!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:interpolation ИНТЕРПОЛЯЦИЯ)) ---- ==Полиномиальная интерполяция при наличии систематических ошибок в таблице== ~~TOC~~ Задача полиномиальной интерполяции при наличии в таблице несистематических погрешностей в значениях функции решается ((:interpolation:mnk методом наименьших квадратов)) (при наличии гипотезы о степени полинома). В настоящем разделе мы будем решать задачу о поиске полинома $ f(x) $, для которого изначально истинная интерполяционная таблица: $$ \begin{array}{c||c|c|c|c} x & x_1 & x_2 & \ldots & x_N \\ \hline y & \widehat y_1 & \widehat y_2 & \ldots & \widehat y_N \end{array} \quad npu \ \{ y_j=f(x_j)\}_{j=1}^N $$ впоследствии была подвергнута искажениям в некоторых своих значениях $$ \begin{array}{c||c|c|c|c} x & x_1 & x_2 & \ldots & x_N \\ \hline y & y_1 & y_2 & \ldots & y_N \end{array} $$ При этом, нам заранее не известны ни количество испорченных значений, ни их расположение в таблице. Делается следующее предположение: количество оставшихся верными значений $ y $ в испорченной таблице избыточно по отношению к степени полинома $ f(x) $, т.е. если $ E $ --- верхняя оценка количества ошибок в таблице, то $ N-E > 1+\deg f $. Можно ли восстановить по испорченной таблице исходный полином $ f(x) $? Всюду в дальнейшем теоретические результаты иллюстрируются примерами полиномов над $ \mathbb Q $. Это ограничение не принципиально: все результаты будут справедливы в $ \mathbb R, \mathbb C $ и, при некоторых ограничениях, в конечных полях. ===Интерполяция по избыточной таблице== Предположим, что задана таблица $$ \begin{array}{c||c|c|c|c} x & x_1 & x_2 & \ldots & x_N \\ \hline y & y_1 & y_2 & \ldots & y_N \end{array} \quad \quad \{x_j,y_j\}_{j=1}^N \subset \mathbb Q, $$ узлы $ \{x_j\}_{j=1}^N $ --- все различны. Эта таблица ((:interpolation#интерполяция однозначно определяет)) полином $ f(x) \in \mathbb Q[x] $ такой, что $ \left\{f(x_j)=y_j \right\}_{j=1}^N $ и $ \deg f \le N-1 $. Если же оказывается, что $ n=\deg f < N-1 $, то получается, что таблица избыточна: тот же полином $ f(x) $ можно построить --- например, в формах ((:interpolation#интерполяционый_полином_в_форме_лагранжа Лагранжа)) или ((:interpolation#интерполяционный_полином_в_форме_ньютона Ньютона)) --- по любой выборке из этой таблицы, состоящей из $ (n+1) $-го узла. Можно ли установить точную степень полинома $ f(x) $, не вычисляя его непосредственно? Обозначим $$ W(x)=\prod_{j=1}^N (x-x_j) $$ и вычислим две последовательности: $$ \tau_k = \sum_{j=1}^{N} y_j \frac{x_j^{k}}{W^{\prime}(x_j)} \quad npu \ k \in \{0,\dots, 2\,n-2 \} $$ и, при дополнительном предположении $ \{ y_j\ne 0\}_{j=1}^N $, $$ \widetilde \tau_k = \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{y_j} \frac{x_j^{k}}{W^{\prime}(x_j)} \quad npu \ k \in \{0,\dots, 2\,n-2 \} \, . $$ Каждое из этих выражений является симметрической функцией пар значений $ (x_1,y_1),\dots, (x_N, y_N) $ в том смысле, что значение выражения не меняется при произвольной перестановке этих пар. !!Т!! **Теорема 1.** //Для того, чтобы полином, построенный по таблице, имел степень// $ n ♦ Теорема $ 1 $ позволяет проверить наличие ошибок в интерполяционной таблице, изначально составленной с избыточным количеством значений: $ N-1 > n:= \deg f $. Начинаем последовательно вычислять $ \tau_0, \tau_1, \dots , \tau_{N-n-2} $. Если хотя бы одно из этих значений отлично от нуля, то в таблице присутствует хотя бы одна ошибка. Если факт наличия ошибки установлен, то на основании вычисленных величин $ \{\tau_k\} $ можно организовать и процедуру определения числа этих ошибок и их расположения в таблице: определить конкретные узлы $ \{x_j\} $, в которых произошло искажение значений полинома $ f(x) $. Это алгоритм будет изложен в следующем пункте, а пока произведем подготовительные работы. Последовательности $ \{ \tau_k\} $ и $ \{\widetilde \tau_k \} $ порождают соответствующие последовательности ((:algebra2:hankel#определения ганкелевых полиномов)) $$ \mathcal H_1(x; \{\tau\})=\left|\begin{array}{cc} \tau_0 & \tau_1 \\ 1 & x \end{array} \right| ,\mathcal H_2(x; \{\tau\}) = \left|\begin{array}{ccc} \tau_0 & \tau_1 & \tau_2 \\ \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 \\ 1 & x & x^2 \end{array} \right|, \mathcal H_3(x; \{\tau\}) = \left|\begin{array}{cccc} \tau_0 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 \\ \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_4 \\ \tau_2 & \tau_3 & \tau_4 & \tau_5 \\ 1 & x & x^2 & x^3 \end{array} \right|, \dots $$ и $$ \mathcal H_1(x; \{\widetilde \tau\})=\left|\begin{array}{cc} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 \\ 1 & x \end{array} \right| ,\mathcal H_2(x; \{\widetilde \tau\}) = \left|\begin{array}{ccc} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 \\ 1 & x & x^2 \end{array} \right|, \mathcal H_3(x; \{\widetilde \tau\}) = \left|\begin{array}{cccc} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 & \widetilde \tau_4 \\ \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 & \widetilde \tau_4 & \widetilde \tau_5 \\ 1 & x & x^2 & x^3 \end{array} \right|, \dots $$ Посмотрим как ведут себя эти полиномы при различных таблицах значений. Начнем со второй последовательности. !!Т!! **Теорема 2.** //Пусть таблица// $$ \begin{array}{c||c|c|c|c} x & x_1 & x_2 & \ldots & x_N \\ \hline y & y_1 & y_2 & \ldots & y_N \end{array} $$ //состоит из значений полинома// $ f(x) $ //степени// $ n \le N-1 $ //и, вдобавок,// $ \{ y_j\ne 0\}_{j=1}^N $. //Тогда этот полином может быть представлен в виде// $$ f(x)\equiv (-1)^{n(n+1)/2} \left(\prod_{j=1}^N y_j \right) \mathcal H_{n}(x; \{ \widetilde \tau \}) \equiv (-1)^{n(n+1)/2} \left(\prod_{j=1}^N y_j \right) \left| \begin{array}{lllll} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n} \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 & \dots & \widetilde \tau_{n+1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \widetilde \tau_{n-2} & \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_{n} & \dots & \widetilde \tau_{2n-1} \\ 1 & x & x^2 & \dots & x^{n} \end{array} \right|\, . $$ Таким образом, теорема дает еще одно представление интерполяционного полинома --- альтернативное формам Лагранжа и Ньютона. Практическая польза от такой альтернативы неочевидна, поскольку вычисление определителя, зависящего от параметра --- ((:algebra2:dets:special_cases та еще проблема))! К счастью, имеются соображения, упрощающие процедуру вычисления ганкелевого полинома. !!П!! **Пример 1.** Построить интерполяционный полином по таблице $$ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 30 & -7 & 8 & 9 & 11 & 35 & 60 \end{array} $$ **Решение.** Вычисляем последовательность $$ \widetilde \tau_0=\frac{\scriptstyle 48569}{\scriptstyle 19958400}, \ \widetilde \tau_1=-\frac{\scriptstyle 1501}{\scriptstyle 1247400},\ \widetilde \tau_2=\frac{\scriptstyle 1021}{\scriptstyle 249480},\ \widetilde \tau_3=\frac{\scriptstyle 1733}{\scriptstyle 311850}, \dots, \widetilde \tau_{12}=\frac{\scriptstyle 168257557}{\scriptstyle 623700} $$ и вычисляем первые два ганкелевых полинома $$ \mathcal H_1(x;\{\widetilde \tau\}) \equiv \frac{48569}{19958400}x+\frac{1501}{1247400}\, , $$ $$ \mathcal H_2(x;\{\widetilde \tau\})=\left|\begin{array}{ccc} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 \\ 1 & x & x^2 \end{array} \right| \equiv \underbrace{\frac{79273}{9313920000}}_{\widetilde h_{2,0} }x^2 \underbrace{-\frac{128867}{6985440000}}_{\widetilde h_{2,1} }x\underbrace{-\frac{40927}{1746360000}}_{\widetilde h_{2,2} } \, . $$ Вычисление $$ \mathcal H_3(x;\{\widetilde \tau\})= \left|\begin{array}{cccc} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 & \widetilde \tau_4 \\ \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 & \widetilde \tau_4 & \widetilde \tau_5 \\ 1 & x & x^2 & x^3 \end{array} \right|=\widetilde h_{3,0}x^3+\widetilde h_{3,1}x^2+\dots $$ может быть организовано с помощью ((:algebra2:hankel#рекурсивная_формула_для_ганкелевых_полиномов JJ-тождества)): $$ \mathcal H_3(x;\{\widetilde \tau\}) \equiv - \left(\frac{\widetilde h_{3,0}}{\widetilde h_{2,0}}\right)^2 \mathcal H_1(x;\{\widetilde \tau\})+ \frac{h_{\widetilde 3,0}}{\widetilde h_{2,0}}\left(x-\frac{\widetilde h_{2,1}}{\widetilde h_{2,0}}+\frac{\widetilde h_{3,1}}{\widetilde h_{3,0}} \right)\mathcal H_2(x;\{\widetilde \tau\}) $$ где все константы известны, кроме $ \widetilde h_{3,0} $ и $ \widetilde h_{3,1} $. Для нахождения первой из этих констант, используем разложение его детерминантного представления по последней строке: $$ \widetilde h_{3,0}=\left|\begin{array}{lll} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 \\ \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 & \widetilde \tau_4 \end{array} \right|= \widetilde \tau_4 \widetilde h_{2,0}+ \widetilde \tau_3 \widetilde h_{2,1}+ \widetilde \tau_2 \widetilde h_{2,2}=-\frac{7159}{111767040000} \, . $$ А определитель, выражающий $ \widetilde h_{3,1} $ сначала транспонируем, а потом также разложим по последней строке $$ \widetilde h_{3,1}=-\left|\begin{array}{lll} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_3 \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_4 \\ \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 & \widetilde \tau_5 \end{array} \right|=- \left|\begin{array}{lll} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \widetilde \tau_3 \\ \widetilde \tau_3 & \widetilde \tau_4 & \widetilde \tau_5 \end{array} \right|= -(\widetilde \tau_5 \widetilde h_{2,0}+ \widetilde \tau_4 \widetilde h_{2,1}+\widetilde \tau_3 \widetilde h_{2,2})=\frac{277}{1128960000} \, . $$ Поэтому $$ \mathcal H_3(x;\{\widetilde \tau\}) \equiv \frac{1}{111767040000}(-7159\,x^3+27423\,x^2-21498\,x-40400)\, , $$ Продолжая рекурсивное применение JJ-тождества, получаем ганкелевы полиномы следующих порядков: $$ \begin{array}{lll} \mathcal H_4(x;\{\widetilde \tau\}) & \equiv & -\frac{1}{\scriptstyle 1451520000}(4\,x^4-7\,x^3+3\,x^2-2\,x-16) \ , \\ \mathcal H_5(x;\{\widetilde \tau\}) & \equiv & \frac{1}{\scriptstyle 9313920000}\left(-\frac{77}{12}\,x^5+\frac{77}{2}\,x^4-\frac{61}{4}\,x^3-\frac{715}{6}\,x^2+124\,x+\frac{304}{3}\right) , \\ \mathcal H_6(x;\{\widetilde \tau\})& \equiv & \frac{1}{\scriptstyle 349272000} \bigg(\frac{3}{80}\,x^6-\frac{59}{80}\,x^5+\frac{51}{16}\,x^4-\frac{9}{16}\,x^3-\frac{409}{40}\,x^2+\frac{93}{10}\,x+8\bigg) \end{array} $$ и интерполяционный полином равен $ 349272000 \mathcal H_6(x;\{\widetilde \tau\}) $. ♦ ===Полином локаторов ошибок== Рассмотрим теперь другую последовательность ганкелевых полиномов --- ту, что порождается последовательностью $$ \tau_k = \sum_{j=1}^{N} y_j \frac{x_j^{k}}{W^{\prime}(x_j)} \quad npu \ k \in \{0,\dots, 2\,n-2 \} $$ Поисследуем как она будет вести себя на интерполяционных таблицах --- избыточных, но содержащих некоторое количество ошибочных значений. !!П!! **Пример 2.** Таблица $$ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & -2 & \mathbf{-1} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 30 & {\color{Red}{12} } & 8 & 9 & 18 & 35 & 60 \end{array} $$ состоит из значений полинома $ f(x)=4\,x^2-3\, x+ 8 $ за исключением единственного ошибочного занчения при $ x_2=-1 $. Последовательность ганкелевых полиномов $$ \mathcal H_{1}(x; \{ \tau \})\equiv \frac{1}{40}(x+1), \ \mathcal H_{2}(x; \{ \tau \})\equiv 0, \ \mathcal H_{3}(x; \{ \tau \})\equiv -\frac{2}{5}(x+1), \dots $$ и можно наблюдать, что ошибочный узел оказывается корнем двух ганкелевых полиномов: $ \mathcal H_{1}(x;\{\tau\}) $ и $ \mathcal H_{3}(x;\{\tau\}) $. !!Т!! **Теорема 3.** //Пусть полином// $ f(x)=a_0x^n+\dots+a_n $ //имеет степень// $ n< N-2 $. //Пусть таблица// $$ \begin{array}{c||c|c|c|c} x & x_1 & x_2 & \ldots & x_N \\ \hline y & y_1 & y_2 & \ldots & y_N \end{array} $$ //удовлетворяет условиям// 1. $ y_j=f(x_j) $ при $ j \in \{1,\dots, N\} \setminus \{ e \} $, 2. $ \widehat y_{e}:=f(x_{e}) \ne y_{e} $. //Тогда// $$ \mathcal H_{1} (x) \equiv \frac{( y_{e} - \widehat y_{e})}{W^{\prime}(x_{e})} (x-x_{e}) \, . $$ **Доказательство.** Будем считать $ x_{e} = x_1 $ и положим $ \varepsilon := y_1 - \widehat y_1 $. Имеем: $$ \tau_{\ell}=\frac{x_1^{\ell}y_1}{W^{\prime}(x_1)}+\frac{x_2^{\ell}y_2}{W^{\prime}(x_2)}+\dots+\frac{x_N^{\ell}y_N}{W^{\prime}(x_N)}= $$ $$ =\left(\frac{x_1^{\ell}\widehat y_1}{W^{\prime}(x_1)}+ \frac{\varepsilon x_1^{\ell}}{W^{\prime}(x_1)}\right) +\frac{x_2^{\ell}y_2}{W^{\prime}(x_2)}+\dots+\frac{x_N^{\ell}y_N}{W^{\prime}(x_N)}= $$ $$ =\sum_{j=1}^N \frac{f(x_j)x_j^{\ell}}{W^{\prime}(x_j)}+\frac{\varepsilon x_1^{\ell}}{W^{\prime}(x_1)}= $$ и, на основании ((:interpolation#рекурсивное_вычисление_коэффициентов равенства Эйлера-Лагранжа)): $$ =\frac{ \varepsilon x_1^{\ell}}{W^{\prime}(x_1)} \quad npu \quad \ell \in \{ 0 ,1\} \, . $$ Таким образом, $$ \mathcal H_{1} (x) \equiv \left|\begin{array}{cc} \tau_0 & \tau_1 \\ 1 & x \end{array} \right| \equiv \left|\begin{array}{cc} \varepsilon /W^{\prime}(x_1) & \varepsilon x_1 /W^{\prime}(x_1) \\ 1 & x \end{array} \right|=\frac{\varepsilon}{W^{\prime}(x_1)}(x-x_1) \, , $$ что и доказывает утверждение теоремы. ♦ !!П!! **Пример 3.** Таблица $$ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & -2 & \mathbf{-1} & 0 & 1 & \mathbf{2} & 3 & 4 \\ \hline y & 30 & {\color{Red}{-7} } & 8 & 9 & {\color{Red}{11} } & 35 & 60 \end{array} $$ состоит из значений полинома $ f(x)=4\,x^2-3\, x+ 8 $ за исключением двух ошибочных значений в узлах $ x_2=-1 $ and $ x_5=2 $. Последовательность ганкелевых полиномов $$ \mathcal H_{1}(x; \{ \tau \})\equiv \frac{1}{80}(3\,x+38), \ \mathcal H_{2}(x; \{ \tau \} )\equiv -\frac{77}{320}(x+1)(x-2), \dots $$ в этот раз обнаруживает ошибочные узлы в корнях полинома $ \mathcal H_{2}(x; \{ \tau \}) $. ♦ Результат теоремы $ 3 $ обобщается на случай наличия $ E\ge 2 $ ошибок в таблице $ \{y_j=f(x_j)\}_{j=1}^N $ следующим образом. !!Т!! **Теорема 4.** //Пусть// $ E \in \{2,3,\dots, \lfloor N/2 \rfloor-1 \} $ и $ e_1,\dots,e_E $ ---// различные числа из// $ \{1,2,\dots, N\} $. //Пусть// $ f(x) $ //имеет степень// $ n< N-2E $. //Пусть интерполяционная таблица// $$ \begin{array}{c||c|c|c|c} x & x_1 & x_2 & \ldots & x_N \\ \hline y & y_1 & y_2 & \ldots & y_N \end{array} $$ //удовлетворяет условиям// 1. $ y_j=f(x_j) $ //при// $ j \in \{1,\dots, N\} \setminus \{ e_1,\dots,e_E \} $, 2. $ \widehat y_{e_s}:=f(x_{e_s}) \ne y_{e_s} $ //при// $ s\in \{1,\dots, E \} $. //Тогда// $$ \mathcal H_{E} (x;\{\tau\}) \equiv \frac{ \displaystyle \prod_{s=1}^E ( y_{e_s} - \widehat y_{e_s}) \prod_{1\le s < t \le E } ( x_{e_t} - x_{e_s})^2 }{\displaystyle \prod_{s=1}^E W^{\prime}(x_{e_s})} \prod_{s=1}^E (x-x_{e_s}) \, . $$ **Доказательство** ☞ ((:interpolation:systemerr:vspom1 ЗДЕСЬ)). При выполнении условий теоремы полином $ \mathcal H_{E} (x;\{\tau\}) $ имеет все свои корни принадлежащими множеству узлов $ \{x_j\}_{j=1}^N $ интерполяционной таблицы. Они соответствуют ошибочным значениям $ y $. В теории ((:codes:cyclic:bch кодов, исправляющих ошибки)) (к которой излгаемый материал имеет непосредственное отношение), такое полином называется **полиномом локаторов ошибок**[[(//Англ.//) Error locator polynomial]]. Безнаказанно последовательно портить интерполяционную таблицу не получится. !!П!! **Пример 4.** Таблица $$ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & -2 & \mathbf{-1} & 0 & 1 & \mathbf{2} & \mathbf{3} & 4 \\ \hline y & 30 & {\color{Red}{-7} } & 8 & 9 & {\color{Red}{11} } & {\color{Red}{-1} } & 60 \end{array} $$ --- всё та же злополучная, порожденная полиномом $ f(x)=4\,x^2-3\, x+ 8 $, но испорченная теперь уже в трёх узлах. Неповрежденных значений достаточно (даже избыточно!) для восстановления этого полинома. Тем не менее, последовательность $ \{\mathcal H_{k}(x; \{ \tau \}) \} $ уже не локализует ошибочные узлы. И это --- принципиальный порог. Ту же самую таблицу можно посчитать полученной в результате порчи таблицы $$ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -31 & -7 & 8 & 14 & 11 & -1 & -22 \end{array} $$ сгенерированной полиномом $ f_1(x)= -9/2 \, x^2+21/2\,x+8 $ и впоследствии испорченной в значениях $ f_1(-2), f_1(1) $ и $ f_1(4) $. ♦ ===Извлечение истинного полинома== После того как в таблице установлены узлы с ошибочными значениями $ y $, их можно выбросить из таблицы и восстановить полином $ f(x) $ по оставшимися верными значениям. Благо их все еще избыточно. Но для полноты картины, покажем еще один трюк. Снова вернемся к последовательности $$ \widetilde \tau_k = \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{y_j} \frac{x_j^{k}}{W^{\prime}(x_j)}, \quad \ k \in \{0,1,\dots \} $$ и порождемых ею ганкелевых полиномах $$ \mathcal H_1(x; \{\widetilde \tau\})=\left|\begin{array}{cc} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 \\ 1 & x \end{array} \right| ,\mathcal H_2(x; \{ \widetilde \tau\}) = \left|\begin{array}{ccc} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \tau_3 \\ 1 & x & x^2 \end{array} \right|, \dots $$ В теореме $ 2 $ утверждается, что полином $ \mathcal H_N(x; \{\widetilde \tau\}) $ фактически (с точностью до числового множителя) совпадает с традиционным интерполяционным полиномом, построенным по таблице $$ \begin{array}{c||c|c|c|c} x & x_1 & x_2 & \ldots & x_N \\ \hline y & y_1 & y_2 & \ldots & y_N \end{array} $$ Снова предположим, что таблица изначально была составлена из значений полинома $ f(x) $ степени $ n ♦ Итак, в некотором полиноме $ \mathcal H_k(x; \{\widetilde \tau\}) $ заложена информация и о полиноме локаторов ошибок и об исходном полиноме $ f(x) $, по которому строилась таблица. {{users:au:scriber.jpg |}} \\ \\ \\ Статья не закончена! ==Источники== [1]. **Uteshev A.Yu., Baravy I.** //Solution of Interpolation Problems via the Hankel Polynomial Construction.// 2016. ((http://arxiv.org/abs/1603.08752 arXiv:1603.08752)) [2]. **Uteshev A.Yu., Marov A.** //Faulty share detection in Shamir's secret sharing.// Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр., 15:2 (2019), 274–282. Текст ☞ ((http://vestnik.spbu.ru/html19/s10/s10v2/10.pdf ЗДЕСЬ)) (pdf). [3]. **Welch L.R., Berlekamp E.R.** Error correction for algebraic block codes. US Patent No $ 4\,633\,47 $, Dec. 30, 1986