!!§!! Вспомогательная страница к пункту
☞
((:linear_space#сумма_и_пересечение_линейных_подпространств СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ))
----
!!?!! Найти базисы суммы и пересечения подпространств
$$
\mathbb V_1=\left\{
X\in \mathbb R^4 \left|
\begin{array}{rrrrl}
2\,x_1&+x_2&+4\,x_3&+x_4 &= 0, \\
2\,x_1&+x_2&+3\,x_3& &=0
\end{array}
\right.
\right\}
$$
и
$$
\mathbb V_2=
\left\{
X\in \mathbb R^4 \left|
\begin{array}{rrrrl}
3\,x_1&+2\,x_2&-x_3&-6\, x_4 &= 0, \\
x_1&&+8\,x_3 &+7\, x_4 &=0
\end{array}
\right.
\right\} \ .
$$
**Решение.** Проще определить базис пересечения. Можно было бы свести задачу к случаю, рассмотренному в примере из
☞
((:linear_space#сумма_и_пересечение_линейных_подпространств ПУНКТА)), ---
посредством определения **ФСР** для каждой из систем уравнений.
Однако, по здравому размышлению о способе задания каждого из подпространств, можно предложить более простой алгоритм. Множество векторов $ X\in \mathbb R^4 $, принадлежащих $ \mathbb V_j $, выделяется из пространства $ \mathbb R^4 $ наложением на эти векторы ограничений в виде равенств,
которым они должны удовлетворять. Теперь очевидно, что $ X\in \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $
тогда и только тогда, когда $ X_{} $ одновременно удовлетворяет ограничениям
как одного подпространства так и другого. Иными словами, он должен быть
решением объединенной системы линейных уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{rrrrl}
2\,x_1&+x_2&+4\,x_3&+x_4 &= 0, \\
2\,x_1&+x_2&+3\,x_3& &=0, \\
3\,x_1&+2\,x_2&-x_3 &-6\, x_4 &= 0, \\
x_1& &+8\,x_3 &+7\, x_4 &=0.
\end{array}
\right.
$$
Решаем ее по ((:algebra2:linearsystems#исключение_переменных_метод_гаусса методу Гаусса)):
$$
\left\{
\begin{array}{rrrrl}
2\,x_1&+x_2&+4\,x_3&+x_4 &= 0, \\
&1/2 x_2&-7\,x_3&-15/2\,x_4 &=0, \\
&&x_3 &+x_4 &= 0
\end{array}
\right. \quad \Rightarrow \quad \mbox{ ф.с.р. } \quad
\begin{array}{rrr|r}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline
1 & 1 & -1 & 1
\end{array} \ .
$$
Итак, $ \dim (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2)=1 $ и базисным вектором может быть взят $ [1,1,-1,1]^{^{\top}} $.
Для нахождения базиса $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ нам все же придется определить
базисы каждого из подпространств, т.е. решить каждую из систем уравнений:
$$
\mathbb V_1 = \mathcal L \left( \left[
\begin{array}{r}
-1/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{array}
\right],\,
\left[
\begin{array}{r}
3/2 \\ 0 \\ -1 \\ 1
\end{array}
\right] \right)
\ , \qquad
\mathbb V_2 = \mathcal L
\left(\left[
\begin{array}{r}
-8 \\ 25/2 \\ 1 \\ 0
\end{array}
\right],\,
\left[
\begin{array}{r}
-7 \\ 27/2 \\ 0 \\ 1
\end{array}
\right] \right) \ .
$$
Собираем базисные векторы в одну матрицу:
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
-1/2 & 3/2 & -8 & -7 \\
1 & 0 & 25/2
& 27/2 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{array}
\right) \ .
$$
Теорема ((:linear_space/vspom1 о связи размерностей суммы и пересечения линейных подпространств)) позволяет предсказать величину ее ранга: $ 2+2-1=3 $.
Осталось только выяснить какими столбцами этот ранг обеспечивается:
$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 25/2 \\
0&-1&1 \\
0& 1 & 0
\end{array}
\right| \ne 0 \ ;
$$
следовательно базис $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ состоит из первых трех столбцов матрицы.