!!§!! Вспомогательная страница к пункту
☞
((:interpolation#рациональная_интерполяция РАЦИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ)).
☞
Существенно используются материалы пункта ((:algebra2/hankel ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ПОЛИНОМЫ)).
==Рациональная интерполяция по методу Якоби==
**Задача.** Для таблицы значений
$$
\begin{array}{c|ccccc}
x & x_1 & x_2 & \dots & x_N \\ \hline
y & y_1 & y_2 &\dots & y_N
\end{array}
$$
построить рациональную функцию в виде $ f(x)=p(x)/q(x) $ при $ p_{}(x) $ --- полиноме степени $ \le n $, $ q_{}(x) $ --- полиноме степени $ \le m $,
так, чтобы $ \{ f(x_j)=y_j \}_{j=1}^N $. При этом $ N,n,m $ связаны соотношением:
$$ N=m+n+1 \, . $$
Условия
$$
\{ p(x_j)/q(x_j)=y_j \}_{j=1}^N
$$
влекут за собой соотношения
$$
\{ p(x_j)=y_jq(x_j) \}_{j=1}^N \, ,
$$
которые представляют собой систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов полиномов числителя и знаменателя:
$$
p(x):=p_n+p_{n-1}x+\dots+p_0x^n, \ q(x):=q_m+q_{m-1}x+\dots+q_0x^m \, .
$$
Общее количество этих коэффициентов $ m+n+2 $ и система является однородной относительно них. Поэтому она имеет бесконечное множество решений --- что и очевидно, поскольку если дробь $ p(x)/q(x) $ является решением задачи интерполяции, то и дробь $ (Сp(x))/(Сq(x)) $ также является решением этой задачи при любой ненулевой константе $ C $.
Поскольку поставленная задача свелась к хорошо исследованной задаче ((:algebra2/linearsystems#iskljuchenie_peremennyx_metod_gaussa решения системы линейных уравнений)), можно было бы на этом моменте и закончить ее обсуждение, если бы не одно обстоятельство.
Дело в том, что поставленная задача не всегда имеет решение, а переход
$$
\{ p(x_j)/q(x_j)=y_j \}_{j=1}^N \quad \longrightarrow \quad
\{ p(x_j)=y_jq(x_j) \}_{j=1}^N \, ,
$$
не всегда законен.
!!П!! **Пример.** Для таблицы
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
y & 1 & 1 & 1/3 & 3 & 1/13
\end{array}
$$
построить удовлетворяющую ей рациональную функцию $ f(x)=p(x)/q(x) $ при $ \deg p(x)=1,\deg q(x) =3 $.
**Решение.** Решение системы линейных уравнений дает числитель и знаменатель в виде
$$ p(x)\equiv x-2, \quad q(x)\equiv x^3-x^2-x-2 \, . $$
Однако $ p(2)=0 $ и $ q(2)=0 $, и условие $ f(2)=3 $ не выполняется. Оно не выполнится даже если мы разделим полученные полиномы на общий линейный делитель.
♦
Точки, подобные точке $ x=2 $ из рассмотренного примера, называются **недостижимыми точками**[[(англ.) unattainable points]] задачи.
Тем не менее, любой метод решения задачи сводится --- прямо или косвенно --- к решению системы линейных уравнений. Метод, разбираемый в настоящем разделе, был предложен К. Якоби. Задачу удается разделить на независимые подзадачи вычисления числителя и знаменателя. В методе существенно используются определители специального вида, так называемые ганкелевы. Для произвольной числовой последовательности $ \{c\}= \{c_j\}_{j=0}^{\infty} $
определитель
$$
H_{k}(\{c\}) :=\left|\begin{array}{llllll}
c_0 & c_1 & c_2 & c_3 & \dots & c_{k-1} \\
c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & \dots & c_k \\
c_2 & c_3 & c_4 & &\dots & c_{k+1} \\
c_3 & c_4 & & & & \\
\vdots & & & \ddots & \vdots \\
c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & &\dots & c_{2k-2}
\end{array}
\right|_{k\times k}= \left[ c_{j+k}\right]_{j,k=0}^{k-1} \ .
$$
называется **ганкелевым определителем** $ k $-го порядка, порожденным этой последовательностью. Полином по переменной
$x $
$$
\mathcal H_k(x; \{c\}) =
\left|
\begin{array}{lllll}
c_0 & c_1 & c_2 & \ldots & c_{k} \\
c_1 & c_2 & c_3 &\ldots & c_{k+1} \\
\vdots & & & \ddots& \vdots \\
c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & \ldots & c_{2k-1} \\
1 & x & x^2 & \ldots & x^{k}
\end{array} \right|_{(k+1) \times (k+1)}
$$
называется **ганкелевым полиномом k-го порядка** (**порожденным последовательностью** $ \{c\} $). Если $ H_{k}(\{c\}) \ne 0 $, то этот полином имеет степень $ k $. Обозначим его коэффициенты $ \{h_{kj}\} $:
$$
\mathcal H_k(x; \{c\})\equiv h_{k0} x^k +h_{k1} x^{k-1} +\dots + h_{kk} \quad \mbox{ при } \quad h_{k0}= H_{k}(\{c\}) \ .
$$
Обозначим
$$ W(x) = \prod_{j=1}^N (x-x_j) \ . $$
!!Т!! **Теорема 1.**// Пусть// $ \left\{ y_j \ne 0 \right\}_{j=1}^N $. //Вычислим последовательности//
$$
\left\{
\tau_k=\sum_{j=1}^N y_j \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)}
\right\}_{k=0}^{2m} \quad \mbox{ и } \quad
\left\{ \widetilde \tau_k=\sum_{j=1}^N \frac{1}{y_j} \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)} \right\}_{k=0}^{2n-2} \, ,
$$
//и построим соответствующие им ганкелевы полиномы// $ \mathcal H_m (x;\{\tau\}) $ //и// $ \mathcal H_n (x;\{\widetilde \tau\}) $.
//Если//
$$
H_{n}(\{\widetilde \tau\}) \ne 0
$$
и
$$
\left\{ \mathcal H_m (x_j;\{\tau\})\ne 0 \right\}_{j=1}^{N} ,
$$
//то существует единственное решение задачи рациональной интерполяции при//
$$ \deg p(x)=n, \deg q(x) \le m=N-n-1 \, .$$
//Это решение можно представить в виде//
$$
p(x) = H_{m+1}(\{\tau\}) \mathcal H_n (x;\{\widetilde \tau\}) =
$$
$$
=\left|
\begin{array}{llll}
\tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\
\tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\
\tau_{m} & \tau_{m+1} & \dots & \tau_{2m}
\end{array}
\right| \cdot
\left|
\begin{array}{llll}
\widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_n \\
\widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n & \dots & \widetilde \tau_{2n-1} \\
1 & x & \dots & x^n
\end{array}
\right| \, ,
$$
$$
q(x) = H_{n}(\{\widetilde \tau\}) \mathcal H_m (x;\{\tau\}) =
$$
$$
=\left|
\begin{array}{llll}
\widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_{n-1} \\
\widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n & \dots & \widetilde \tau_{2n-2}
\end{array}
\right| \cdot
\left|
\begin{array}{llll}
\tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\
\tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\
1 & x & \dots & x^m
\end{array}
\right|
\, .
$$
Идея доказательства
☞
((:interpolation/ratinterp-jacobi/idea ЗДЕСЬ)).
==Рекурсивное вычисление числителя и знаменателя==
Вычисление ганкелевых полиномов из теоремы 1 может оказаться нетривиальной задачей при больших их порядках. Известна трудность общей задачи вычисления определителя, зависящего от параметров, к примеру, ((:algebra2:charpoly#metody_vychislenija_xarakteristicheskogo_polinoma характеристического полинома матрицы)). К счастью, специфичная структура ганкелевой матрицы позволяет упростить вычисления.
Рассмотрим последовательность ганкелевых полиномов $ \mathcal H_1(x), \mathcal H_2(x) ,\dots $, порожденных последовательностью $ \{ \mathbf c \} $. Коэффициенты канонического
разложения полинома $ \mathcal H_k(x) $ будем обозначать $ \{h_{kj}\} $:
$$
\mathcal H_k(x)\equiv h_{k0} x^k +h_{k1} x^{k-1} +\dots + h_{kk} \quad npu \quad h_{k0}= H_k \ .
$$
!!Т!! **Теорема 2 [Якоби, Йоахимшталь].** //Любые три ганкелевых полинома//
$$ \mathcal H_{k-2}(x), \mathcal H_{k-1}(x), \mathcal H_{k}(x) $$
//связаны тождеством//
$$
H_k^2\mathcal H_{k-2}(x) + \left(H_kh_{k-1,1}-H_{k-1}h_{k1}-H_kH_{k-1}x\right)\mathcal H_{k-1}(x) + H_{k-1}^2 \mathcal H_{k}(x) \equiv 0 \, .
$$
В настоящем ресурсе это тождество называется **JJ**-**тождеством**.
**Доказательство**
☞
((:algebra2/hankel/jjidentity ЗДЕСЬ)).
**JJ**-тождество позволяет организовать процедуру вычисления ганкелевых полиномов, рекурсивную по их порядку. Предположим, что канонические представления полиномов
$ \mathcal H_{k-2}(x) $ и $ \mathcal H_{k-1}(x) $ уже известны:
$$
\mathcal H_{k-1}(x) \equiv h_{k-1,0} x^{k-1}+h_{k-1,1}x^{k-2}+\dots+ h_{k-1,k-1} \, ,
$$
и
$$
h_{k-1,0}=H_{k-1} \ne 0 \, .
$$
Тогда в **JJ**-тождестве известны значения всех констант, за исключением $ H_k $ и $ h_{k1} $. Для последних имеются лишь детерминантные представления:
$$ H_k =
\left|
\begin{array}{lllll}
c_0 & c_1 & \dots & c_{k-2} & c_{k-1} \\
c_1 & c_2 & \dots & c_{k-1} & c_{k} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
c_{k-2} & c_{k-1} & \dots & c_{2k-4} & c_{2k-3} \\
c_{k-1} & c_{k} & \dots & c_{2k-3} & c_{2k-2}
\end{array}
\right| \ , \
h_{k1} = -
\left|
\begin{array}{lllll}
c_0 & c_1 & \dots & c_{k-2} & c_{k} \\
c_1 & c_2 & \dots & c_{k-1} & c_{k+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
c_{k-2} & c_{k-1} & \dots & c_{2k-4} & c_{2k-2} \\
c_{k-1} & c_{k} & \dots & c_{2k-3} & c_{2k-1}
\end{array}
\right| \, .
$$
Эти определители отличаются от детерминантного представления $ \mathcal H_{k-1}(x) $ (транспонированного)
$$ \left[\mathcal H_{k-1}(x) \right]^{\top} =
\left|
\begin{array}{llllll}
c_0 & c_1 & c_2 & \ldots & c_{k-2} & 1 \\
c_1 & c_2 & c_3 &\ldots & c_{k-1} & x \\
\vdots & & & \ddots & \vdots & \vdots \\
c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & \ldots & c_{2k-3} & x^{k-1}
\end{array} \right|
$$
только своими последними столбцами. Разложения определителей по элементам этих последних столбцов имеют одинаковые значения для соответствующих алгебраических дополнений,
и поэтому следующие формулы
$$
\left\{\begin{array}{rcl}
h_{k0}=H_k&=&c_{k-1}h_{k-1,k-1}+c_{k}h_{k-1,k-2}+\dots+c_{2k-2}h_{k-1,0}, \\
h_{k1}&=&-(c_{k}h_{k-1,k-1}+c_{k+1}h_{k-1,k-2}+\dots+c_{2k-1}h_{k-1,0})
\end{array}
\right.
$$
позволяют вычислить $ h_{k0} $ и $ h_{k1} $ посредством уже известных коэффициентов полинома $ \mathcal H_{k-1}(x) $.
Конкретно для задачи рациональной интерполяции **JJ**-тождество позволяет вычислять все семейство рациональных функций, удовлетворяющих заданной таблице --- для произвольной комбинации степеней числителя и знаменателя, связанных равенством
$ \deg p(x) + \deg q(x) +1 = N $.
!!П!! **Пример.** Построить все удовлетворяющие таблице
$$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}
x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
y & 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 3
\end{array}
$$
рациональные функции $ r(x)=p(x)/q(x) $ при условии $ \deg p(x)+\deg q(x) \le 6 $.
**Решение.** Сначала вычисляем элементы последовательностей $ \{ \tau \} $ и $ \{ \widetilde \tau \} $:
$$ \tau_0=\frac{61}{720},\ \tau_1=-\frac{9}{80},\ \tau_2=-\frac{17}{240}, \dots, \tau_{12}=\frac{981007}{240}; $$
$$
\widetilde \tau_0=-\frac{77}{2880},\ \widetilde \tau_1=\frac{119}{8640}, \widetilde \tau_2=-\frac{167}{8640}, \dots, \widetilde \tau_{12}=\frac{3923929}{8640} \, .
$$
Теперь вычисляем ганкелевы полиномы первого и второго порядков:
$$
\mathcal H_1(x;\{\tau\})=\frac{61}{720}x+\frac{9}{80}\, ,\
\mathcal H_2(x;\{\tau\})=\underbrace{-\frac{403}{21600}}_{h_{2,0}}x^2+\underbrace{\frac{37}{720}}_{h_{2,1}}x+
\underbrace{\frac{379}{7200}}_{h_{2,2}} \, .
$$
Вычисление $ \mathcal H_3(x;\{\tau\}) $ может быть организовано с помощью теоремы $ 2 $:
$$
\mathcal H_3(x;\{\tau\}) \equiv -
\left(\frac{h_{3,0}}{h_{2,0}}\right)^2 \mathcal H_1(x;\{\tau\})+ \frac{h_{3,0}}{h_{2,0}}\left(x-\frac{h_{2,1}}{h_{2,0}}+\frac{h_{3,1}}{h_{3,0}} \right)\mathcal H_2(x;\{ \tau\})
$$
в правой части равенства все константы, за исключением $ h_{3,0}=H_3(\{\tau\}) $ и $ h_{3,1} $, уже известны.
Для нахождения оставшихся используем формулы
$$
h_{3,0}=H_3(\{\tau \})=\tau_4 h_{2,0}+\tau_3 h_{2,1}+\tau_2 h_{2,2}=-\frac{1379}{64800} \, ,
$$
$$
h_{3,1}=-(\tau_5 h_{2,0}+\tau_4 h_{2,1}+\tau_3 h_{2,2})= \frac{127}{10800}\, .
$$
Таким образом,
$$
\mathcal H_3(x;\{\tau\}) \equiv-\frac{1379}{64800}x^3+\frac{127}{10800}x^2+\frac{5111}{64800}x-\frac{17}{1200} \, .
$$
Продолжаем рекурсивное применение **JJ**-тождества:
\begin{eqnarray*}
\mathcal H_4(x;\{\tau\}) &\equiv & -\frac{1609}{21600}x^4-\frac{347}{10800}x^3+\frac{368}{675}x^2-\frac{2201}{5400}x-\frac{111}{160} \, , \\
~\\
\mathcal H_5(x;\{\tau\})
& \equiv & -\frac{763}{1440}x^5+\frac{301}{144}x^4+\frac{1715}{288}x^3-\frac{2947}{144}x^2 +\frac{301}{80}x +\frac{357}{16}\, , \\
~\\
\mathcal H_6(x;\{\tau\}) & \equiv &
\underbrace{\frac{693}{16}}_{h_{6,0}}x^6\underbrace{-\frac{357}{16}}_{h_{6,1}}x^5-\frac{9201}{16}x^4+\frac{3489}{16}x^3+\frac{7149}{4}x^2 -\frac{621}{4}x\underbrace{-1620}_{h_{6,6}} \, .
\end{eqnarray*}
И еще одно дополнительное вычисление константы:
$$
H_7(\{\tau\})=\tau_{12}h_{6,0}+ \tau_{11}h_{6,1} + \dots + \tau_{6} h_{6,6}=-1620 \, .
$$
Тем самым все возможные знаменатели дробей найдены. Параллельно, и в той же рекурсивной манере, запускается процедура нахождения числителей
$$
\mathcal H_1(x;\{\widetilde\tau\}) =-\frac{77}{2880}x-\frac{119}{8640}\, ,\
\mathcal H_2(x;\{\widetilde\tau\})=\underbrace{\frac{763}{2332800}}_{\widetilde h_{2,0}=H_2(\{\widetilde \tau\})}\,x^2+\underbrace{\frac{301}{233280}}_{\widetilde h_{2,1}}\, x+\underbrace{\frac{37}{86400}}_{\widetilde h_{2,2}}\, ,
$$
$$
\widetilde h_{3,0}=H_3(\{\widetilde \tau \})= \widetilde \tau_4 \widetilde h_{2,0}+ \widetilde \tau_3 \widetilde h_{2,1}+ \widetilde \tau_2 \widetilde h_{2,2}=\frac{1609}{34992000} \, ,
$$
$$
\widetilde h_{3,1}=-(\widetilde \tau_5 \widetilde h_{2,0}+\widetilde \tau_4 \widetilde h_{2,1}+\widetilde \tau_3 \widetilde h_{2,2})=-\frac{347}{17496000} \, ,
$$
\begin{eqnarray*}
\mathcal H_3(x;\{\widetilde\tau\}) &\equiv & -
\left(\frac{\widetilde h_{3,0}}{\widetilde h_{2,0}}\right)^2 \mathcal H_1(x;\{\widetilde\tau\})+ \frac{\widetilde h_{3,0}}{\widetilde h_{2,0}}\left(x-\frac{\widetilde h_{2,1}}{\widetilde h_{2,0}}+\frac{\widetilde h_{3,1}}{\widetilde h_{3,0}} \right)\mathcal H_2(x;\{\widetilde \tau\}) \\
& \equiv & \frac{1609}{34992000}x^3-\frac{347}{17496000}x^2-\frac{7181}{34992000}x+\frac{17}{1944000} \, , \\
\mathcal H_4(x;\{\widetilde\tau\}) & \equiv &
\frac{\scriptstyle 1379}{\scriptstyle 104976000}x^4+\frac{\scriptstyle 127}{\scriptstyle 17496000}x^3-\frac{\scriptstyle 4771}{\scriptstyle 52488000}x^2-\frac{\scriptstyle 13}{\scriptstyle 81000}x-\frac{\scriptstyle 379}{\scriptstyle 11664000} \, , \\
\mathcal H_5(x;\{\widetilde\tau\}) & \equiv &
\frac{\scriptstyle 403}{\scriptstyle 34992000}x^5+\frac{\scriptstyle 37}{\scriptstyle 1166400}x^4-\frac{\scriptstyle 707}{\scriptstyle 6998400}x^3-\frac{\scriptstyle 13}{\scriptstyle 43200}x^2 -\frac{\scriptstyle 13}{\scriptstyle 72000}x-\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 14400} \, , \\
\mathcal H_6(x;\{\widetilde\tau\}) & \equiv &
-\frac{\scriptstyle 61}{\scriptstyle 1166400}x^6+\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 14400}x^5+\frac{\scriptstyle 181}{\scriptstyle 233280}x^4-\frac{\scriptstyle 17}{\scriptstyle 25920}x^3-\frac{\scriptstyle 841}{\scriptstyle 291600}x^2 +\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3600}x
-\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 1620} \, .
\end{eqnarray*}
Остается только скомбинировать числители со знаменателями:
\begin{eqnarray*}
r_{0,6}(x)&=&\frac{H_7(\{\tau\})}{\mathcal H_6(x;\{\tau\})} \\
& \equiv & -\frac{8640}{231\,x^6-119\,x^5-3067\,x^4+1163\,x^3+9532\,x^2-828\,x-8640} \, , \\
r_{1,5}(x)&=&\frac{h_{6,0}\mathcal H_1(x;\{\widetilde \tau\})}{\widetilde h_{1,0} \mathcal H_5(x;\{\tau\})} \equiv -\frac{270(33\,x+17)}{109\,x^5-430\,x^4-1225\,x^3+4210\,x^2-774\,x-4590} \, , \\
r_{2,4}(x)&=&\frac{h_{5,0}\mathcal H_2(x;\{\widetilde \tau\})}{\widetilde h_{2,0} \mathcal H_4(x;\{\tau\})} \equiv \frac{15(763\,x^2+3010\,x+999)}{1609\,x^4+694\,x^3-11776\,x^2+8804\,x+14985}\ , \cdots ,
\end{eqnarray*}
и, наконец, полиномиальный интерполянт:
$$
r_{6,0}(x)=\frac{h_{1,0}\mathcal H_6(x;\{\widetilde \tau\})}{\widetilde h_{6,0}} \equiv
\frac{61}{720}x^6
-\frac{9}{80}x^5
-\frac{181}{144}x^4
+\frac{17}{16}x^3
+\frac{841}{180}x^2
-\frac{9}{20}x
+1 \, .
$$
♦
**JJ**-тождество перестает работать для вычисления $ \mathcal H_{k}(x) $ если $ h_{k-1,0}=H_{k-1} = 0 $. Обобщения теоремы $ 2 $ для этого случая см.
☞
((:algebra2/hankel#rekursivnaja_formula_dlja_gankelevyx_polinomov ЗДЕСЬ))
==Взаимосвязь с барицентрическим представлением ==
!!Т!! **Теорема 3.** //Если существует рациональный интерполянт при// $ m \le n $, //то вектор//
$ \mathbf u=[u_1,\dots,u_N] $ //является вектором весов в одном из// **барицентрических представлений** //этого интерполянта//
$$
r(x)= \frac{ \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{u_j}{x-x_j}y_j }{ \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{u_j}{x-x_j}}
$$
//тогда и только тогда, когда// $ \mathbf u $ //принадлежит ((:mapping#matrica_linejnogo_otobrazhenija ядру))// блочной матрицы
$$
\mathbf A= \left(\begin{array}{c} \mathbf V \\ \hline \mathbf H
\end{array} \right)_{ (N-1)\times N }
$$
//где//
$$
\mathbf V =
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \dots & 1 \\
x_1 & x_2 & \dots & x_N \\
x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_N^2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_N^{n-1}
\end{array}
\right) \, ,\
\mathbf H =
\left(
\begin{array}{cccc}
y_1 & y_2 & \dots & y_N \\
x_1y_1 & x_2y_2 & \dots & x_Ny_N \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_1^{m-1}y_1 & x_2^{m-1}y_2 & \dots & x_N^{m-1}y_N
\end{array}
\right)\, .
$$
Теперь проанализируем результат этой теоремы на взаимосвязь с методом Якоби.
Прежде всего, утверждается, что $ m+1 $ векторов
$$
\Xi_j=\big[x_1^j/W^{\prime}(x_1), \dots, x_N^j/W^{\prime}(x_N)\big] \ \mbox{ при } j\in \{0,1,\dots,m\}
$$
принадлежат ((:mapping#matrica_linejnogo_otobrazhenija ядру матрицы)) Вандермонда $ \mathbf V $. Это действительно следует из ((:interpolation#rekursivnoe_vychislenie_koehfficientov равенств Эйлера-Лагранжа)). Далее, ищем линейную комбинацию
$$ v_0 \Xi_0+v_1 \Xi_1+\dots+v_m \Xi_m \, , $$
принадлежащую ядру матрицы $ \mathbf H $:
$$
\left(\begin{array}{cccc}
y_1 & y_2 & \dots & y_N \\
x_1y_1 & x_2y_2 & \dots & x_Ny_N \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_1^{m-1}y_1 & x_2^{m-1}y_2 & \dots & x_N^{m-1}y_N
\end{array}
\right)
\left(\begin{array}{cccc}
1/W^{\prime}(x_1) & x_1/W^{\prime}(x_1) & \dots & x_1^m/W^{\prime}(x_1) \\
1/W^{\prime}(x_2) & x_2/W^{\prime}(x_2) & \dots & x_2^m/W^{\prime}(x_2) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1/W^{\prime}(x_N) & x_N/W^{\prime}(x_N) & \dots & x_N^m/W^{\prime}(x_N)
\end{array}
\right)
\left(\begin{array}{c}
v_0 \\ v_1 \\ \vdots \\ v_m
\end{array}
\right) = \mathbb O_{m\times 1} \, ,
$$
или, в терминах симметрических функций из формулировки теоремы $ 1 $:
$$
\left(\begin{array}{llll}
\tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\
\tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\
\vdots & \ \vdots & & \vdots \\
\tau_{m-1} & \tau_m & \dots & \tau_{2m-1}
\end{array}
\right)_{m\times (m+1)}
\left(\begin{array}{c}
v_0 \\ v_1 \\ \vdots \\ v_m
\end{array}
\right) = \mathbb O_{m\times 1} \, .
$$
При условии, что ранг матрицы, стоящей в левой части этого уравнения, равен $ m $
размерность ядра равна $ 1 $, а его базисный вектор ((:algebra2/linearsystems#sistema_odnorodnyx_uravnenij состоит из алгебраических дополнений к элементам последней строки матрицы))
$$
\left(\begin{array}{llll}
\tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\
\tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\
\vdots & \ \vdots & & \vdots \\
\tau_{m-1} & \tau_m & \dots & \tau_{2m-1} \\
\ast & \ast & \dots & \ast
\end{array}
\right)_{(m+1)\times (m+1)} \, .
$$
Следовательно, этот вектор должен быть пропорционален (коллинеарен) вектору коэффициентов знаменателя рационального интерполянта, представленного в теореме $ 1 $.
Таким образом, метод решения задачи рациональной интерполяции, основанный на вычислении ганкелевых полиномов, может быть интерпретирован как метод решения системы линейных уравнений, составленной для определения вектора весов в барицентрическом представлении интерполянта из теоремы $ 3 $.
==Задачи==
((:interpolation:ratinterp-jacobi:problems ЗДЕСЬ))
==Источники==
[1]. **Jacobi C.G.J.** //Űber die Darstellung einer Reihe gegebner Werthe durch eine gebrochne rationale Function.// J.reine angew. Math. 1846. Bd. 30, S. 127-156
[2]. **Eĝecioĝlu Ö., Koç Ç.K.** //A fast algorithm for rational interpolation via orthogonal polynomials.//
Math. Comp. 1989, v. **53**, 249-264.
[3]. **Утешев А.Ю., Боровой И.И.** //Решение задачи рациональной интерполяции с использованием ганкелевых полиномов.// Вестник СПбГУ. Серия 10. 2016. Вып. 4, С. 31-43.
Текст
☞
((http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/uteshev/publ/publ2.pdf ЗДЕСЬ)) (pdf).
[4]. **Uteshev A., Baravy I., Kalinina E.** //Rational Interpolation: Jacobi's Approach Reminiscence.// Symmetry, 2021, **13** (8), 1401 Текст --- в открытом доступе
☞
{{:references:symmetry-13-01401.pdf}}
[5]. **Berrut J.-P., Baltensperger R., Mittelmann H.D.** //Recent developments
in barycentric rational interpolation//. Trends and Applications in Constructive Approximation. Birkhãuser: Basel, Switzerland, 2005; pp. 27--51.