!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:interpolation#approksimacija ИНТЕРПОЛЯЦИЯ))
==Аппроксимация ступенчатой функции==
Аппроксимируем ступенчатую функцию
$$
y=F(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -1 & \mbox{при}\ x<0 \\
+1 & \mbox{при}\ x>0
\end{array} \right.
$$
на отрезке $ [-1,1] $ интерполяционным полиномом по таблице значений
$$ \left\{x_j = -1 + \frac{2(j-1)}{19} \right\}_{j=1}^{20} , \ y_j =
\left\{ \begin{array}{cc} -1 & \mbox{при}\ j\in \{1,\dots,10 \} \\
+1 & \mbox{при} \ j\in \{11,\dots,20 \}
\end{array} \right.
$$
{{ :interpolation:stepf1.png?400 |}}
Этот полином оказывается нечетным:
$$
f(x)=-\frac{104127350297911241532841}{34519618525593600} x^{19} + \frac{2175713582540566467817783}{195611171645030400}x^{17}-
$$
$$
-\frac{242123794999473158070751}{14383174385664000} x^{15} + \dots + \frac{71872071561982553}{3288935631421440} x \, .
$$
Его график на интервале $[-0.5, 0.5] $
{{ :interpolation:stepf2.png?400 |}}
демонстрирует сильные колебания в окрестности прямых $ y=-1 $ и $ y=+1 $. Эти колебания кажутся неожиданными только на первый взгляд. В самом деле, между двумя последовательными узлами интерполяции обязана лежать по крайней мере одна точка локального экстремума полинома $ f(x) $: см.
☞
((:polynomial/geometry#korni_polinoma_i_ego_proizvodnoj теорему Ролля)). Хуже то, что амплитуда этих осцилляций возрастает при возрастании $ |x| $. Так, на интервале $ [-0.75, 0.75] $ получаем
{{ :interpolation:stepf3.png?400 |}}
(масштабы по осям не совпадают). А при приближении к концам интервала картина становится чудовищной:
$$
f(18/19) \approx 693.293934
$$
--- и это при том, что $ f(17/19)=f(1)=1 $.