Раздел разработан в 2010 г. при поддержке компании ((http://www.raidixstorage.com/ru/ RAIDIX))
----
Сложный для понимания материал! Желающим сначала быстро понять __как__ применяется эта теория к задачам помехоустойчивого кодирования --- см.
☞
((:gruppe:galois:vspom4 ЗДЕСЬ)).
==Поля Галуа==
~~TOC~~
!!§!! В настоящем разделе буква $ p_{} $ обозначает ((:numtheory#простые_числа простое число)).
===Структура конечного поля==
Существование конечных полей, т.е. полей, состоящих из конечного числа элементов установлено в пункте
☞
((:gruppe#поле ПОЛЕ)).
!!П!! **Пример.** Множество $ \mathbb Z_{p} $ классов вычетов по простому модулю $ p_{} $ образует поле относительно операций сложения и умножения.
Рассмотрим теперь конечные поля самого общего вида. Любое такое поле $ \mathbb F_{} $ должно содержать нейтральный элементы относительно сложения и умножения: $ \mathfrak o $ --- нулевой и $ \mathfrak e $ --- единичный. Начнем последовательно складывать единичные элементы
$$ \mathfrak a_1= \mathfrak e,\ \mathfrak a_2=\mathfrak e+\mathfrak e,\ \mathfrak a_3=\mathfrak e+\mathfrak e+\mathfrak e,\dots $$
Поскольку, по предположению, поле содержит лишь конечное число элементов, то элементы последовательности $ \{\mathfrak a_j\}_{j\in \mathbb N} $ должны повторяться. Если $ \mathfrak a_k= \mathfrak a_{\ell} $ при $ k<\ell $, то
$$ \mathfrak a_{\ell-k}= \mathfrak a_{\ell}-\mathfrak a_k = \mathfrak o \ . $$
Таким образом, в рассматриваемой последовательности обязательно встретятся нулевые элементы.
!!Т!! **Теорема 1.** //Пусть первый нулевой элемент последовательности// $ \{\mathfrak a_j\} $ //имеет номер// $ M_{} $:
$$ \mathfrak a_M=\mathfrak o, \mathfrak a_j \ne \mathfrak o \quad npu \quad j\in \{1,\dots,M-1\} . $$
//Число// $ M_{} $ --- //((:numtheory#простые_числа простое)). Все элементы// $ \mathfrak a_1,\dots,\mathfrak a_{M-1} $ //различны//.
**Доказательство.** Если $ M_{} $ --- составное: $ M=M_1M_2 $ при $ M_1
♦