!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:mapping:operator ОПЕРАТОР))
----
==Задачи==
1.
Оператор $ \mathcal A $ в $ \mathbb R^{3} $ действует следующим образом:
**a)** $ \mathcal A(1,2,3)=(-2,1,1),\ \mathcal A(1,1,1)=(0,1,1),\ \mathcal A(1,1,0)=(4,0,2) $, определить $ \mathcal A(-1,1,-2) $;
**б)** $ \mathcal A(1,2,1)=(-1,0,1),\ \mathcal A(2,1,2)=(1,1,1),\ \mathcal A(1,1,1)=(1,1,0) $,
определить $ \mathcal A(3,2,1) $;
**в)** $ \mathcal A(1,2,1)=(-1,0,1),\ \mathcal A(-2,-3,-2)=(1,1,1),\ \mathcal A(1,1,1)=(0,-1,-2) $, определить $ \mathcal A(0,-2,0) $;
**г)** $ \mathcal A(1,2,1)=(-1,0,1),\ \mathcal A(-2,-3,-2)=(1,1,1),\ \mathcal A(0,1,0)=(-1,1,3) $,
определить $ \mathcal A(0,0,1) $.
2.
В пространстве $ \mathbb P_3 $ полиномов степеней $ \le 3_{} $ с вещественными коэффициентами оператор задан следующим образом:
**a)** $ \mathcal A (p(x))= $ частное от деления $ p_{}(x) $ на $ x^{2}+1 $ ,
найти $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $ и $ \mathcal{I}m(\mathcal A) $;
**б)** $ \mathcal A (p(x))=3\,x^2p^{\prime \prime}(x)-2 p^{\prime}(x) $,
найти его матрицу в базисе
$ \{ 1, x, 1/2(3\,x^2-1),\ 1/2(5x^3-3\,x) \} $;
**в)** $ \ \mathcal A (f(x)) = f(x) (x^2-2) \pmod{x^4-x^3-x^2+x} $,
(т.е. полином $ f_{}(x) $ отображается в ((:polynomial#делимость_полиномов остаток от деления)) произведения $ f(x) (x^2-2) $ на $ x^4-x^3-x^2+x $); найти $ \mathcal A_{}^{-1} $.
3.
В пространстве квадратных матриц $ 2_{} $-го порядка выбран базис:
$$ E_1=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right),\ E_2=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right),\ E_3=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right),\ E_4=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \ . $$
Построить в этом базисе матрицу отображения Ляпунова
$$ \mathcal V (X) = A^{\top}X+XA \ . $$
Здесь матрица $ A_{} $ --- некоторая фиксированная квадратная матрица $ 2_{} $-го порядка.
Сравнить ответ с вот этим
☞
((:algebra2:kronecker_prod объектом)).
4.
Найти все значения параметра $ \alpha_{} $, при которых матрица
**а)**
$$
\quad \left( \begin{array}{rcr}
3-\alpha &\alpha -5 & \alpha \\
-\alpha &\alpha - 2 & \alpha \\
5 & -5 & -2
\end{array}
\right) \ ;
$$
**б)**
$$
\left(
\begin{array}{ccc}
1-5\, \alpha & 4\, \alpha & 3\, \alpha \\
5\, \alpha & 1-4\, \alpha & -3\, \alpha \\
-15\, \alpha & 12\, \alpha & 1+9 \, \alpha
\end{array}
\right)
$$
диагонализуема.
5.
Доказать, что любые $ n_{}+1 $ степеней произвольного оператора, заданного в пространстве размерности $ n_{} $, будут линейно зависимыми.
6.
При каком условии оператор $ \mathcal A $ будет иметь **неподвижную точку**:
$$ X \in \mathbb V, X \ne \mathbb O,\ \mathcal A (X)=X \ ? $$
7
((#источники [1])). Рассмотрим пространство полиномов $ \mathbb P $ всевозможных степеней от переменной $ x_{} $. Пусть
$$ \mathcal A (a_0+a_1x+\dots+a_nx^n)= a_1+a_2x+\dots+a_nx^{n-1},\quad \mathcal B (f(x))= xf(x) \ . $$
Доказать, что
$$ \mathcal A \mathcal B = \mathcal E , \quad \mathcal B \mathcal A \ne \mathcal E \ . $$
8.
Существует ли оператор в $ \mathbb R^{2} $, отображающий треугольник $ P_{1}P_2P_3 $ в треугольник $ Q_1Q_2Q_3 $ если
**a)** $ P_1=(1,1),P_2=(3,1),P_3=(2,3) $, а $ Q_1=(1,1),Q_2=(2,1),Q_3=(1,4) $;
**б)** $ P_1=(0,0),P_2=(3,1),P_3=(2,3) $, а $ Q_1=(0,0),Q_2=(2,1),Q_3=(1,4) $;
**в)** $ P_1=(2,1),P_2=(3,3),P_3=(4,2) $, а $ Q_1=(1,1),Q_2=(2,2),Q_3=(3,1) $ ?
Если да, то укажите количество таких операторов. Во что при этом отображается ((http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B4 центроид)) треугольника?
9.
Доказать, что для любых двух различных векторов $ \{X,Y\}\subset \mathbb R^n $ одинаковой длины существует оператор
((:mapping:operator#матрица_оператора_отражения_оператора_хаусхолдера зеркального отражения)), переводящий один вектор в другой.
10.
Найти спектр оператора ((:mapping:operator#матрица_оператора_отражения_оператора_хаусхолдера зеркального отражения)).
11.
В ненулевом пространстве случайным образом выбирается действующий в нем оператор. Какова вероятность того, что он вырожден?
12.
В пространстве $ \mathbb P_2 $ полиномов по $ x_{} $ степени $ \le 2 $ ((:mapping:operator линейный оператор)) действует по правилу:
$$ \mathcal A(x^2+x+1)=2\,x+1,\ \mathcal A(x^2-x-1)=x-3,\ \mathcal A(1)=x \ . $$
Можно ли обобщить свойство линейности таким вот образом: $ \mathcal A(x)=x \mathcal A(1) $?
13.
При какой матрице перехода от старого базиса к новому матрица оператора не изменится?
14.
Доказать, что линейный оператор $ Y = A X $, действующий в $ \mathbb R^3 $,
(т.е. $ A \in \mathbb R^{3\times 3}$), отображает произвольный шар либо **(а)** в эллипсоид, либо **(б)** в эллипс, либо **(в)** в точку.
В случае **(а)**: как связаны между собой объемы шара и эллипсоида?
В случае **(б)**: как связаны между собой объем шара и площадь эллипса?
15.
D пространстве $ \mathbb R^3 $ первый оператор поворачивает точки вокруг оси $ Oz $ на угол $ \pi/2 $, а второй поворачивает точки вокруг оси $ Ox $ на угол $ \pi/2 $. Найти ось вращения результирующего поворота. Показать, что при смене последовательности поворотов у результирующего поворота ось вращения меняется, а величина угла поворота нет.
==Источники==
[1]. **Шилов Г.Е.** //Математический анализ. Конечномерные линейные пространства.// М.Наука.1969