!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:interpolation ИНТЕРПОЛЯЦИЯ))

----

!!?!! По таблице 

$$
\begin{array}{c|ccccccccccccccccccccc}
x =\frac{2}{21}\pi \times & \scriptstyle 1 &  \scriptstyle 2 &  \scriptstyle 3 &  \scriptstyle  4 &  \scriptstyle  5 &  \scriptstyle  6 &  \scriptstyle  7 &  \scriptstyle  8 &  \scriptstyle  9 &  \scriptstyle  10 &  \scriptstyle  11 &   \scriptstyle 12 &   \scriptstyle 13 &  \scriptstyle  14 &  \scriptstyle  15 &  \scriptstyle  16 &  \scriptstyle  17 &  \scriptstyle  18 &  \scriptstyle  19 &  \scriptstyle  20 &  \scriptstyle  21  \\ \hline
y &  \scriptstyle  175 &  \scriptstyle 196&  \scriptstyle 230& \scriptstyle 253& \scriptstyle 245& \scriptstyle 205& \scriptstyle 135& \scriptstyle 100& \scriptstyle 82& \scriptstyle 85& \scriptstyle 82& \scriptstyle 64& \scriptstyle 29& \scriptstyle 10& \scriptstyle 15& \scriptstyle 50& \scriptstyle 110& \scriptstyle 158& \scriptstyle 174& \scriptstyle 173& \scriptstyle 175
\end{array}
$$
построить ((:interpolation#интерполяция алгебраический полином)) $ 20 $-й степени и ((:interpolation#тригонометрическая_интерполяция тригонометрический полином)) $ 10_{} $-го порядка и сравнить их значения при $ x=\pi/7 $.

**Решение** полностью не привожу; ограничусь несколькими  коэффициентами тригонометрического полинома $ 10_{} $-го порядка[[Памятуя о проблеме ((:polynomial:zero_local#чувствительность_корней чувствительности)) значения полинома к возмущению его коэффициентов, я провел вычисления с точностью, гарантирующей достоверность приведенных заключений; для алгебраического полинома коэффициенты были найдены в виде рациональных чисел.]]:
$$ f_{10}(x)= \frac{2746}{21}+ \underbrace{66.393466}_{\approx}\, \cos x + \underbrace{71.131703}_{\approx} \,\sin x +\dots + \underbrace{0.984369}_{\approx}\, \cos 10\,x -\underbrace{1.399784}_{\approx}\, \sin 10\, x ; $$
и алгебраического полинома $ 20 $-й степени:
$$ F_{20}(x)= \underbrace{-0.015407}_{\approx} x^{20} +\underbrace{1.018851}_{\approx} x^{19}+\dots+ \underbrace{32885804.055722}_{\approx} x -2786801 \ . $$
$ F_{20}(\pi/5) \approx -474.406639 $, что приходит в противоречие со здравым смыслом, поскольку интерполяционная таблица содержит исключительно только положительные значения! А еще более несообразным оказывается значение $ F_{20}(\pi/7) $ 8-o 

График тригонометрического полинома $ f_{10}(x) $:
{{ interpolation:trigpoly10.gif |}}