Для понимания материалов настоящего раздела рекомендуется ознакомиться с разделом
((:modular МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА)). Сложность материалов раздела --- повышенная.
==Индекс (дискретный логарифм)==
~~TOC~~
=== Первообразный корень ==
**Задача.** Найти длину цикла последовательности $ \{A^j \pmod{M} \}_{j=0}^{\infty} $ .
Для случая простого модуля верхняя оценка для длины цикла дается ((:modular#теорема_ферма теоремой Ферма)):
!!Т!! **Теорема [Ферма (малая)].** //Если// $ p_{} $ //простое и// $ A_{} $ //не делится//
//на// $ p_{} $, //то//
$$
A^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \ .
$$
Примеры показывают, что для некоторых $ A_{} $ эта оценка достигается,
а для других может быть уменьшена:
$$
\begin{array}{ccl}
\left\{3^j \pmod{17} \right\}_{j=0}^{\infty}&=&
1,\, 3,\, 9,\,10,\, 13,\, 5,\,15,\,11,\,16,\,14,\,8,\,7,\,4,\,12,\,2,\,6,\,1,\dots
; \\
\left\{4^j \pmod{17} \right\}_{j=0}^{\infty}&=&
1,\, 4,\,16,\, 13,\, 1,\,4,\dots
; \\
\left\{13^j \pmod{17} \right\}_{j=0}^{\infty}&=&
1,\,13,\, 16,\, 4,\, 1,\, 13 ,
\, 16,\, 4,\, 1,\, 13,\, 16,\dots ; \\
\left\{16^j \pmod{17} \right\}_{j=0}^{\infty}&=&
1,\,16,\, 1,\,16,\, 1,\, 16,\,1,\dots
\end{array}
$$
!!Т!! **Теорема 1.** //Если число// $ A_{} $ //не делится на простое// $ p>2 $, //то//
$$
{ . } \mbox{ либо } A^{(p-1)/2} \equiv 1 \pmod{p} \ , \quad
\mbox{ либо } A^{(p-1)/2} \equiv -1 \pmod{p}
\ .
$$
**Доказательство.** Поскольку $ p_{} $ --- нечетное, то $ (p-1)_{} $ --- четное.
Имеем
$$A^{p-1} -1 =\left( A^{(p-1)/2} -1 \right) \left( A^{(p-1)/2} +1 \right) \ .
$$
По теореме Ферма левое число делится на $ p_{} $, следовательно (по теореме 2
☞
((:numtheory#каноническое_разложение_числа ЗДЕСЬ)) ), по крайней мере один из сомножителей справа должен делиться на //простое// $ p_{} $.
♦
!!П!! **Пример.** Для $ p=17 $ имеем:
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
\hline
A^{(p-1)/2}\pmod{p} & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 &
-1 & 1 & -1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
$$
Видим, что половина чисел $ \{ 1, 2,\dots, 16 \} $ при отображении $ A^{8} \pmod{17} $
переходит в $ 1_{} $, а половина --- в $ 16 \equiv -1 \pmod{17} $.
Ниже будет показано, что выявленная закономерность справедлива для любого простого $ p_{} $.
♦
Предыдущий результат допускает обобщение, которое предварим определением.
**Чётностью** целого числа $ A_{} $ называется показатель степени $ 2_{} $ в ((:numtheory#каноническое_разложение_числа каноническом разложении)) этого числа[[parity (//англ.//) --- четность.]]:
$$
\operatorname{prt}(A)=r \quad \iff \quad A \ \mbox{ делится на } \ 2^r,\
\mbox{ но не делится на } 2^{r+1} \quad \iff \quad
A=2^rA_1,\ \mbox{ где }\ A_1 \mbox{ - нечетное }
\ .
$$
!!П!! **Пример.** $ \operatorname{prt}(A)=0 \ \iff \ A $ --- нечетное; $ \operatorname{prt}(28)=2 $, $ \operatorname{prt}(128)=7 $, $ \operatorname{prt}(368)= \qquad $ .
!!Т!! **Теорема 2.** //Пусть число// $ p>2 $ //простое и// $ \operatorname{prt}(p-1)=r $, т.е. $ p-1=2^rq $, //где// $ q_{} $ ---
//нечетное. Если число// $ A_{} $ //не делится на// $ p_{} $, //то//
$$
{ . } \mbox{ либо } \ A^{q} \equiv 1 \pmod{p} \ , \quad
\mbox{ либо } \ A^{2^jq} \equiv -1 \pmod{p}
$$
//для некоторого// $ j\in \{0,1,\dots,r-1 \} $.
**Доказательство.**
$$
\begin{array}{rcl}
A^{p-1} -1 &=&\left( A^{(p-1)/2} +1 \right)\left( A^{(p-1)/2} -1 \right) = \\
&=&\left( A^{2^{r-1}q} +1 \right)\left( A^{2^{r-1}q} -1 \right)= \\
&=&\left( A^{2^{r-1}q} +1 \right)\left( A^{2^{r-2}q} +1 \right)
\left( A^{2^{r-2}q} -1 \right) =\\
&=&\dots = \left( A^{2^{r-1}q} +1 \right)\times \dots \times \left(A^{2q}+1 \right)
\left(A^q+1 \right)\left(A^q-1 \right)
\ .
\end{array}
$$
Завершается доказательство теми же рассуждениями, что и доказательство теоремы 1.
♦
!!П!! **Пример.** Для $ p=41 $ имеем: $ r=\operatorname{prt}(40)=3,\ q=5 $ и
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\
\hline
A^{q} \pmod{p} & 1 & & & -1 & & & &
& & 1 & &
& \\
\hline
A^{2q} \pmod{p} & & -1 & & & -1 & & & -1 & -1 & & &
& \\
\hline
A^{4q} \pmod{p} & & & -1 & & & -1 & -1 & & & & -1 & -1 & -1 \\
\hline
\end{array}
$$
♦
Наименьшее $ k_{}\in \mathbb N $, удовлетворяющее сравнению $ {A^k\equiv 1 \pmod{M}} $, называется **порядком** или **показателем** числа $ A_{} $ **по модулю** $ M_{} $. В случае, когда в
контексте $ M_{} $ считается фиксированным, слова "по модулю $ M_{} $" опускают, и
тогда порядок $ A_{} $ обозначают $ \operatorname{ord}(A) $:
$$A^{\operatorname{ord}(A)}\equiv 1 \pmod{M},\
A^{\ell} \not\equiv 1 \pmod{M} \ npu \
\forall \ell\in \{1,\dots,\operatorname{ord}(A) -1 \}
\ .
$$
!!П!! **Пример.** При $ M=17 $:
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
\hline
\operatorname{ord} & 1 & 8 & 16 & 4 & 16 & 16 & 16 & 8 & 8 & 16
& 16 & 16 & 4 & 16 & 8 & 2\\
\hline
\end{array}
$$
При $ M=20 $ имеем:
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & 1 & 3 & 7 & 9 & 11 & 13 & 17 & 19 \\
\hline
\operatorname{ord} & 1 & 4 & 4 & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 \\
\hline
\end{array}
$$
!!Т!! **Теорема 3.** //Если// $ A^n \equiv 1 \pmod{M} $, то $ n_{} $ //делится
на// $ \operatorname{ord} (A) $. //В частности,// $ \phi(M) $ //делится на// $ \operatorname{ord}(A) $
//для любого// $ A_{} $ //такого, что// $ \operatorname{HOD}(A,M)=1 $.
**Доказательство.** Действительно, предположим, что не существует чисел $ \ell\in \mathbb N $,
$ \ell< \operatorname{ord} (A) $ таких, что $ A^{\ell}\equiv 1 \pmod{M} $, но тем не менее что
$ n_{} $
имеет ненулевой остаток при делении на $ \operatorname{ord} (A) $:
$ n=\operatorname{ord} (A) \cdot q +r, \ 0
♦