!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:mapping:operator:jordan ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА))
----
==Примеры==
!!§!! Для экономии места используется обозначение **стандартного** базисного вектора:
$$
{\mathfrak e}_j = \big[\underbrace{0,\dots,0,1}_{j},0,\dots,0\big]^{\top} .
$$
!!П!! **Пример 1.** Для матрицы
$${\mathbf A}=\left(
\begin{array}{rrrrrr}
-1 & 0 & -9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{array}
\right)
$$
построить **ЖНФ** и матрицу $ C $, к ней приводящую.
**Решение.**
1.
Вычисляем ((:algebra2:charpoly характеристический полином))
$ \det ({\mathbf A}- \lambda\, E)=(\lambda-2)^6 $.
Он имеет единственный корень $ \lambda_1=2 $ кратности $ {\mathfrak m}_1=6 $.
2.
Ищем $ \mathbb Q_1 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты
$ 1_{} $, принадлежащих $ \lambda_1 $. Для этого составляем матрицу
$${\mathbf B}={\mathbf A}- 2\, E=
\left(
\begin{array}{rrrrrr}
-3 & 0 & -9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
$$
и ищем ((:algebra2:linearsystems#система_однородных_уравнений фундаментальную систему решений)) (**ФСР**) для системы $ {\mathbf B}X=\mathbb O $. Результатом ((:algebra2:linearsystems#исключение_переменных прямого хода метода Гаусса)) является система
$$\left\{
\begin{array}{rrrrrrr}
x_1& & +3x_3 & & & &=0 \\
&x_2 & & & & &=0 \\
& & & x_4 & &-x_6& =0
\end{array}
\right.
\quad
\Rightarrow
\qquad \mbox{ ФСР: } \quad
\begin{array}{ccc|ccc}
x_1 & x_2 & x_4 & x_3 & x_5 & x_6 \\ \hline
-3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
$$
(справа от вертикальной черты --- значения основных переменных) и
$ \mathbb Q_1=\mathcal L ({\mathfrak e}_5, {\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6,-3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3) $.
**Вывод.** Собственному числу $ \lambda_1=2 $ в **ЖНФ** соответствуют $ k_1=3 $ клетки
Жордана. Матрица $ {\mathbf A} $ ((:mapping:operator#диагонализуемость_матрицы_оператора недиагонализуема)).
3.
Ищем $ \mathbb Q_2 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты
$ \le 2 $, принадлежащих $ \lambda_{1} $. Для этого вычисляем матрицу
$${\mathbf B}^2=
\left(
\begin{array}{rrrrrr}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 2 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 2 & 0 & -2
\end{array}
\right)
$$
и ищем **ФСР** для системы $ {\mathbf B}^2X=\mathbb O $. Эта система вырождается
в единственное уравнение
$$x_2+x_4-x_6=0 \ ,$$
для которого **ФСР** можно строить произвольным образом. Мы, однако же,
построим ее дополнением **ФСР**, полученной на шаге
2
:
$$
\begin{array}{c|ccccc}
x_4 & x_3 & x_5 & x_6 & x_1 & x_2 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
$$
(переменные $ x_{1} $ и $ x_{2} $, которые были зависимыми на шаге
2
, переведены в разряд основных). Таким образом, $ k_2=2 $ добавленных на этом шаге вектора составляют
((:linear_space#относительный_базис относительный базис)) $ \mathbb Q_2 $ над $ \mathbb Q_1 $.
4.
Ищем $ \mathbb Q_3 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты
$ \le 3 $, принадлежащих $ \lambda_{1} $. Матрица
$ {\mathbf B}^3 $ оказывается нулевой, следовательно $ \mathbb Q_3=\mathbb R^6 $. Базис
$ \mathbb Q_3 $ построим дополнением базиса $ \mathbb Q_2 $:
$$\qquad \qquad \qquad \mathbb Q_3=\mathcal L ({\mathfrak e}_5, {\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6,-3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3,
{\mathfrak e}_2-{\mathfrak e}_4,{\mathfrak e}_1,{\mathfrak e}_4)
\ . $$
Таким образом, $ k_3=1 $.
5.
Поскольку число векторов в базисе $ \mathbb Q_3 $ совпало с кратностью
$ {\mathfrak m}_1=6 $ собственного числа $ \lambda_1=2 $, то на этом процесс вычисления
корневых векторов останавливается. Информация о структуре клеток Жордана, соответствующих $ \lambda_{1} $ берем из ((:mapping:operator:jordan#алгоритм_построения_базиса_корневого_подпространства алгоритма построения базиса корневого подпространства)):
* $ \mathfrak h_1=3,k_3=1 $, следовательно имеется одна клетка порядка $ 3_{} $;
* в относительном базисе
$ \mathbb Q_2 $ над $ \mathbb Q_1 $ содержатся $ k_2=2 $ вектора и $ k_2-k_3=1 $, т.е. имеется одна клетка порядка $ 2_{} $;
* в базисе $ \mathbb Q_1 $ содержатся $ k_1= 3 $ вектора и $ k_1-k_2=1 $, т.е. имеется одна клетка порядка $ 1_{} $.
$$
{\mathbf A}_{\mathfrak J}=\left(
\begin{array}{rrr|rr|r}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{array}
\right) \ .
$$
Теперь начинаем построение соответствующей матрицы $ C_{} $. Прежде всего, представляем алгоритм нахождения базисных векторов подпространств $ \mathbb Q_1, \mathbb Q_2, \mathbb Q_3 $ в виде схемы 1,
{{ mapping:operator:jordan:jkf1.jpg |}}
в ней каждый этаж показывает число корневых векторов, добавляемых на каждом шаге. Стоящие друг над другом квадраты образуют башни, высоты которых дают размерности клеток Жордана.
{{ mapping:operator:jordan:jkf2.jpg|}}
6.
Для построения канонического базиса обратимся к схеме 1,
и будем
заполнять ее квадраты, начиная с самого верхнего. Согласно ((:mapping:operator:jordan#алгоритм_построения_базиса_корневого_подпространства алгоритму)),
для построения базиса циклического подпространства размерности $ 3_{} $
мы должны взять произвольный вектор из относительного базиса $ \mathbb Q_3 $
над $ \mathbb Q_2 $. Этот вектор единствен: $ {\mathfrak e}_4 $. Далее, домножаем его на
матрицы $ {\mathbf B} $ и $ {\mathbf B}^2 $. Три полученных вектора $ {\mathfrak e}_4,
{\mathfrak e}_2-{\mathfrak e}_4, 2({\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6) $ --- это
первые векторы канонического базиса (схема 2). Они соответствуют клетке Жордана порядка $ 3_{} $.
7.
Больше циклических подпространств размерности $ 3_{} $ не имеется, и мы начинаем
искать базис циклических подпространств размерности $ 2_{} $. Согласно ((:mapping:operator:jordan#алгоритм_построения_базиса_корневого_подпространства алгоритму)),
{{mapping:operator:jordan:jkf3.jpg |}}
мы должны взять произвольный вектор из относительного базиса $ \mathbb Q_2 $
над $ \mathbb Q_ 1 $, линейно независимый с тем, что получен на шаге
6
, т.е. с
$ ({\mathfrak e}_2-{\mathfrak e}_4) $. Такой вектор единствен: $ {\mathfrak e}_1 $.
Домножим его на матрицу $ {\mathbf B} $. Два вектора: $ {\mathfrak e}_1,
-3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3 $ являются следующими векторами канонического базиса и соответствуют клетке Жордана порядка $ 2_{} $ (схема 3).
8.
Осталось одномерное циклическое подпространство. Его базис выбирается из $ \mathbb Q_1 $. Из базисных векторов $ \mathbb Q_1 $ можно взять только
$ {\mathfrak e}_5 $ (т.к. векторы
$ -3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3 $ и $ {\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6 $ уже задействованы на предыдущих этапах и содержатся среди канонических). Итак,
канонический базис пространства $ \mathbb R^6 $ задается
$$\left\{{\mathfrak e}_4, {\mathfrak e}_2-{\mathfrak e}_4, 2({\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6),
{\mathfrak e}_1, -3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3, {\mathfrak e}_5 \right\} $$
т.е. матрица
$$ C= \left(
\begin{array}{rrrrrr}
0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
$$
приводит матрицу $ {\mathbf A} $ к **ЖНФ**: $ C^{-1}{\mathbf A}C={\mathbf A}_{\mathfrak J} $.
9.
Матрица $ C_{} $, приводящая к **ЖНФ**, определяется не единственным образом --- алгоритм ее построения допускает неоднозначности.
Последним шагом решения может быть проверка равенства $ {\mathbf A}C=C{\mathbf A}_{\mathfrak J} $. Хотя это условие является только необходимым, но очень часто позволяет отловить ошибки.
!!П!! **Пример 2.** Для матрицы
$${\mathbf A}=\left(
\begin{array}{rrrrrr}
3 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
6 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 4 & -3 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 3 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 6 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 & -3
\end{array}
\right)
$$
построить **ЖНФ** и матрицу $ C_{} $, к ней приводящую.
**Решение.**
1.
Вычисляем ((:algebra2:charpoly характеристический полином))
$ \det ({\mathbf A}- \lambda\, E)=\lambda^6 $.
Он имеет единственный корень $ \lambda_1=0 $ кратности $ {\mathfrak m}_1=6 $.
2.
Ищем $ \mathbb Q_1 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты
$ 1_{} $, принадлежащих $ \lambda_1=0 $. Для нашего примера матрица $ {\mathbf B}={\mathbf A}- \lambda_1\, E $ совпадает с матрицей $ \mathbf A_{} $. Строим **ФСР** для системы $ {\mathbf A}X=\mathbb O $:
$$\left\{
\begin{array}{rrrrrrr}
3\,x_1& &-x_3 & +x_4 & & &=0, \\
& 12\, x_2 &-8\,x_3 & -x_4 & &+3\,x_6 & =0,\\
& & & -2\,x_4 &+x_5 & & =0, \\
& & & &3\,x_5& -2\,x_6 & = 0
\end{array}
\right.
\quad
\Rightarrow
\qquad \mbox{ ФСР: } \quad
\begin{array}{rrrr|cc}
x_1 & x_2 & x_4 & x_5 & x_3 & x_6 \\ \hline
-1 & -2 & 3 & 6 & 0 & 9 \\
1 & 2 & 0 & 0 & 3 & 0
\end{array}
$$
и
$$ \mathbb Q_1=\mathcal L ([1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top}) \ .
$$
**Вывод.** Собственному числу $ \lambda_1=0 $ в **ЖНФ** соответствуют $ k_{1}=2 $ клетки
Жордана. Матрица $ {\mathbf A} $ ((:mapping:operator#диагонализуемость_матрицы_оператора недиагонализуема)).
3.
Ищем $ \mathbb Q_2 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты
$ \le 2 $, принадлежащих $ \lambda_{1} $. Для этого вычисляем матрицу
$${\mathbf B}^2={\mathbf A}^2=
\left(
\begin{array}{rrrrrr}
8 & -4 & 0 & 6 & 0 & -2 \\
16 & -8 & 0 & 12 & 0 & -4 \\
24 & -12 & 0 & 2 & 8 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 8 & -4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 16 & -8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 24 & -12 & 0
\end{array}
\right)
$$
и ищем **ФСР** для системы $ {\mathbf B}^2X=\mathbb O $. Эта система сводится к двум уравнениям
$$\left\{
\begin{array}{rrrrrrr}
4\,x_1&-2\,x_2 & & +3x_4 & & -x_6 &=0 \\
& & & 2\,x_4 &-x_5 & & =0
\end{array}
\right.
\quad
\Rightarrow
\qquad \mbox{ ФСР: } \quad
\begin{array}{cc|cccc}
x_2 & x_5 & x_1 & x_3 & x_4 & x_6 \\ \hline
2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
3 & 4 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
-2 & 6 & -1 & 0 & 3 & 9
\end{array}
$$
Следуя общему алгоритму, **ФСР** строим дополнением системы, полученной на шаге
2
:
$$
\mathbb Q_2=\mathcal L ([1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [1,2,0,0,0,0]^{\top},\ [0,3,0,2,4,0]^{\top}) \ .
$$
4.
Ищем $ \mathbb Q_3 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты
$ \le 3 $, принадлежащих $ \lambda_{1} $. Для этого вычисляем матрицу
$${\mathbf B}^3={\mathbf A}^3=
\left(
\begin{array}{rrrrrr}
0 & 0 & 0 & 24 & -12 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 48 & -24 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 72 & -36 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
$$
и ищем **ФСР** для системы $ {\mathbf B}^3X=\mathbb O $. Эта система вырождается
в единственное уравнение
$$ 2\,x_4-x_5=0 \ , $$
для которого **ФСР** строим дополнением **ФСР**, полученной на шаге
3
:
$$
\begin{array}{c|ccccc}
x_5 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_6 \\ \hline
0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\
4 & 0 & 3 & 0 & 2 & 0 \\
6 & -1 & -2 & 0 & 3 & 9
\end{array}
$$
и
$$
\mathbb Q_3=\mathcal L ([1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [1,2,0,0,0,0]^{\top},\ [0,3,0,2,4,0]^{\top}, \ {\mathfrak e}_2) .
$$
5.
Ищем $ \mathbb Q_4 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты
$ \le 4 $, принадлежащих $ \lambda_{1} $. Матрица $ {\mathbf B}^4= {\mathbf A}^4 $ оказывается нулевой, т.е. $ \mathbb Q_4 = \mathbb R^6 $. Базис $ \mathbb Q_4 $ построим дополнением базиса $ \mathbb Q_3 $:
$$
\mathbb Q_4=
\mathcal L ([1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [1,2,0,0,0,0]^{\top},\ [0,3,0,2,4,0]^{\top}, \ {\mathfrak e}_2,\ {\mathfrak e}_5) \ .
$$
6.
Поскольку число корневых векторов в базисе $ \mathbb Q_4 $ совпало с кратностью собственного числа $ \lambda_1=0 $, то на этом процесс вычисления корневых векторов останавливается. Применение первой части ((:mapping:operator:jordan#алгоритм_построения_базиса_корневого_подпространства алгоритма)) дает информацию о структуре клеток Жордана, соответствующих $ \lambda_{1} $.
$$
{\mathbf A}_{\mathfrak J}=\left(
\begin{array}{rrrr|rr}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}
\right) \ .
$$
7.
Для построения канонического базиса обратимся к схеме 1,
и будем заполнять ее квадраты,
{{mapping:operator:jordan:tower1.jpg |}}
начиная с самого верхнего. Согласно ((:mapping:operator:jordan#алгоритм_построения_базиса_корневого_подпространства алгоритму)),
для построения базиса циклического подпространства размерности $ 4_{} $
мы должны взять произвольный вектор из относительного базиса $ \mathbb Q_4 $
над $ \mathbb Q_3 $. Этот вектор единствен: $ {\mathfrak e}_5 $. Далее, домножаем его на
матрицы $ {\mathbf B},{\mathbf B}^2 $ и $ {\mathbf B}^3 $. Четыре полученных вектора
$$ {\mathfrak e}_5,\ [0,1,0,4,0,0]^{\top},\ [0,0,8,-4,-8,-12]^{\top} , \ [-12,-24,-36,0,0,0]^{\top} $$
--- это первые векторы канонического базиса (схема 2). Они соответствуют клетке Жордана порядка $ 4_{} $.
Больше циклических подпространств размерностей $ 4_{} $ и $ 3_{} $ не имеется, и мы начинаем
искать базис циклических подпространств размерности $ 2_{} $. Согласно ((:mapping:operator:jordan#алгоритм_построения_базиса_корневого_подпространства алгоритму)),
мы должны взять такой вектор из относительного базиса $ \mathbb Q_2 $
над $ \mathbb Q_1 $, чтобы он --- вместе с полученным ранее вектором $ [0,0,8,-4,-8,-12]^{\top} $
--- образовал бы систему векторов, линейно независимую относительно $ \mathbb Q_1 $.
{{ mapping:operator:jordan:tower2.jpg|}}
Какой из векторов взять ---
$$ [1,2,0,0,0,0]^{\top} \qquad \mbox{ или } \qquad [0,3,0,2,4,0]^{\top} $$
--- на первый взгляд, не очевидно. Приходится выполнять ((:linear_space#относительный_базис проверку)) на линейную независимость двух систем векторов:
$$ \{ [1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [0,0,8,-4,-8,-12]^{\top}, \ [1,2,0,0,0,0]^{\top} \} $$
и
$$
\{ [1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [0,0,8,-4,-8,-12]^{\top},\ [0,3,0,2,4,0]^{\top} \} \ .
$$
Выясняется, что первая система линейно зависима, а вторая --- нет. Итак, в качестве первого базисного вектора циклического подпространства размерности $ 2_{} $ следует взять $ [0,3,0,2,4,0]^{\top} $. Второй базисный вектор получается его домножением на матрицу $ {\mathbf B} $:
$$ \left[2,4,12,6,12,18\right]^{\top} \ . $$
Окончательно, матрица
$$ C= \left(
\begin{array}{rrrrrr}
0 & 0 & 0 & -12 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & -24 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 8 & -36 & 0 & 12 \\
0 & 0 & -4 & 0 & 2 & 6 \\
1 & 0 & -8 & 0 & 4 & 12 \\
0 & 4 & -12 & 0 & 0 & 18
\end{array}
\right)
$$
приводит матрицу $ {\mathbf A} $ к **ЖНФ**: $ C^{-1}{\mathbf A}C={\mathbf A}_{\mathfrak J} $.