!!§!! Вспомогательная страница к пункту
☞
((:mapping:operator#матрица_оператора МАТРИЦА ОПЕРАТОРА)).
----
!!Т!! **Теорема.** //Если// $ C_{} $ --- //((:linear_space#преобразование_координат_при_замене_базиса матрица перехода от старого базиса
к новому)), то матрицы// $ {\mathbf A} $ //и// $ {\mathbf B} $ //оператора в старом и новом
базисах связаны формулой//:
$$
{\mathbf B}=C^{-1}\cdot {\mathbf A} \cdot C \ .
$$
**Доказательство**. Пусть $ \{X_{1},\dots,X_n \} $ --- старый базис, $ \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n \} $ --- новый базис
и разложения вектора $ X_{} $ и его образа $ Y_{} $ в этих базисах имеют вид:
$$X=x_1X_1+\dots+x_nX_n={\mathfrak x}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak x}_n{\mathfrak X}_n,$$
$$Y=\mathcal A (X)=y_1X_1+\dots+y_nX_n={\mathfrak y}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak y}_n{\mathfrak
X}_n .$$
На основании результатов
☞
((:linear_space#преобразование_координат_при_замене_базиса ПУНКТА)), имеем:
$$
\left(\begin{array}{c}
x_1 \\ \vdots \\ x_n
\end{array}
\right)=C \left(\begin{array}{c}
{\mathfrak x}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n
\end{array}
\right), \qquad
\left(\begin{array}{c}
y_1 \\ \vdots \\ y_n
\end{array}
\right)=C \left(\begin{array}{c}
{\mathfrak y}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak y}_n
\end{array}
\right).
$$
Получаем цепочку равенств:
$$
{\mathbf B}\left(\begin{array}{c}
{\mathfrak x}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n
\end{array}
\right)=
\left(\begin{array}{c}
{\mathfrak y}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak y}_n
\end{array}
\right) =
C^{-1}\left(\begin{array}{c}
y_1 \\ \vdots \\ y_n
\end{array}
\right)=
C^{-1} {\mathbf A}
\left(\begin{array}{c}
x_1 \\ \vdots \\ x_n
\end{array}
\right)=
C^{-1} {\mathbf A}C
\left(\begin{array}{c}
{\mathfrak x}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n
\end{array}
\right).
$$
Равенство имеет место для любого столбца
$ \left[{\mathfrak x}_1, \dots , {\mathfrak x}_n\right]^{^{\top}} $, и, в частности,
для столбцов
$$
\left(\begin{array}{c}
1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{array}
\right) \ , \
\left(\begin{array}{c}
0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0
\end{array}
\right)
\ ,\dots, \
\left(\begin{array}{c}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1
\end{array}
\right) \ .
$$
Объединяя эти $ n_{} $ равенств в одно матричное,
получим $ {\mathbf B} \cdot E=C^{-1}\cdot {\mathbf A} \cdot C \cdot E $,
откуда и следует доказываемое.
♦