!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:interpolation:mnk МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ))
----
==Задачи==
1.
Определить по методу наименьших квадратов полином третьей степени, приближенно
принимающий таблицу значений
$$
\begin{array}{l|ccccc}
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y & 16 & 1 & 0 & 1 & 16
\end{array}
$$
2.
Определить главную квадратичную тенденцию (тренд) изменения
курса ((http://lib.ru/PROZA/GRANIN/zubr.txt сукугунского динара)) по отношению к рублю по временному ряду среднемесячных
курсов
^ Месяц | ноябрь | декабрь | январь | февраль | март |
^ руб. за динар | $ 26.7 $ | $ 26.4 $ | $ 26.4 $ | $ 26.3 $ | $ 26.4 $ |
и спрогнозировать его курс на апрель[[Подсказка.
Вычисления упрощаются при грамотной пронумеровке
месяцев: см. решение предыдущего упражнения.]].
3
((:interpolation:mnk:problems:vspom1 .)) Определить по методу наименьших квадратов полином второй степени, приближенно
принимающий таблицу значений
$$
\begin{array}{l|cccccccccc}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
y & 6.2 & 2.5 & 1.4 & 3.8 & -0.1 & 2.4 & 3.1 & 0.5 & 1.7 & 4.6
\end{array}
$$
4.
Найти псевдорешение системы линейных уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{rcc}
27\, x_1 - 55\, x_2 &=&1,\\
-13\, x_1 +27\, x_2 &=&1,\\
-14\, x_1 +28\, x_2 &=&1.\\
\end{array} \right.
$$
5.
Найти псевдорешение системы линейных уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{rcc}
x_1 + x_2+x_3+x_4 &=&2,\\
x_1 + x_2+x_3+x_4 &=&3,\\
x_1 + x_2+x_3+x_4 &=&4.
\end{array}\
\right.
$$
6.
Найти псевдорешение системы линейных уравнений, которая состоит из $ m_{} $ подсистем вида
$$
\left\{
\begin{array}{rcc}
a_1x_1 + a_2x_2+ \dots + a_nx_n &=&b_{j},\\
\dots & & \dots \\
a_1x_1 + a_2x_2+ \dots + a_nx_n &=&b_{j}.
\end{array}\
\right.
$$
Подсистема состоит из $ k_{j} $ уравнений.
7.
Доказать, что для полинома $ f(x) $ произвольной степени, построенного по МНК, выполняется равенство
$$
\sum_{j=1}^m f(x_j)(y_j-f(x_j))=0 \, .
$$
8
((:interpolation:mnk:problems:vspom3 .))
Для интерполяционной таблицы, заданной ((:interpolation#approksimacija функцией Рунге))
$$ \left(x_{k+1}=-1+\frac{2k}{10} , y_{k+1}=F(x_{k+1}) \right) \ \mbox{ при } \ F(x)=\frac{1}{26\,x^2+1}, \ k \in \{0,\dots,10 \} \ , $$
определить по методу наименьших квадратов полином шестой степени $ g_6(x) $ и найти величину максимального отклонения
$$
\max_{x\in [-1,1]} |F(x) -g_6(x)| \ .
$$