!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:numtheory НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ)). ---- !!Т!! **Теорема [Чезаро].** //Обозначим// $ P_N $ //вероятность того, что два числа случайно выбранные из множества// $ \{1,2,\dots, N \} $ //взаимно просты. Тогда// $$ \lim_{N\to \infty} P_N = \frac{6}{\pi^2} \approx 0.607927 \ . $$ **Доказательство** //правдоподобия// результата. Если дополнительно __предположить__, что указанный предел существует и равен $ P_{} $, то тогда можно установить вероятность события, что произвольные два натуральных числа $ A_{} $ и $ B_{} $ имеют $ \operatorname{HOD} (A,B) $ равным произвольному числу $ d \in \mathbb N $. Действительно, $ \operatorname{HOD} (A,B)=d $ тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три события: $ A_{} $ делится на $ d_{} $, $ B_{} $ делится на $ d_{} $ и $ \operatorname{HOD} (A/d,B/d)=1 $. Эти три события независимы, вероятность их совместного осуществления равна произведению их вероятностей (см. пункт ☞ ((:probability#условные_вероятности УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ))), т.е. $$ \frac{1}{d} \cdot \frac{1}{d} \cdot P = \frac{P}{d^2} \ . $$ Просуммировав эти вероятности по всем натуральным $ d_{} $, мы должны получить $ 1_{} $ (абсолютно достоверное событие: два числа __хоть какой-то__ $ \operatorname{HOD} $ имеют): $$ 1=\sum_{d=1}^{\infty} \frac{P}{d^2}=P\left( 1+ \frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots \right) \ . $$ Из мат.анализа известна величина суммы полученного бесконечного ряда, она равна $ \pi^2/6 $. === Источник== **Кнут Д.** //Искусство программирования для ЭВМ. Т.2. Получисленные алгоритмы.// М. Мир. 1977, С.366-367.