!!§!! Вспомогательная страница к пункту
☞
((:interpolation/ratinterp-jacobi РАЦИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПО МЕТОДУ ЯКОБИ)).
Обозначим
$$ W(x) = \prod_{j=1}^N (x-x_j) \ . $$
!!Т!! **Теорема.**// Пусть// $ \left\{ y_j \ne 0 \right\}_{j=1}^N $. //Вычислим последовательности//
$$
\left\{
\tau_k=\sum_{j=1}^N y_j \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)}
\right\}_{k=0}^{2m} \quad \mbox{ и } \quad
\left\{ \widetilde \tau_k=\sum_{j=1}^N \frac{1}{y_j} \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)} \right\}_{k=0}^{2n-2} \, ,
$$
//и построим соответствующие им ганкелевы полиномы// $ \mathcal H_m (x;\{\tau\}) $ //и// $ \mathcal H_n (x;\{\widetilde \tau\}) $.
//Если//
$$
H_{n}(\{\widetilde \tau\}) \ne 0
$$
и
$$
\left\{ \mathcal H_m (x_j;\{\tau\})\ne 0 \right\}_{j=1}^{N} ,
$$
//то существует единственное решение задачи рациональной интерполяции при//
$$ \deg p(x)=n, \deg q(x) \le m=N-n-1 \, .$$
//Это решение можно представить в виде//
$$
p(x) = H_{m+1}(\{\tau\}) \mathcal H_n (x;\{\widetilde \tau\}) =
$$
$$
=\left|
\begin{array}{llll}
\tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\
\tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\
\tau_{m} & \tau_{m+1} & \dots & \tau_{2m}
\end{array}
\right| \cdot
\left|
\begin{array}{llll}
\widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_n \\
\widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n & \dots & \widetilde \tau_{2n-1} \\
1 & x & \dots & x^n
\end{array}
\right| \, ,
$$
$$
q(x) = H_{n}(\{\widetilde \tau\}) \mathcal H_m (x;\{\tau\}) =
$$
$$
=\left|
\begin{array}{llll}
\widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_{n-1} \\
\widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n & \dots & \widetilde \tau_{2n-2}
\end{array}
\right| \cdot
\left|
\begin{array}{llll}
\tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\
\tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\
1 & x & \dots & x^m
\end{array}
\right|
\, .
$$
**Доказательство.** Ограничимся только обоснованием появления ганкелевых полиномов в решении задачи.
Если ее решение существует, то выполняются условия
$$
p_n+p_{n-1}x_j +\dots+p_0 x_j^n=q_m y_j +q_{m-1}x_jy_j+\dots+ q_0 x_j^{m}y_j \quad \mbox{при} \ j\in\{1,\dots, N\} .
$$
Умножим $ j $-е равенство на $ x_j^k/W^{\prime}(x_j) $ пои $ k \in \{0,\dots, m-1 \} $ и просуммируем полученные соотношения по $ j $. На основании ((:interpolation#rekursivnoe_vychislenie_koehfficientov равенств Эйлера-Лагранжа)) получаем
$$
\left\{
\begin{array}{lllll}
q_m \tau_0 & + q_{m-1} \tau_1 & + \dots & + q_0 \tau_m &=0, \\
q_m \tau_1 & + q_{m-1} \tau_2 & + \dots & + q_0 \tau_{m+1} &=0, \\
\dots & & & & \dots , \\
q_m \tau_{m-1} & + q_{m-1} \tau_m & + \dots & + q_0 \tau_{2m-1} &=0.
\end{array}
\right.
$$
Следовательно знаменатель дроби должен удовлетворять равенству:
$$
Aq(x) \equiv \left|
\begin{array}{llll}
\tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\
\tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\
1 & x & \dots & x^m
\end{array}
\right|
$$
при некоторой константе $ A $.
Аналогично, домножая равенства
$$
p_n\frac{1}{y_j}+p_{n-1}\frac{x_j}{y_j} +\dots+p_0 \frac{x_j^{n}}{y_j}=q_m +q_{m-1}x_j+\dots+ q_0 x_j^{m} \quad, \quad j \in \{1,\dots,N\}
$$
на $ x_j^{\ell}/W^{\prime}(x_j) $ при $ \ell \in \{0,\dots, n-1 \} $ и суммируя получившиеся соотношения по $ j $,
получаем представление числителя в виде
$$
Bp(x) \equiv \left|
\begin{array}{llll}
\widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_n \\
\widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_{n} & \dots & \widetilde \tau_{2n-1} \\
1 & x & \dots & x^n
\end{array}
\right|\equiv H_n(\{\widetilde \tau\}) x^n + \dots
$$
при некоторой константе $ B $. Из условия теоремы следует, что $ B \ne 0 $ и $ \deg p(x) = n $.
Теперь осталось определить константы $ A $ и $ B $, а точнее --- их отношение. С этой целью подставляем полученные выражения для $ p(x) $ и $ q(x) $ в интерполяционную таблицу, получаем соотношения
$$
A \mathcal H_n(x_j;\{\widetilde \tau\}) = B y_j \mathcal H_m(x_j; \{\tau\}) \quad \mbox{ для } \ j \in \{1,\dots N \} \, .
$$
По условиям теоремы $ A\ne 0 $ и $ \{ \mathcal H_n(x_j;\{\widetilde \tau\}) \ne 0 \}_{j=1}^N $.
Умножим каждое из равенств на $ x_j^m/W^{\prime}(x_j) $ и просуммируем полученное.
На основании линейного свойства определителя имеем:
$$
\sum_{j=1}^N \frac{ \mathcal H_n(x_j;\{\widetilde \tau\}) x_j^m}{W^{\prime}(x_j)}=
$$
$$
=
\left|\begin{array}{ccccc}
\widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n \\
\widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_n & \widetilde \tau_{n+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
\widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_{n} & \dots & \widetilde \tau_{2n-2} & \widetilde \tau_{2n-1} \\
\displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{ x_j^m}{W^{\prime}(x_j)} & \displaystyle \sum_{j=1}^N\frac{x_j^{m+1}}{W^{\prime}(x_j)} & \dots & \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{ x_j^{m+n-1}}{W^{\prime}(x_j)} & \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{ x_j^{m+n}}{W^{\prime}(x_j)}
\end{array}
\right|=
$$
На основании ((:interpolation#rekursivnoe_vychislenie_koehfficientov равенств Эйлера-Лагранжа)) получим
$$
=
\left|\begin{array}{lllll}
\widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n \\
\widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_n & \widetilde \tau_{n+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
\widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_{n} & \dots & \widetilde \tau_{2n-2} & \widetilde \tau_{2n-1} \\
0 & 0 & \dots & 0 & 1
\end{array}
\right| = H_n(\{\widetilde \tau \}) \, .
$$
Аналогично:
$$
\sum_{j=1}^N \frac{\mathcal H_m(x_j;\{\widetilde \tau \}) y_jx_j^m}{W^{\prime}(x_j)}=
$$
$$
=
\left|\begin{array}{cccc}
\tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\
\tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\
\displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{ y_jx_j^m}{W^{\prime}(x_j)} & \displaystyle \sum_{j=1}^N\frac{y_jx_j^{m+1}}{W^{\prime}(x_j)} & \dots & \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{ y_jx_j^{2m}}{W^{\prime}(x_j)}
\end{array}
\right| =
\left|
\begin{array}{llll}
\tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\
\tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\
\tau_{m} & \tau_{m+1} & \dots & \tau_{2m}
\end{array}
\right| \, .
$$
Таким образом,
$$
AH_n(\{\widetilde \tau \})=BH_{m+1}(\{ \tau \}) \, .
$$
Поскольку $ A \ne 0 $ и $ H_n(\{\widetilde \tau \}) \ne 0 $ то и $ H_{m+1}(\{ \tau \}) \ne 0 $,
и полученное равенство доказывает единственность решения поставленной интерполяционной задачи.
Довольно громоздко доказывать, что построенные полиномы действительно обеспечивают выполнение равенств
$$ \{p(x_j)=y_jq(x_j)\}_{j=1}^N \, . $$
Для $ j=1 $ это производится посредством доказательства равенств
$$
H_{m+1}(\{\tau\})= (-1)^{N(N-1)/2}H_{n}(\{ \widetilde \tau\}) \prod_{j=1}^N y_j \,
$$
и
$$
\mathcal H_m(x_1;\{\tau\}) = (-1)^{N(N-1)/2}\mathcal H_n(x_1;\{\widetilde \tau\}) \prod_{j=2}^N y_j \, .
$$
Подробности вывода см.
☞
((#istochniki [2])) .
♦
!!=>!! Справедливы следующие равенства
$$
H_{n}(\{\widetilde \tau\}) H_{m}(\{\tau\})=H_{n+1}(\{\widetilde \tau\}) H_{m+1}(\{\tau\}) \, .
$$
==Источники==
[1]. **Uteshev A., Baravy I., Kalinina E.** //Rational Interpolation: Jacobi's Approach Reminiscence.// Symmetry, 2021, **13** (8), 1401 Текст --- в открытом доступе
☞
{{:references:symmetry-13-01401.pdf}}
[2]. **Uteshev A.Yu., Baravy I.** //Solution of Interpolation Problems via the Hankel Polynomial Construction.// 2016. ((http://arxiv.org/abs/1603.08752 arXiv:1603.08752))