!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:interpolation "Полиномиальная интерполяция при наличии систематических ошибок в таблице"))
----
==Полином локаторов ошибок в интерполяционной таблице==
Для простоты, будем предполагать все числа настоящего пункта, а также коэффициенты полиномов вещественными числами.
Обозначения:
$$ \tau_{\ell} := \displaystyle \sum_{j=1}^{N} y_j \frac{x_j^{\ell}}{W^{\prime}(x_j)} , \ W(x):=\prod_{j=1}^N (x- x_j) \, . $$
!!Т!! **Теорема.** //Пусть// $ E \in \{2,3,\dots, \lfloor N/2 \rfloor-1 \} $ и $ e_1,\dots,e_E $ ---// различные числа из// $ \{1,2,\dots, N\} $. //Пусть полином// $ f(x) $ //имеет степень// $ n< N-2E $.
//Пусть интерполяционная таблица//
$$
\begin{array}{c||c|c|c|c}
x & x_1 & x_2 & \ldots & x_N \\
\hline
y & y_1 & y_2 & \ldots & y_N
\end{array}
$$
//удовлетворяет условиям//
1.
$ y_j=f(x_j) $ //при// $ j \in \{1,\dots, N\} \setminus \{ e_1,\dots,e_E \} $,
2.
$ \widehat y_{e_s}:=f(x_{e_s}) \ne y_{e_s} $ //при// $ s\in \{1,\dots, E \} $.
//Тогда корнями полинома//
$$
\mathcal H_{E} (x;\{\tau\}):=
\left|
\begin{array}{lllll}
\tau_0 & \tau_1 & \tau_2 & \ldots & \tau_{E} \\
\tau_1 & \tau_2 & \tau_3 &\ldots & \tau_{E+1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\tau_{E-1} & \tau_{E} & \tau_{E+1} & \ldots & \tau_{2E-1} \\
1 & x & x^2 & \ldots & x^{E}
\end{array} \right|
$$
//являются узлы, в которой табличные значения не совпадают
со значениями полинома// $ f(x) $:
$$
\mathcal H_{E} (x;\{\tau\})
\equiv \frac{ \displaystyle \prod_{s=1}^E ( y_{e_s} - \widehat y_{e_s}) \prod_{1\le s < t \le E } ( x_{e_t} - x_{e_s})^2 }{\displaystyle \prod_{s=1}^E W^{\prime}(x_{e_s})} \prod_{s=1}^E (x-x_{e_s}) \, .
$$
**Доказательство.** Предположим, для упрощения обозначений, что все узлы, соответствующие ошибочным значениям $ y $, сконцентрированы в начале таблицы: $ \{ e_s=s \}_{s=1}^E $. Обозначим
$$ \theta_{\ell}:=\sum_{s=1}^E \frac{\varepsilon_sx_s^{\ell}}{W^{\prime}(x_s)}, \quad \mbox{ где } \quad \varepsilon_j:=y_j-\widehat y_j \quad \mbox{ для } \quad j\in \{1,\dots, E \}, \ell \in \{0,1,2,\dots\} \, . $$
Представим выражение для $ \tau_{\ell} $ в виде
$$
\tau_{\ell}=\sum_{s=1}^E \frac{ \varepsilon_s x_s^{\ell} }{W^{\prime}(x_s)}+ \sum_{j=1}^N\frac{f(x_j)x_j^{\ell}}{W^{\prime}(x_j)} =
\theta_{\ell} \quad \mbox{ где } \ \ell \in \{0,\dots, N-n-2\} \, ,
$$
здесь последнее равенство следует из ((:interpolation#рекурсивное_вычисление_коэффициентов равенств Эйлера-Лагранжа)).
Перепишем выражение для $ \mathcal H_{E} (x;\{\tau\}) $:
$$
\mathcal H_{E} (x;\{\tau\})\equiv \mathcal H_{E} (x;\{\theta\})
\equiv \left|\begin{array}{lllll}
\theta_0 & \theta_1 & \dots & \theta_{E-1} & \theta_{E} \\
\theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{E} & \theta_{E+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
\theta_{E-1} & \theta_E & \dots & \theta_{2E-2} & \theta_{2E-1} \\
1 & x & \dots & x^{E-1} & x^E
\end{array}
\right| \, .
$$
Множество корней этого полинома совпадает с $ \{x_1,\dots,x_E\} $. Это следует из ((:algebra2:dets#элементарные_свойства_определителя линейных свойств определителя)):
$$
\sum_{s=1}^E \frac{\varepsilon_s x_s^{\ell-1}}{W^{\prime}(x_s)} \mathcal H_{E} (x_s;\{\theta\})=
\left|\begin{array}{ccccc}
\theta_0 & \theta_1 & \dots & \theta_{E-1} & \theta_{E} \\
\theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{E} & \theta_{E+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
\theta_{E-1} & \theta_E & \dots & \theta_{2E-2} & \theta_{2E-1} \\
\displaystyle \sum_{s=1}^E \frac{\varepsilon_s x_s^{\ell-1}}{W^{\prime}(x_s)} & \displaystyle \sum_{s=1}^E \frac{\varepsilon_s x_s^{\ell}}{W^{\prime}(x_s)} & \dots & \displaystyle \sum_{s=1}^E \frac{\varepsilon_s x_s^{\ell+E-2}}{W^{\prime}(x_s)} & \displaystyle
\sum_{s=1}^E \frac{\varepsilon_s x_s^{\ell+E-1}}{W^{\prime}(x_s)}
\end{array}
\right|=
$$
$$
=\left|\begin{array}{lllll}
\theta_0 & \theta_1 & \dots & \theta_{E-1} & \theta_{E} \\
\theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{E} & \theta_{E+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
\theta_{E-1} & \theta_E & \dots & \theta_{2E-2} & \theta_{2E-1} \\
\theta_{\ell-1} & \theta_{\ell} & \dots & \theta_{\ell+E-2} & \theta_{\ell+E-1}
\end{array}
\right|=0 \quad \mbox{ при } \ \ell\in \{1,\dots,E\}
$$
(одинаковые строки у определителя).
Эти равенства составляют систему из $ E $ линейных однородных уравнений относительно величин
$ \left\{\mathcal H_{E} (x_s;\{\theta\}) \right\}_{s=1}^E $. Определитель этой системы мгновенно преобразуется к ((:algebra2:vander определителю Вандермонда))
$$
\det \left[ \frac{\varepsilon_s x_s^{\ell-1}}{W^{\prime}(x_s)} \right]_{\ell,s=1}^E=\frac{\displaystyle \prod_{s=1}^E \varepsilon_s}{
\displaystyle \prod_{s=1}^E W^{\prime}(x_s)}
\det \left[x_s^{\ell-1} \right]_{\ell,s=1}^E=\frac{\displaystyle \prod_{s=1}^E \varepsilon_s \prod_{1\le \ell < t \le E } ( x_{t} - x_{\ell})}{\displaystyle \prod_{s=1}^E W^{\prime}(x_s)} \, ,
$$
и он отличен от нуля по предположению
2
теоремы. Поэтому (см. теорему $ 1 $
☞
((:algebra2:linearsystems#система_однородных_уравнений ЗДЕСЬ))) все величины $ \left\{\mathcal H_{E} (x_s;\{\theta\}) \right\}_{s=1}^E $ должны равняться нулю и, следовательно,
$$
\mathcal H_{E} (x;\{\tau\}) \equiv C \prod_{s=1}^E (x-x_s)
$$
при некоторой константе $ C \in \mathbb R $. Выражение для старшего коэффициента полинома
$ \mathcal H_{E} (x;\{\theta\}) $ похоже на значение предыдущего определителя:
$$
\left|\begin{array}{llll}
\theta_0 & \theta_1 & \dots & \theta_{E-1} \\
\theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{E} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\theta_{E-1} & \theta_E & \dots & \theta_{2E-2}
\end{array}
\right|=
$$
$$
=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \dots & 1 \\
x_1 & x_2 & \dots & x_{E} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_1^{E-1} & x_2^{E-1} & \dots & x_E^{E-1}
\end{array}
\right|
\cdot
\left|\begin{array}{cccc}
\varepsilon_1/W^{\prime}(x_1) & 0 & \dots & 0 \\
& \varepsilon_2/W^{\prime}(x_2) & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & \varepsilon_E/W^{\prime}(x_E)
\end{array}
\right|\cdot
\left|\begin{array}{cccc}
1 & x_1 & \dots & x_1^{E-1} \\
1 & x_2 & \dots & x_2^{E-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & x_E & \dots & x_E^{E-1}
\end{array}
\right|=
$$
$$
=\frac{\displaystyle \prod_{s=1}^E \varepsilon_s \prod_{1\le \ell < t \le E } ( x_{t} - x_{\ell})^2}{\displaystyle \prod_{s=1}^E W^{\prime}(x_s)} \, .
$$
Что и завершает доказательство теоремы.
♦