!!§!! Вспомогательная страница к разделу ☞ ((:gruppe:galois#полиномы_неприводимые_по_модулю ПОЛЯ ГАЛУА)). ---- !!Т!! **Теорема 1.** //Если// $$ x^{p^n} - x \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)) \ ,$$ где $ f_{}(x) $ --- //произвольный неприводимый по простому модулю// $ p_{} $ //полином степени// $ n_{} $, то $$ \left[F(x)\right]^{p^n} - F(x) \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)) $$ //при любом полиноме// $ F_{}(x) $ //степени// $ ☞ ((:modular:vspom5 ЗДЕСЬ)) ). Получаем $$ \left[ A_0+A_1x+\dots+A_kx^k \right]^p \equiv A_0^p+(A_1x+\dots+A_kx^k)^{p} \pmod{p} \ . $$ Со вторым слагаемым из правой части сравнения поступаем аналогично. Индукция по степени полинома приведет к $$ \left[ A_0+A_1x+\dots+A_kx^k \right]^p \equiv A_0^p+A_1^px^p+\dots+A_k^p(x^p)^k \pmod{p} \ . $$ По ((:modular:vspom5 теореме Ферма)): $$ A_j^p \equiv A_j \quad npu \quad j\in\{0,1,\dots,k\} \ , $$ что и завершает доказательство теоремы. ♦ **Доказательство теоремы 1**. Из теоремы Шёнеманна следует цепочка: $$ \left[F(x)\right]^{p^2} \equiv F(x^{p^2}) \pmod{p},\dots, \left[F(x)\right]^{p^n} \equiv F(x^{p^n}) \pmod{p} \ . $$ Кроме того, следствием предположения теоремы является цепочка: $$ \left(x^{p^n}\right)^2 \equiv x^2 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)),\dots, \left(x^{p^n}\right)^{n-1} \equiv x^{n-1} \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)) \ . $$ Из этих двух цепочек утверждение теоремы очевидно. ♦ == Источник == **Чеботарев Н.** //Основы теории Галуа. Часть I.// М.-Л.ОНТИ.1934