!!§!! Вспомогательная страница к пункту ((:gruppe#подгруппа ПОДГРУППА))
----
==Теорема Лагранжа о порядке подгруппы==
!!Т!! **Теорема** [**Лагранж**]. //Порядок конечной группы кратен порядку любой из ее подгрупп:// $ \operatorname{Card} (\mathbb G) $ //делится на// $ \operatorname{Card} (\mathbb H) $.
Для доказательства теоремы введем новое понятие.
Пусть $ \mathbb H $ --- собственная подгруппа группы $ \mathbb G $ и пусть
$ \mathfrak b $ --- элемент группы $ \mathbb G $. Рассмотрим множество всех элементов вида $ {\mathfrak b} {\mathfrak h} $
при $ \mathfrak h \in \mathbb H $. Это множество называется **левым смежным классом** группы $ \mathbb G $ по подгруппе $ \mathbb H $ и обозначается $ \mathfrak b \mathbb H $:
$$\mathfrak b \mathbb H = \left\{ {\mathfrak b} {\mathfrak h} \big| \mathfrak h \in \mathbb H \right\}
\ .$$
Аналогично определяется **правый** смежный класс $ \mathbb H \mathfrak b $.
Очевидно, что в абелевой группе, любой левый смежный класс совпадает с правым: $ \mathfrak b \mathbb H =\mathbb H \mathfrak b $.
В литературе встречаются и противоположные определения: когда левый смежный класс (в смысле только что приведенного определения) называют правым и наоборот.
!!П!! **Пример.** Рассмотрим аддитивную группу целых чисел $ \mathbb G= \mathbb Z $,
в качестве ее подгруппы возьмем множество чисел кратных числу $ M\in \mathbb N $:
$$ \mathbb H=\left\{tM \big| t\in \mathbb Z \right\} \, . $$
Тогда при $ b_{} $ не кратном $ M_{} $ левый смежный класс
$$ b+ \mathbb H = \left\{ b+ tM \big| t\in \mathbb Z \right\} $$
очевидно совпадает с правым смежным классом, и представляет собой ((:modular#классы_вычетов класс
вычетов)) $ \overline b $ по модулю $ M_{} $.
♦
**Доказательство теоремы**. Сначала покажем, что все элементы смежного класса
$ \mathfrak b \mathbb H $ различны. Предположим, что $ {\mathfrak b} {\mathfrak h}_1
={\mathfrak b} {\mathfrak h}_2 $ при $ \{{\mathfrak h}_1 ,{\mathfrak h}_2 \} \subset \mathbb H $.
Тогда, домножая это равенство //слева// на $ {\mathfrak b}^{-1} $, необходимо приходим
к $ {\mathfrak h}_1 ={\mathfrak h}_2 $. Следовательно, при $ {\mathfrak h}_1 \ne {\mathfrak h}_2 $
должно выполняться и $ {\mathfrak b} {\mathfrak h}_1 \ne {\mathfrak b} {\mathfrak h}_2 $.
Итак, все элементы класса $ \mathfrak b \mathbb H $ действительно различны; как следствие
получаем, что $ \operatorname{Card} (\mathbb H) =\operatorname{Card} (\mathfrak b \mathbb H) $.
Теперь покажем, что множества $ \mathbb H $ и $ \mathfrak b \mathbb H $ не содержат общих элементов:
$ \mathbb H \bigcap \mathfrak b \mathbb H = \varnothing $. Допустим, что общие элементы
имеются: $ {\mathfrak h}_j ={\mathfrak b} {\mathfrak h}_k $. Тогда, домножая это равенство
//справа// на $ {\mathfrak h}_k^{-1} $, получаем
$ {\mathfrak b}= {\mathfrak h}_j{\mathfrak h}_k^{-1} $, и, поскольку
$ {\mathfrak h}_j{\mathfrak h}_k^{-1} $ принадлежит $ \mathbb H $, то и $ {\mathfrak b}\in \mathbb H $.
Однако это противоречит предположению.
Итак, если $ \mathbb H $ --- несобственная подгруппа группы $ \mathbb G $, то доказательство
теоремы тривиально. Если же она собственная, то существует элемент $ \mathfrak b $
группы $ \mathbb G $, не входящий в $ \mathbb H $. Тогда смежный класс $ \mathfrak b \mathbb H $ содержит
ровно $ \operatorname{Card} (\mathbb H) $ различных элементов, ни один из которых не содержится
в $ \mathbb H $. Следовательно множество $ \mathbb H \bigcup \mathfrak b \mathbb H $ содержит ровно
$ 2\operatorname{Card}(\mathbb H) $ различных элементов. Если $ \mathbb H \bigcup \mathfrak b \mathbb H = \mathbb G $,
то теорема доказана. Если же существует элемент $ \mathfrak f $ группы $ \mathbb G $, не
принадлежащий $ \mathbb H \bigcup \mathfrak b \mathbb H $, то мы образовываем новый смежный класс
$ \mathfrak f \mathbb H $, который --- по доказанному выше --- имеет все элементы
различными и не входящими в $ \mathbb H $. Покажем, что
$ \mathfrak f \mathbb H \bigcap \mathfrak b \mathbb H = \varnothing $. В самом деле, если
$ {\mathfrak f} {\mathfrak h}_j= {\mathfrak b} {\mathfrak h}_k $, то
$ {\mathfrak f}={\mathfrak b} {\mathfrak h}_k {\mathfrak h}_j^{-1} \in {\mathfrak b} \mathbb H $,
что противоречит предположению о том, что $ {\mathfrak f} \not\in \mathfrak b \mathbb H $.
Следовательно, множество $ \mathbb H \bigcup \mathfrak b \mathbb H \bigcup \mathfrak f \mathbb H $
содержит ровно $ 3\operatorname{Card} (\mathbb H) $ различных элементов. Если это множество
совпадает с $ \mathbb G $, то теорема доказана. В противном случае, продолжаем
процедуру выделения новых смежных классов. Эта процедура конечна, поскольку
сама группа $ \mathbb G $ конечна. Но тогда применение ((:basics:induction индукции)) позволит утверждать,
что группа $ \mathbb G $ раскладывается в объединение конечного числа
попарно непересекающихся множеств: смежных классов по подгруппе
$ \mathbb H $. Каждое из подмножеств имеет мощность, равную $ \operatorname{Card} (\mathbb H) $.
♦
Подгруппа $ \mathbb H $ группы $ \mathbb G $ называется **нормальной** (или **нормальным делителем**) если для любого элемента $ {\mathfrak h} \in \mathbb H $ и любого элемента $ \mathfrak b \in \mathbb G $ произведение $ \mathfrak b^{-1} \mathfrak h \mathfrak b $ принадлежит $ \mathbb H $.
!!Т!! **Теорема.** //Если подгруппа// $ \mathbb H $ //нормальная, то любой левый смежный класс по этой подгруппе совпадает с правым смежным классом и наоборот//.
Если подгруппа $ \mathbb H $ группы $ \mathbb G $ нормальная, то можно ввести операцию над смежными классами, так что получится новая группа, элементами которой будут смежные классы. Эта группа называется **факторгруппой** и обозначается $ \mathbb G / \mathbb H $.
!!П!! **Пример.** Множество $ \mathbb Z_M $ ((:modular#классы_вычетов классов вычетов по модулю)) $ M_{} $ является факторгруппой группы $ \mathbb Z_{} $ по подгруппе целых чисел, кратных $ M_{} $, относительно операции сложения.