==Проблема моментов==
~~TOC~~
**Задача.** Дана последовательность вещественных чисел
$$ \{\mathbb c \}= c_0,c_1,\dots \, .$$
Требуется определить числа
$$ \mu_1, \dots , \mu_m \quad \mbox{ и } \quad u_1,\dots, u_m $$
такие, чтобы выполнялись равенства
$$ c_k=\sum_{j=1}^m \mu_j u_j^k \quad \mbox{ при } \quad \ k\in \{0,1,2,\dots \} \, . $$
Эта задача называется **проблемой моментов** --- конечной или бесконечной в зависимости от количества равенств. Если константы $ \{\mu_j,u_j\} $ ищутся вещественными, то говорят о **вещественной проблеме моментов**.
Бесконечная проблема моментов равносильна задаче поиска правильной рациональной дроби, имеющей заданное разложению в ряд Лорана по степеням $ x^{-1} $
$$
\sum_{j=1}^m \frac{\mu_j}{x-u_j} = \frac{c_0}{x}+\frac{c_1}{x^2}+\frac{c_2}{x^3}+ \dots
$$
Конечная проблема моментов --- первые $ 2 m $ членов разложения в ряд Лорана должны иметь заданный вид.
А вот если бы поставили задачу поиска правильной рациональной дроби $ g(x)/f(x) $ имеющей разложение в ряд Маклорена с заданными первыми $ 2m $ коэффициентами
$$
\frac{g(x)}{f(x)}\equiv \sum_{j=1}^m \frac{\mu_j}{x-u_j} = c_0+c_1 x+c_2 x^2+ \dots
$$
то получили бы ((https://en.wikipedia.org/wiki/Pad%C3%A9_approximant аппроксимант Паде)). Только в задаче Паде требуется явно построить ((:polynomial#obschaja_informacija каноническую форму)) полиномов числителя и знаменателя дроби $ g(x)/f(x) $, а не величины $ \{\mu_j, u_j \}_{j=1}^m $. В проблеме же моментов требуется найти разложение дроби $ g(x)/f(x) $ на ((:fraction#nad_mnozhestvom_kompleksnyx_chisel простейшие)) над $ \mathbb C $ --- без построения канонической формы для $ g(x) $ и $ f(x) $.
Источник задачи,похоже, связан с Гауссом.
**Задача (Гаусс).** Найти величины $ \{\mu_j, u_j \}_{j=1}^m \subset \mathbb R $ так, чтобы равенство
$$ \mu_1 \varphi(u_1)+\mu_2 \varphi(u_2)+ \dots + \mu_m \varphi(u_m) = \int_{0}^1 \varphi(t) d\, t $$
выполнялось для любого полинома $ \varphi(x) \in \mathbb R[x] $ степени $ \le 2m-1 $.
Если $ \varphi(x)=a_0+a_1x+\dots+a_{2m-1}x^{2m-1} $ то сравнивая коэффициенты при $ a_0,\dots, a_{2m-1} $ в обеих частях равенства, получаем систему уравнений
$$
\left\{ \begin{array}{lllll}
\mu_1 & + \mu_2 & + \dots & + \mu_m &=1 \\
\mu_1u_1 & + \mu_2u_2 & + \dots & + \mu_mu_m &=1/2 \\
\dots &&&& \dots \\
\mu_1u_1^{2m-1} & + \mu_2u_2^{2m-1} & + \dots & + \mu_mu_m^{2m-1} &=1/(2m)
\end{array}
\right.
$$
♦
В самом общем случае, если последовательность $ \{\mathbb c \} $ --- комплексная, проблема моментов эквивалентна проблеме установления факта того, что она является ((:recurr#analitika линейной рекуррентной последовательностью)) порядка $ m $.
==Решение==
Решение конечной проблемы моментов производится по следующему алгоритму.
Определим коэффициенты полинома
$$ p(x):=p_0+p_1x+\dots+ p_mx^m $$
имеющего своими корнями $ u_1,\dots, u_m $:
$$ \{p_0+p_1u_j+\dots+p_mu_j^m=0\}_{j=1}^m \quad \iff \quad
p(x)\equiv p_m \prod_{j=1}^m (x-u_j) \, ,
$$
А фактически же мы ищем знаменатель дроби
$$
\sum_{j=1}^m \frac{\mu_j}{x-u_j} \, .
$$
Сложив почленно равенства
$$
\begin{array}{rrrrr}
\mu_1(p_0 &+p_1u_1&+\dots &+ p_mu_1^m) & =0, \\
\mu_2(p_0 &+p_1u_2&+\dots &+ p_mu_2^m) & =0, \\
\dots & & & & \dots \\
\mu_m(p_0 &+p_1u_m&+\dots &+ p_mu_m^m) & =0,
\end{array}
$$
получим уравнение
$$
p_0c_0+p_1c_1+\dots + p_mc_m=0 \, .
$$
Сложив почленно равенства
$$
\begin{array}{rrrrr}
\mu_1u_1(p_0 &+p_1u_1&+\dots &+ p_mu_1^m) & =0, \\
\mu_2u_2(p_0 &+p_1u_2&+\dots &+ p_mu_2^m) & =0, \\
\dots & & & & \dots \\
\mu_mu_m(p_0 &+p_1u_m&+\dots &+ p_mu_m^m) & =0,
\end{array}
$$
получим уравнение
$$
p_0c_1+p_1c_2+\dots + p_mc_{m+1}=0 \, .
$$
Аналогичным образом получаем систему уравнений, которую в матричном виде представляется так:
$$
\left(
\begin{array}{llll}
c_0 & c_1&\dots & c_m \\
c_1 & c_2&\dots & c_{m+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
c_{m-1} & c_m&\dots & c_{2m-1}
\end{array}
\right)_{m\times (m+1)}
\left(
\begin{array}{l}
p_0 \\ p_1 \\ \vdots \\ p_{m}
\end{array}
\right)= \mathbb O_{m\times 1}
$$
Если дополнить эти уравнения еще и равенством
$$
p_0+p_1u_j+\dots+p_mu_j^m=0 \ ,
$$
то получим систему из $ m+1 $ однородных уравнений относительно неизвестных коэффициентов $ p_0,\dots,p_m $. Условие существования нетривиального решения этой системы:
$$
\left|
\begin{array}{llll}
c_0 & c_1&\dots & c_m \\
c_1 & c_2&\dots & c_{m+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
c_{m-1} & c_m&\dots & c_{2m-1} \\
1 & u_j & \dots & u_j^m
\end{array}
\right|=0 \, ,
$$
и это условие должно выполняться для любого корня искомого полинома $ p(x) $. Отсюда получаем представление для полинома $ p(x) $: с точностью до домножения на константу он равен определителю
$$ \mathcal H_m(x; \{\mathbf c\}):=
\left|
\begin{array}{llll}
c_0 & c_1&\dots & c_m \\
c_1 & c_2&\dots & c_{m+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
c_{m-1} & c_m&\dots & c_{2m-1} \\
1 & x & \dots & x^m
\end{array}
\right| \, .
$$
Старший коэффициент $ \mathcal H_m(x) $ совпадает с
$ C_m $, свободный член --- с $ (-1)^{m} \widetilde C_m $ при ганкелевых определителях
$$
C_m=
\left|
\begin{array}{llll}
c_0 & c_1&\dots & c_{m-1} \\
c_1 & c_2&\dots & c_{m} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
c_{m-1} & c_m&\dots & c_{2m-2}
\end{array}
\right|, \quad
\widetilde C_m
=
\left|
\begin{array}{llll}
c_1&c_2 & \dots & c_{m} \\
c_2& c_3 & \dots & c_{m+1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
c_m&c_{m+1} &\dots & c_{2m-1}
\end{array}
\right| \, .
$$
По своему детерминантному представлению полином $ \mathcal H_m(x; \{\mathbf c\}) $ относится к типу ((:algebra2/hankel ганкелевых полиномов)); последовательность $ \{\mathbf c\} $ --- его порождающая.
В дальнейшем будем записывать этот полином без указания порождающей последовательности.
Если $ C_m \ne 0, \widetilde C_m \ne 0 $, то $ \mathcal H_m(x) $
имеет $ m $ ненулевых корней $ u_1,\dots,u_m $. Различность их, вообще говоря, не гарантирована.
Если они всё-таки различны, то
для определения констант $ \mu_1,\dots, \mu_m $ имеем систему линейных уравнений из первых $ m $ уравнений проблемы моментов:
$$ c_k=\sum_{j=1}^m \mu_j u_j^k , \ k\in \{0,1,2,\dots, m-1 \} \, . $$
Матрица этой системы --- ((:algebra2:vander#opredelitel матрица Вандермонда)), и система однозначно разрешима.
Если последовательность $ \{\mathbb c \} $ --- комплексная, то в случае когда полином
$$ \mathcal H_m(x; \{\mathbf c\}) := h_0x^m+h_1x^{m-1}+\dots+h_m $$
имеет степень $ m $
и его корни различны, то он является ((:recurr#analitika характеристическим полиномом линейной рекуррентной последовательности)) $ \{\mathbf c\}) $:
$$
h_0c_{m+K}+ h_1c_{m+K-1}+\dots+ h_m c_{K}=0 \quad \mbox{при} \ K\in \{0,1,2\dots \} \, .
$$
В общем же случае, если условие различности $ \{u_j \}_{j=1}^m $ не удовлетворяется, то проблема получается либо неразрешимой, либо же имеющей бесконечное множество решений...
Для существования решения вещественной проблемы моментов необходимо, чтобы $ p(x) $ имел только вещественные корни.
!!Т!! **Теорема 1** ((#istochniki [1])). //Для того, чтобы конечная вещественная проблема моментов//
$$ c_k=\sum_{j=1}^m \mu_j u_j^k , \ k\in \{0,1,2,\dots, 2m-1 \} $$
//имела решение при положительных $u_1,\dots,u_m $ необходимо и достаточно, чтобы ганкелевы матрицы//
$$
C=\left[c_{j+k} \right]_{j,k=0}^{m-1} \quad \mbox{ и } \quad \widetilde C = \left[c_{j+k+1} \right]_{j,k=0}^{m-1}
$$
//были ((:2form#znakoopredelennost положительно определенными)).//
!!=>!! Условия теоремы переформулируются в виде условий на главные миноры матриц:
$$ \{ C_j >0,\ \widetilde C_j > 0 \}_{j=1}^m \, . $$
==Источники==
[1]. **Гантмахер Ф.Р.** //Теория матриц.// 4-е изд. М.Наука. 1988.