Для понимания материалов настоящего раздела крайне желательно ознакомиться с разделом
((:linear_space ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО)).
==Линейное отображение==
~~TOC~~
**Линейным отображением** линейного векторного пространства $ \mathbb V_{} $ с операцией сложения векторов, обозначаемой $ +_{} $,
в линейное векторное пространство $ \mathbb W_{} $ с операцией сложения векторов, обозначаемой $ \boxplus_{} $,
называется функция (соответствие)
$$ \mathcal A:\ \mathbb V \longmapsto \mathbb W $$
(т.е. определенная на $ \mathbb V_{} $, имеющая
значения в $ \mathbb W_{} $), обладающая **свойством линейности**, которое описывается одним из двух эквивалентных представлений:
$$
\mathcal A (X_1 +X_2)= \mathcal A(X_1) \boxplus \mathcal A(X_2),\quad \mathcal A (\alpha_1 X_1)=
\alpha_1 \mathcal A (X_1),
$$
или
$$
\mathcal A(\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2)= \alpha_1 \mathcal A(X_1) \boxplus \alpha_2 \mathcal A(X_2)
$$
указанные свойства должны быть выполнены для любых векторов $ X_1,X_2 $ пространства $ \mathbb V_{} $ и любых скаляров $ \alpha_1,\alpha_ 2 $ (вещественных если оба пространства
вещественны, и комплексных если хотя бы одно из пространств комплексное).
Если $ Y=\mathcal A(X) $, то говорят, что $ Y_{} $ --- **образ вектора** $ X_{} $, а $ X_{} $ ---
**прообраз вектора** $ Y_{} $ при отображении $ \mathcal A_{} $. Пространство $ \mathbb V_{} $ называется **областью определения** отображения $ \mathcal A_{} $.
Образно говоря, свойство линейности отображения заключается в том, что при этом отображении образ суммы любых двух векторов совпадает с суммой образов этих векторов, а произвольное растяжение прообраза влечет за собой сообразное же растяжение образа[[Удачная фраза получилась --- с шестью включениями слова //образ//!:-)]].
===Примеры линейных отображений==
!!П!! **Пример 1.** Рассмотрим линейное пространство
((:polynomial#общая_информация полиномов)) степени не выше $ n_{} $:
$$ \mathbb P_n=\{p(x) \in \mathbb R[x] \mid \deg p(x) \le n \} \, ; $$
в это же множество включаем и тождественно нулевой полином (для которого степень не определяется). Операция нахождения ((:polynomial#делимость_полиномов частного)) и операция нахождения ((:polynomial#делимость_полиномов остатка от деления)) полинома $ p(x)_{} $ на заданный фиксированный полином $ g(x) \in \mathbb R[x], g(x) \not\equiv 0 $ являются линейными отображениями пространства $ \mathbb P_{n} $: если
$$ p_1(x)\equiv q_1(x)g(x)+r_1(x),\ p_2(x)\equiv q_2(x)g(x)+r_2(x) $$
при $ \deg r_j(x)<\deg g(x) $
то
$$
(\alpha_1p_1(x)+\alpha_2p_2(x)) \equiv
$$
$$
\equiv
(\alpha_1q_1(x)+\alpha_2q_2(x)) g(x) + (\alpha_1r_1(x)+\alpha_2r_2(x)) \ . $$
Фактически, операция деления на $ g_{}(x) $ (с остатком) порождает два разных линейных отображения. Если $ \deg g(x) = m $ при $ 0
☟