!!§!! Вспомогательные результаты к разделу ((:modular МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА)). ---- ~~TOC~~ ==Критерий Вильсона== !!Т!! **Теорема [Вильсон]**. //Для того чтобы число// $ p>2 $ //было простым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось сравнение// $$ (p-1)! \equiv -1 \pmod{p} \ . $$ **Доказательство.** Необходимость. Если $ p_{} $ --- простое, то для любого $ A\in \{1,\dots, p-1 \} $ существует единственное решение сравнения $ Ax\equiv 1 \pmod{p} $ (см. результат ☞ ((:modular#алгоритм_решения ЗДЕСЬ))). Обозначим его $ \tilde A_{} $ и назовем числа $ A_{} $ и $ \tilde A_{} $ **дополнительными**. Равенство $ A = \tilde A_{} $ дополнительных чисел между собой возможно только когда $ A =1 $ или $ A =p-1 $. В самом деле, сравнение $$A^2 \equiv 1 \pmod{p} $$ равносильно $$(A-1)(A+1) \equiv 0 \pmod{p} \quad \iff \quad A \equiv 1 \pmod{p} \ \mbox{ или } \ A \equiv -1 \pmod{p} \ .$$ Итак, все оставшиеся числа $ 2, 3,\dots, p-2 $ могут быть объединены в пары дополнительных. Например, для $ p=13 $: $$2\cdot 7 \equiv_{_{13}} 1,\ 3\cdot 9 \equiv_{_{13}} 1,\ 4\cdot 10 \equiv_{_{13}} 1,\ 5\cdot 8 \equiv_{_{13}} 1,\ 6\cdot 11 \equiv_{_{13}} 1 \ $$ Понятно, что и в общем случае перемножение всех подобных сравнений в левой части даст произведение всех чисел $ 2, 3,\dots, p-2 $, а в правой части --- единицу: $$ 2\cdot 3 \times \cdots \times (p-2) \equiv 1 \pmod{p} \ .$$ Домножив последнее сравнение на $ p-1 \equiv -1 \pmod{p} $, получим условие теоремы. Достаточность. Пусть условие теоремы выполняется, но, тем не менее, число $ p_{} $ --- составное, т.е. у него имеется нетривиальный делитель $ q:\ 1< q
♦