!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:interpolation ИНТЕРПОЛЯЦИЯ))
----
==Задачи==
1.
Построить полином наименьшей степени, дающий при делении на $ x^2+x+1 $ в остатке $ -x-1 $, при делении на $ x^2+2\,x+2 $ --- в остатке $ -5\,x-1 $, а при делении на $ x^2-x+1 $ --- в остатке $ x+1 $.
2.
((#источники [1])) Чему равен остаток от деления полинома $ x^{81}+x^{49}+x^{25}+x^9+x $ на $ x^3-x $?
3.
Пусть $ \{x_1,\dots, x_n\} $ все различны и отличны от нуля, и
$$ W(x)=\prod_{j=1}^n (x-x_j) \, . $$
Доказать, что
$$
\sum_{j=1}^n \frac{1}{x_j W^{\prime}(x_j)}= \frac{(-1)^{n-1}}{\displaystyle \prod_{j=1}^n x_j} \, .
$$
4.
Доказать, что для функции
$$ W(x)=\prod_{j=1}^n (x-x_j) \quad \mbox{при} \ \{x_j=x_1+(j-1)\Delta\}_{j=2}^n $$
(равноотстоящие узлы) будет выполнено: $ W^{\prime}(x_j)$ совпадает с $ W^{\prime}(x_{n-j}) $, с точностью до знака.
5.
Построить вещественный полином третьей степени по следующей таблице значений
$$
\begin{array}{r|rrc}
x & -1 & 1 & \mathbf i\\
\hline
y & -4 & -2 & 3 - \mathbf i
\end{array}
$$
6.
При каких значениях $ y_{\ast} $ таблица
$$
\begin{array}{r|rrcc}
x & -1 & 1 & \mathbf i & 2\\
\hline
y & -2 & -2 & - 2 \mathbf i & y_{\ast}
\end{array}
$$
задает вещественный полином третьей степени?
7.
Пусть $ x_1 < \dots < x_n $ и $ \{B_j \}_{j=0}^n \subset \mathbb R $. С помощью ((:polynomial/descartes правила знаков Декарта)) доказать, что число корней полинома
$$
f(x)=B_0+(x-x_1)B_1+(x-x_1)(x-x_2)B_2 + \dots + (x-x_1)\times \dots \times (x-x_{n})B_n
\ ;
$$
больших $x_1 $ (с учетом кратностей этих корней) равно или меньше на четное число ((:algebra2:notations#число_знакопостоянств_знакоперемен числа знакоперемен)) в ряду $ B_0,B_1,\dots, B_n $:
$$
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>x_n \} = {\mathcal V}(B_0,B_1,\dots, B_n)-2 k , \quad
k\in \{0,1,2, \dots \} \ .
$$
Аналогично,
$$
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x