!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:linear_space ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО)). Содержит материал теоретического значения, не очень существенный[[По крайней мере, в ближайшей перспективе.]] для остальных разделов.
----
== Факторпространство==
В настоящем пункте $ \mathbb V_1 $ обозначает линейное подпространство пространства $ \mathbb V_{} $, отличное от тривиального; обозначаем $ d_1=\dim \mathbb V_1 $.
Говорят, что векторы $ \{X_1,X_2\} \subset \mathbb V $ **сравнимы по подпространству** $ \mathbb V_1 $, если $ X_1-X_2 \in \mathbb V_1 $; этот факт записывают:
$$X_1\equiv_{_{\mathbb V_1}} X_2 \ .$$
Все пространство $ \mathbb V_{} $ раскладывается на объединение подмножеств,
или классов векторов, сравнимых по подпространству $ \mathbb V_1 $. Если
$ X_1\equiv_{_{\mathbb V_1}} X_2 $, $ Y_1\equiv_{_{\mathbb V_1}} Y_2 $, то
$ \alpha X_1+\beta Y_1 \equiv_{_{\mathbb V_1}} \alpha X_2+\beta Y_2 $.
Два разных класса не пересекаются и полностью определяются заданием
любого своего представителя. Поэтому их обозначают $ \overline{X_1},
\overline{X_2},\dots $
Множество классов, сравнимых по подпространству $ \mathbb V_1 $
называется **факторпространством** $ \mathbb V_{} $ **над** $ \mathbb V_1 $ и этот объект обозначается $ \mathbb V / \mathbb V_1 $.
Это определение фактически повторяет определение ((:gruppe:vspom2 факторгруппы)). Напомню, что
любое линейное пространство образует абелеву группу относительно операции сложения.
!!Т!! **Теорема.** //Факторпространство// $ \mathbb V / \mathbb V_1 $ //является линейным
пространством, базис которого состоит из классов, порожденных
векторами, образующими базис// $ \mathbb V_{} $ ((:linear_space#относительный_базис относительно)) $ \mathbb V_1 $. //Обратно,
если из каждого базисного класса факторпространства взять по одному
вектору, то получим базис// $ \mathbb V_{} $ //относительно// $ \mathbb V_1 $.
**Доказательство.** Положим:
$$
\alpha \overline{X}+\beta \overline{Y}=
\overline{\alpha X+\beta Y}\ .
$$
Введенное таким образом определение корректно, т.е. не зависит от
выбора представителей класса:
$${}_{.} \mbox{ если } \ X_1 \equiv_{_{\mathbb V_1}} X, \ Y_1 \equiv_{_{\mathbb V_1}} Y, \
\mbox{ то } \ \alpha X_1+\beta Y_1 \equiv_{_{\mathbb V_1}} \alpha X+\beta Y \ .$$
Легко проверяются ((:linear_space#определения свойства)) линейного пространства.
Далее,
$$\alpha_1X_1+\dots+\alpha_k X_k \in \mathbb V_1 \quad \iff \quad
\alpha_1X_1+\dots+\alpha_k X_k \equiv_{_{\mathbb V_1}} \mathbb O$$
и, на основании (\ref{RI3}):
$$\iff \alpha_1\overline{X_1}+\dots+\alpha_k\overline{ X_k} =
\overline{\mathbb O} .$$
Линейная независимость $ X_1,\dots,X_k $ относительно $ \mathbb V_1 $ эквивалентна
линейной независимости классов $ \overline{X_1},\dots,\overline{ X_k} $
факторпространства.
♦
!!=>!! $ \dim \mathbb V / \mathbb V_1 =\dim \mathbb V-\dim \mathbb V_1 $.
Последняя величина называется **коразмерностью** подпространства $ \mathbb V_1 $ в пространстве $ \mathbb V $.