!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:linear_space ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО))
==Задачи==
1.
Будет ли линейным подпространством множество полиномов, имеющих заданный набор ((:polynomial#корни корней)) $ \{\lambda_1,\dots,\lambda_{n}\} $ ?
2.
Будет ли линейным подпространством $ \mathbb R^n $ множество векторов, координаты которых имеют одинаковые знаки?
3.
Проверить, что каждая из систем векторов
$$
\left\{ \left[\begin{array}{c}
1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right],\
\left[\begin{array}{c}
2 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right],\
\left[\begin{array}{c}
3 \\ 7 \\ 1 \end{array} \right] \right\} \quad u
\quad
\left\{ \left[\begin{array}{c}
3 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right],\
\left[\begin{array}{c}
5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right],\
\left[\begin{array}{c}
1 \\ 1 \\ -6 \end{array} \right] \right\}
$$
является базисной в $ \mathbb R^3 $, и найти координаты вектора $ X_{} $
**(a)** во втором базисе, если $ x_1=1,x_2=0,x_3=1 $ --- его координаты в первом;
**(b)** в первом базисе, если $ {\mathfrak x}_1=1,{\mathfrak x}_2=-1,{\mathfrak x}_3=1 $
--- его координаты во втором.
4.
Будут ли параллельны многообразия
$$
\mathbb M_1 = [1,1,1,1] + \mathcal L ( [1,2,1,1], [-1,0,0,1])
$$
и
$$
\mathbb M_2 = [2,1,1,0] + \mathcal L ( [2,2,1,0], [0,1,1/2,1]) \ ?
$$
5.
Доказать, что для пространства полиномов степеней не выше $ 3_{} $
каждая из систем
$$
{\mathfrak N}=\left\{1,\, x-x_1,\, (x-x_1)(x-x_2),\, (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \right\}
$$
и
$$
\begin{matrix}
{\mathfrak L}&=&\big\{(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4),\, (x-x_1)(x-x_3)(x-x_4),\\
& &(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4),\, (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \big\}
\end{matrix}
$$
является базисной при всех различных $ x_1,x_2,x_3,x_4 $. Найти координаты
произвольного полинома $ p(x) $ в этих базисах. Проиллюстрировать на примерах:
$ x_1=0,x_2=1,x_3=2,x_4=3 $ и $ p(x)=x^3+x^2-3x+1 $, $ p(x)=x^3-x^2-x+1 $.
Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
Доказать, что матрица перехода от базиса $ \mathfrak L $ к базису $\{1,x,x^2\} $ имеет вид
$$
\left(
\begin{array}{ccc}
1/W^{\prime}(x_1) & x_1/W^{\prime}(x_1) & x_1^2/W^{\prime}(x_1) \\
1/W^{\prime}(x_2) & x_2/W^{\prime}(x_2) & x_2^2/W^{\prime}(x_2) \\
1/W^{\prime}(x_3) & x_3/W^{\prime}(x_3) & x_3^2/W^{\prime}(x_3)
\end{array}
\right) \quad \mbox{где} \ W(x):=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
$$
6.
Найти базис $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $ при
$$
\mathbb V_1={\mathcal L} \left(
\left[
\begin{array}{r}
1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \
\end{array}
\right],\,
\left[
\begin{array}{r}
0 \\ 3 \\ -1 \\ 1
\end{array}
\right]
\right)
$$
и
$$
\mathbb V_2=
\left\{
X\in \mathbb R^4 \left|
\begin{array}{rrrrl}
3\,x_1&+2\,x_2&-x_3&-6\, x_4 &= 0, \\
2\,x_1&&+8\,x_3 &+7\, x_4 &=0
\end{array}
\right.
\right\} \ .
$$
7.
Можно ли как-то осмысленно ввести понятие //разности// двух линейных подпространств?
8.
Пусть $ \mathbb V=\mathbb V_1 \oplus \mathbb V_2 $. При каком условии ((:linear_space#prjamaja_summa_linejnyx_podprostranstv проекция вектора)) $ X \in \mathbb V $ на $ \mathbb V_1 $ параллельно подпространству $\mathbb V_2 $ будет нулевым вектором?
9.
Определить размерность ((:polynomialm#obschaja_informacija пространства полиномов)) $ n $-й степени от $ \ell $ переменных.
10.
Пусть матрица $ A_{} $ квадратная порядка $ n_{} $ и ее ((:algebra2:charpoly#собственное_число собственные числа)) все различны.
**a)** Доказать, что множество всех матриц $ X_{} $, ((:algebra2#квадратные_матрицы коммутирующих)) с $ A_{} $, образует ((:linear_space линейное подпространство)).
**б)** Доказать, что ((:linear_space#линейная_зависимость_базис_координаты размерность)) этого подпространства равна $ n_{} $.
**в)** Доказать, что $ \{ E,A_{},\dots, A^{n-1} \} $ --- базис этого подпространства.