!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:linear_space#сумма_и_пересечение_линейных_подпространств ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА))
==Теорема о размерностях суммы и пересечения линейных подпространтсв==
!!Т!! **Теорема.** //Имеет место формула//:
$$
\dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2=\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) +
\dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2) \ . $$
**Доказательство.** Пусть $ d_1 = \dim \, \mathbb V_1,\, d_2 = \dim \, \mathbb V_2, \ p =\dim \, (\mathbb
V_1 \cap \mathbb V_2) $ и
$ \{X_1,\dots,X_p \} $ --- базис $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. На основании теоремы 9, приведенной
☞
((:linear_space#линейная_зависимость_базис_координаты ЗДЕСЬ)), этот базис можно
дополнить до базисов каждого из подпространств $ \mathbb V_j $: пусть
$$
\{X_1,\dots,X_p ,X_{p+1},\dots,X_{d_1} \} \mbox{ - базис } \mathbb V_1 , \
$$
а
$$
\{X_1,\dots,X_p ,Y_{p+1},\dots,Y_{d_2} \} \mbox{ - базис } \mathbb V_2 .
$$
Докажем, что система
$$
\{X_1,\dots,X_p ,X_{p+1},\dots,X_{d_1},Y_{p+1},\dots,Y_{d_2} \}
$$
является базисом $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $.
Действительно, произвольный вектор $ Z\in \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ можно представить в
виде $ Z=Z_1+Z_2 $, где $ Z_j\in \mathbb V_j $. А каждый из слагаемых
векторов, в свою очередь, можно разложить в линейную комбинацию базисных
векторов соответствующего подпространства.
Покажем, что система **л.н.з.** Пусть
$$
\underbrace{\alpha_1 X_1+\dots + \alpha_p X_p +\alpha_{p+1}X_{p+1}+\dots+\alpha_{d_1}
X_{d_1}}_{= U\in \mathbb V_1}+ \beta_{p+1}Y_{p+1}+\dots+ \beta_{d_2}Y_{d_2}=\mathbb O \ .
$$
Из этого соотношения вектор $ U_{} $ может быть выражен в виде:
$$
U=-\beta_{p+1}Y_{p+1}-\dots -\beta_{d_2}Y_{d_2}\ \in \mathbb V_2
$$
и, таким образом, $ U\in \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Тогда $ U_{} $ выражается через базисные
векторы пересечения:
$$U=-\beta_{p+1}Y_{p+1}-\dots -\beta_{d_2}Y_{d_2}=\tilde \alpha_1 X_1+\dots+\tilde \alpha_p X_p
\ .
$$
Отсюда
$$\tilde \alpha_1 X_1+\dots+\tilde \alpha_p X_p+\beta_{p+1}Y_{p+1}+\dots +\beta_{d_2}Y_{d_2}=\mathbb O $$
и, следовательно,
$$ \tilde \alpha_1=0,\dots, \tilde \alpha_p=0,\beta_{p+1}=0,
\dots, \beta_{d_2}=0 \ ,
$$
поскольку комбинируемые векторы являются базисными
для $ \mathbb V_2 $. Итак, $ U=\mathbb O $, но тогда из определения этого вектора
вытекает, что $ \alpha_1=0,\dots, \alpha_{d_1}=0 $, т.к. комбинируемые
векторы составляют базис $ \mathbb V_1 $.
Итак, соотношение
$$
\alpha_1 X_1+\dots + \alpha_p X_p +\alpha_{p+1}X_{p+1}+\dots+\alpha_{d_1}
X_{d_1}+ \beta_{p+1}Y_{p+1}+\dots+ \beta_{d_2}Y_{d_2}=\mathbb O
$$
возможно только при нулевом наборе скаляров, что и означает линейную независимость системы
$$
\{X_1,\dots,X_p ,X_{p+1},\dots,X_{d_1},Y_{p+1},\dots,Y_{d_2} \} \ .
$$
Мы доказали, что эта система образует базис пространства
$ \mathbb V_1+\mathbb V_2 $, но тогда
$$\dim \, (\mathbb V_1+\mathbb V_2) = d_1+ d_2 -p \ .$$
♦