!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:gruppe:galois#полиномы_неприводимые_по_модулю ПОЛЯ ГАЛУА)).
----
!!Т!! **Теорема.** //Если элемент// $ \mathfrak a \in \mathbf{GF} (p^m) $ //удовлетворяет неприводимому уравнению степени// $ n_{} $, //то равенство// $ \mathfrak a^{p^m} - \mathfrak a = \mathfrak o $ //возможно тогда и только тогда, когда// $ m_{} $ //делится на// $ n_{} $.
**Доказательство** проведем для полей Галуа $ \mathbf{GF}(p^m) $, рассмотренных в ☞ ((:gruppe:galois#пример_конечного_поля ПУНКТЕ)), т.е. для множества полиномов
$$ \mathbb P_{p,f} = \{ F (x)=A_0+A_1x+\dots+A_{m-1}x^{m-1} \ \mid \ \{A_0,A_1,\dots,A_{m-1}\} \subset
\{0,1,\dots,p-1 \} \} \ , $$
рассматриваемого относительно операции сложения по модулю $ p_{} $:
$$ F_1(x)+F_2(x) \pmod{p} $$
и операции умножения по двойному модулю $ p, f(x) $:
$$ F_1(x) F_2(x) \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)) $$
при некотором нормализованный неприводимый по модулю $ p_{} $ полиноме $ f_{}(x) $ степени $ m\ge 1 $.
Пусть некоторый полином $ F_{}(x) $ из указанного множества удовлетворяет указанному в формулировке теоремы сравнению
$$ g(F(x)) \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)) $$
при $ g_{}(x) $ --- неприводимом полиноме степени $ n_{} $.
Если $ g_{}(x) $ --- неприводимый полином степени $ n_{} $, то на его основе можно построить новое поле Галуа $ \mathbf{GF}(p^n) $ --- с операцией умножения по двойному модулю $ p, g(x) $. На основании ((:gruppe:galois#обобщенная_теорема_ферма обобщенной теореме Ферма)):
$$ x^{p^n} -x \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,g(x)) \ . $$
Перепишем это сравнение в форме тождества для полиномов с целочисленными коэффициентами:
$$ x^{p^n} -x \equiv Q(x)g(x)+pL(x) \quad npu \quad \{Q(x),L(x)\} \subset \mathbb Z(x) \ . $$
Тождество должно сохраниться и при замене $ x \to F(x) $:
$$ [F(x)]^{p^n} -F(x) \equiv Q(F(x))g(F(x))+pL(F(x)) \ . $$
Перейдем в этом тождестве к двойному модулю $ p,f(x) $, получим, на основании предположения:
$$ [F(x)]^{p^n} -F(x) \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x))\ . $$
C другой стороны, полином $ F_{}(x) $, как принадлежащий полю Галуа $ \mathbf{GF}(p^m) $, должен также удовлетворять и сравнению
$$ [F(x)]^{p^m} -F(x) \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x))\ . $$
Если $ m_{} $ делится нацело на $ n_{} $, то из первого сравнения вытекает второе.
Предположим теперь, что $ m_{} $ не делится нацело на $ n_{} $: $ m=nq+r $ при $ 0< r < n $.