clairaut** Alexis Claude , 1713-1765), французский математик, астроном и геодезист; изучал математику под руководством своего отца. Первый научный результат был доложен им французской Академии наук в возрасте 12 лет. Избран в Академию в 18 лет. Участвовал в экспедициях в Лапландию по измерению длины градуса меридиана. Ввел в математику понятия криволинейного интеграла и полного дифференциала. Биография ☞ ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Clairaut.html ЗДЕСЬ)). ===Задача Чевы== {{ numtheory:cheva.gif|}} \\ Пусть через вершины треугольника $ ABC $ и произвольную точку $ O_{} $, лежащую внутри его, проведены прямые, пересекающие стороны $ AB, AC, BC $ соответственно в точках $ C_1, B_1 $ и $ A_{1} $, определяя на каждой из них два отрезка. Тогда произведения длин каждых трех отрезков, не имеющих общей вершины, равны между собой: $$ |AC_1| \cdot |BA_1|\cdot |CB_1|=|AB_1|\cdot |CA_1| \cdot |BC_1 | \ .$$ **Решение** ☞ ((:numtheory:divispascal:vspom3 ЗДЕСЬ)) \\ \\ \\ \\ !!§!! **Чева Джиованни** (Ceva Giovanni, 1647-1734), итальянский геометр и механик; кроме того, он, фактически первым попытался применить математику в экономике: один из его трудов посвящен установлению условий равновесия денежной системы Мантуи. Биография ☞ ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Ceva_Giovanni.html ЗДЕСЬ)) ===Задачи Эйлера== !!?!! Определить рациональные решения уравнения $ x^y=y^x $. !!?!! Доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма четырех квадратов, также равно сумме четырех квадратов. **Решение** ☞ ((numtheory:divispascal:vspom2 ЗДЕСЬ)) !!?!! Если после потопа человеческий род размножился от $ 6_{} $ человек и если предположим, что двести лет спустя число людей возросло до миллиона, спрашивается: на какую часть должно было увеличиваться население ежегодно? ===Задача Мейера Гирша== !!?!! Доказать, что в прямоугольном тетраэдре квадрат площади грани, лежащей против трехгранного угла, равен сумме квадратов площадей трех остальных граней. > **Источник.** \\ > **Meier Hirsch.** //Sammlung Geometrischer Aufgaben//.1807. Переиздание книги 1837 года выложено ☞ ((http://books.google.ru/books?id=sNw2AAAAMAAJ&printsec=frontcover&dq=Sammlung+geometrischen+Aufgaben+Hirsch&source=bl&ots=yNnOfsGywM&sig=maiE3k-i5c1HeY1pDduRYTvXIu8&hl=ru&ei=kFsYTPDzNse6OOqDhIAF&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CBUQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false ЗДЕСЬ)) ===Задача, известная как "задача Пуассона"== Некто имеет $ 12_{} $ пинт вина и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт. У него два сосуда, один в $ 8_{} $, другой в $ 5_{} $ пинт; спрашивается: каким образом налить $ 6_{} $ пинт в сосуд в $ 8_{} $ пинт? **Решение** ☞ ((numtheory:divispascal:vspom1 ЗДЕСЬ)) !!§!! **Пуассон Симеон Дени** (Poisson Siméon-Denis, 1781-1840) --- французский математик и физик, биография ☞ ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Poisson.html ЗДЕСЬ)). По поводу этой задачи Араго[[Араго Доминик Франсуа (Arago Dominique François Jean (1786-1853) --- французский физик и астроном, человек удивительный во многих отношениях. Литературное изложение его биографии можно найти в книге Д.Гранина "Повесть об одном ученом и одном императоре".]] рассказывает, что она решила судьбу Пуассона, так как, заинтересовавшись ею, он тем самым открыл свое призвание и посвятил всю жизнь математике. Задача в аналогичной постановке (для набора стартовых данных $ (8,5,3) $) содержится в сборнике //"Thaumaturgus mathematicus"//, изданном в Кёльне в 1651 г. ===Задача Шлёмильха == Доказать, что при $ n>2_{} $ имеет место неравенство $ 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \times \dots \times n^2> n^n $. **Решение** ☞ ((numtheory:divispascal:vspom6 ЗДЕСЬ)). !!§!! **Шлёмильх Оскар** (Schlömilch Oscar Xaver, 1823-1901) --- немецкий математик. Основатель и редактор журнала //Zeitschrift für Mathematik und Physik//. Биография ☞ ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Schlomilch.html ЗДЕСЬ)). ===Задача о точке Лемуана-Греба == Найти точку плоскости, cумма квадратов расстояний от которой до сторон треугольника, лежащего в этой же плоскости, минимальна. **Решение** ☞ ((:algebra2:optimiz:distance#задача_о_точке_лемуана-греба ЗДЕСЬ)). ===Разные задачи== !!?!! Доказать, что при $ n\in \mathbb N $ выражение $ 4^{2n} - 3^{2n}-7 $ кратно $ 84_{} $. !!?!! Чашка, имеющая вид полушария, наполнена водой, а затем наклонена на угол $ 45^{o} $. Доказать, что выльется около $ 88_{}\% $ воды. ==Источники== Все задачи, кроме особо отмеченных, взяты из [1]. [1]. **Попов Г.Н.** //Сборник исторических задач по элементарной математике.// М.-Л.ГТТИ.1932 [2].** May K.O.** //Galileo sequences, a good dangling problem//. The Amer.Math.Monthly. V.79, № 1, 1972, pp. 67-69 [3]. **Дингельдэй Фр.** //((:references#дингельдей Сборникъ задачъ по приложенiю дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй))//. С.-Петербург. 1912