==Некоторые алгебраические структуры== ~~TOC~~ Существует два подхода к изложению основ теории групп в учебном курсе высшей алгебры. Первый --- чисто формальный, "сверху-вниз": этот объект, его обобщения и обеспечивающая их терминология излагаются в начале курса, а впоследствии на формально введенном языке формулируются результаты из конкретных разделов алгебры. Я придерживаюсь противоположного подхода: теория групп --- это "надстройка над несколькими блоками фундамента", и построение курса алгебры надо начинать именно с закладки отдельных блоков --- изложением конкретных разделов (целые числа, полиномы, матрицы). И только потом устанавливать связи между ними, "перебрасывать мостики" и "навешивать узоры". Не собираясь обосновывать здесь правильность выбранной методологии (см. ☞ ((:users:au:index#особенности_оформления_и_правила_пользования Правила пользования настоящим ресурсом)) ), я сейчас просто проясняю причину по которой, например, в разделе ((:polynomial ПОЛИНОМ)) говорится о "полиноме над множеством", а не о "полиноме над полем". !!§!! А в завершение этого комментария привожу ☞ ((:gruppe:arist ЦИТАТУ)). ===Бинарная операция== Что такое алгебраическая операция? Рассмотрим произвольное непустое множество $ \mathbb S $, элементы которого будем обозначать готическими буквами: $$ \mathbb S=\{{\mathfrak A},\, {\mathfrak B},\, \dots, {\mathfrak a},\, {\mathfrak b},\, \dots \} \ .$$ **Бинарной операцией**, определенной на $ \mathbb S $, называется соответствие, при котором каждой упорядоченной паре $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ элементов из $ \mathbb S $ отвечает определенный элемент $ \mathfrak c $ того же множества. Записывать этот факт будем в виде $$ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak c} \ .$$ !!П!! **Пример.** Если $ \mathbb S=\mathbb Z $, то сложение является бинарной операцией; если $ \mathbb S=\mathbb Q_{+} $ (множество положительных рациональных чисел), то деление тоже является бинарной операцией. Подчеркнем, что понятие бинарной операции неразрывно связано с множеством, на котором она определена: результат операции не должен выводить за пределы множества. Примеры показывают, что бинарная операция, определенная на множестве $ \mathbb S $, не обязательно "наследуется" при переходе к подмножеству. !!П!! **Пример.** На подмножестве четных чисел множества $ \mathbb Z_{} $ операция сложения продолжает оставаться бинарной: сумма любых четных чисел остается четным числом. Напротив, на подмножестве нечетных чисел та же операция не является бинарной. Говорят, что подмножество $ \mathbb S_1 $ множества $ \mathbb S_{} $ **замкнуто** относительно бинарной операции $ \ast $, определенной на $ \mathbb S $, если выполнено $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} \in \mathbb S_1 $ для любой пары элементов $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ из $ \mathbb S_1 $. Если это условие не выполняется хотя бы для одной пары элементов $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ из $ \mathbb S_1 $, то говорят, что $ \mathbb S_1 $ **не замкнуто** относительно $ \ast $. !!?!! Пусть $ \mathbb S = \mathbb C,\, \mathbb S_1 = \{1,\, -1,\, \mathbf i ,\, -\mathbf i \} $. Является ли $ \mathbb S_1 $ замкнутым относительно сложения? А умножения? Два произвольных элемента $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ множества $ \mathbb S $, на котором определена бинарная операция $ \ast $, определяют четыре возможные результата действия этой операции: $$ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b},\ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak a},\ {\mathfrak b} \ast {\mathfrak a},\ {\mathfrak b} \ast {\mathfrak b} \ , $$ не все из которых обязательно различны. Если $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}={\mathfrak b} \ast {\mathfrak a} $, то говорят, что элементы $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ **перестановочны** (или что они **коммутируют**) **относительно операции** $ \ast $, если же $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}\ne {\mathfrak b} \ast {\mathfrak a} $, то эти элементы **не перестановочны** (**не коммутируют**) **относительно** $ \ast $. !!П!! **Пример.** Приведем несколько случаев некоммутативности: **а)** множество $ \mathbb Q_{+} $ с операцией деления: $ 1/2 \, \colon \, 1/3 \ne 1/3 \, \colon \, 1/2 $; **б)** множество ((:algebra2#квадратные_матрицы квадратных матриц)) $ n_{} $-го порядка с операцией умножения: $$ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)\, \cdot \, \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{array} \right) \ne \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{array} \right) \, \cdot \, \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \ . $$ Рассмотрим теперь последовательное применение операции $ \ast $ к трем элементам $ {\mathfrak a},{\mathfrak b} $ и $ {\mathfrak c} $ множества $ \mathbb S $. Возможные варианты исчерпываются $ ({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}) \ast {\mathfrak c} \quad $ и $ {\mathfrak a} \ast ({\mathfrak b} \ast {\mathfrak c}) $. Говорят, что для упорядоченной тройки элементов $ {\mathfrak a},{\mathfrak b} $ и $ {\mathfrak c} $ выполняется свойство **ассоциативности** операции $ \ast $ если $$ ({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}) \ast {\mathfrak c}={\mathfrak a} \ast ({\mathfrak b} \ast {\mathfrak c}) \ . $$ !!П!! **Пример.** **а)** Для чисел $ 1/2,\ 1/3,\ 1/4 $ не выполняется свойство ассоциативности деления: $ \left(1/2 \colon 1/3 \right) \colon 1/4 \ne 1/2 \colon \left(1/3 \colon 1/4\right) $. **б)** На множестве $ \mathbb N_{} $ определим операцию $ \ast $ как операцию возведения в степень $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak a}^{\mathfrak b} $. Для тройки чисел $ 2,3,2 $ свойство ассоциативности не выполняется: $$ \left(2^3\right)^2 \ne 2^{\left(3^2\right)} \ . $$ Здесь возникает интересная проблема, впервые поставленная ((:biogr#кэли Кэли)). При невыполнении ассоциативности операции $ \ast $ значение выражения $ {\mathfrak a}_1 \ast {\mathfrak a}_2 \ast \dots \ast {\mathfrak a}_n $ будет зависеть от порядка выполнения операций. Так, к примеру степень $$ 2^{\displaystyle 2^{\displaystyle 3^2}} $$ может быть равна --- в зависимости от расстановки скобок --- одному из следующих чисел: $$ 2^{^{\displaystyle \left( 2^{\displaystyle \left(3^2\right)} \right)}} =2^{512} \ ; \left( \left( 2^{\displaystyle 2} \right)^{\displaystyle 3} \right)^2=2^{12}\ ; 2^{^{\left[\left({\displaystyle 2}^{\displaystyle 3} \right)^2\right]}} =2^{64}\ ; \left(2^{\displaystyle 2} \right)^{\big( {\displaystyle 3}^2 \big)}=2^{18}\ ; \bigg[2^{\big({\displaystyle 2}^{3} \big)} \bigg]^2=2^{16} \ . $$ Сколько различных значений (в зависимости от расстановок скобок) может принимать выражение $ {\mathfrak a}_1 \ast {\mathfrak a}_2 \ast \dots \ast {\mathfrak a}_n $? Ответ на этот вопрос (а также его связь с проблемой кодирования) ☞ ((:gruppe:vspom1 ЗДЕСЬ)). Будем говорить, что операция $ \ast $ **коммутативна** на множестве $ \mathbb S $ если для любых двух элементов множества выполняется свойство коммутативности. Будем говорить, что операция $ \ast $ **ассоциативна** на множестве $ \mathbb S_{} $ если для любых трех элементов множества выполняется свойство ассоциативности. !!?!! ((#источники [3])). Пусть операция $ \ast $ подчиняется двум законам: $${\mathfrak a}\ast {\mathfrak a} ={\mathfrak a}, \quad ({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}) \ast {\mathfrak c}=({\mathfrak b} \ast {\mathfrak c}) \ast {\mathfrak a} $$ для любых $ {\mathfrak a}, {\mathfrak b} $ и $ {\mathfrak c} $ из $ \mathbb S $. Доказать, что $ \ast $ ассоциативна и коммутативна. ===Определение группы== Множество $ \mathbb S_{} $ с определенной на нем бинарной операцией $ \ast $ называется **полугруппой** если $ \ast $ --- ассоциативна. **Нейтральным элементом** множества $ \mathbb S_{} $ относительно операции $ \ast $ называется такой элемент $ \mathfrak e $ этого множества, что для любого элемента $ \mathfrak a \in \mathbb S_{} $ выполняются соотношения $$\mathfrak a \ast \mathfrak e = \mathfrak e \ast \mathfrak a = \mathfrak a \ .$$ !!П!! **Пример.** На множестве четных чисел не существует нейтрального элемента относительно умножения. Пусть множество $ \mathbb S_{} $ содержит нейтральный элемент относительно операции $ \ast $. Элемент $ \mathfrak A $ называется **обратным** элементу $ \mathfrak a\in \mathbb S_{} $ относительно операции $ \ast $ если выполняются соотношения $$ \mathfrak a \ast \mathfrak A = \mathfrak A \ast \mathfrak a = \mathfrak e \ .$$ Полугруппа называется **группой**, если в ней существует нейтральный элемент и для любого ее элемента существует обратный относительно $ \ast $. Традиционно группа обозначается буквой $ \mathbb G $; операция $ \ast $ называется умножением; результат бинарной операции $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} $ записывается тогда как $ {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b} $ или просто $ {\mathfrak a}{\mathfrak b} $; нейтральный элемент $ \mathfrak e $ называется **единичным** или просто **единицей**; элемент, обратный $ \mathfrak a $ обозначается $ \mathfrak a^{-1} $. Результат умножения элемента на самого себя называется его **степенью**: $$\underbrace{{\mathfrak a} \ast {\mathfrak a} \ast \dots \ast {\mathfrak a}}_{k} = {\mathfrak a}^k, \ {\mathfrak a}^{0} = {\mathfrak e}\ .$$ !!Т!! **Теорема.** //Для любых// $ \{ \mathfrak a, \mathfrak b \} \subset \mathbb G $ //существует единственный элемент// $ \mathbf x \in \mathbb G $ //такой, что// $ \mathfrak a \mathbf x = \mathfrak b $. **Доказательство.** Проверкой убеждаемся, что $ \mathfrak a^{-1} \mathfrak b $ удовлетворяет условию, т.е. уравнение решение имеет. Если бы существовал другой $ \mathbf x $, удовлетворяющий тому же соотношению, то умножением слева на $ \mathfrak a^{-1} $ получили бы $ \mathbf x = \mathfrak a^{-1} \mathfrak b $. Таким образом, решение единственно. !!§!! Аналогичное утверждение справедливо и для уравнения $ \mathbf y \mathfrak a= \mathfrak b $. !!?!! Доказать, что для любых $ \{ \mathfrak a, \mathfrak b \} \subset \mathbb G $ выполняется $$ \left( \mathfrak a \mathfrak b \right)^{-1}= \mathfrak b^{-1} \mathfrak a^{-1} \, . $$ !!?!! ((#источники [4])). Пусть $ \mathbb S_{} $ --- полугруппа, в которой для некоторого $ k_{}\in \mathbb N $ выполняются соотношения $$ \mathfrak a^{k+1}=\mathfrak a \quad u \quad \mathfrak a \mathfrak b^k \mathfrak a = \mathfrak b \mathfrak a^k \mathfrak b \qquad npu \qquad \forall \{\mathfrak a,\mathfrak b\} \subset \mathbb S \ . $$ Доказать, что умножение коммутативно. ===Примеры групп== ====Аддитивная группа целых чисел== Множество $ \mathbb Z_{} $ является группой относительно операции сложения, единичным элементом которой является $ 0_{} $, а элемент $ (-\mathfrak a) $ будет обратным элементу $ \mathfrak a $. То же самое множество не является группой относительно умножения: хотя единичный элемент и существует, но обратного не существует ни для какого другого. !!?!! Является ли это множество полугруппой? ====Классы вычетов== Рассмотрим ((:modular#классы_вычетов полную систему классов вычетов)) по модулю $ M_{}\in \mathbb N $, т.е. множеств целых чисел имеющих одинаковый остаток $ r_{} $ при делении на $ M_{} $: $$\overline r = \left\{r+Mt \ \big| \ t\in \mathbb Z \right\} $$ при $ r \in \{0,1,\dots,M-1 \} $. Это множество --- обозначаемое $ \mathbb Z_{M} $ --- является группой относительно сложения классов: $$ \overline a + \overline b = \overline c \quad \mbox{ при } \ c=a+b \pmod{M} \ .$$ Единичным элементом является класс $ \overline 0 $ (множество чисел, делящихся на $ M_{} $ нацело); элементом, обратным $ \overline a $, очевидно является $ \overline{M-a} $. То же множество $ \mathbb Z_{M} $ относительно умножения классов является полугруппой, но не группой: для класса $ \overline 0 $ не существует обратного. Даже если выбросить этот класс и рассмотреть множество $ \mathbb Z_M \setminus \overline 0=\{ \overline 1, \dots , \overline{M-1} \} $ то и оно не будет группой для некоторых $ M_{} $: хотя единичный элемент и существует, но нет, например, класса, обратного $ \overline 2 $ по модулю $ 6_{} $. Тем не менее, если дополнительно потребовать, чтобы модуль $ M_{} $ был числом ((:numtheory#простые_числа простым)): $ M=p $, то множество $ \{ \overline 1, \dots , \overline{p-1} \} $ становится группой относительно умножения. Элементом, обратным $ \overline a $ будет класс $ \overline x $, где $ x_{} $ является решением сравнения $ ax\equiv 1 \pmod{p} $. Это решение единственно среди чисел множества $ \{1,\dots,p-1\} $ и может быть найдено по алгоритмам, приведенным ☞ ((:modular#алгоритм_решения ЗДЕСЬ)). Например, используя ((:modular#теорема_ферма теорему Ферма)), его можно представить в виде $ x=a^{p-2} \pmod{p} $. !!?!! Доказать, что подмножество классов вычетов, взаимно простых с модулем $ M_{} $, образует группу относительно умножения. ====Корни из единицы== Во множестве $ \mathbb C_{} $ рассмотрим подмножество корней ((:complex_num#корни_из_единицы n-й степени из единицы)): $$\mathbb G = \left\{\varepsilon_k=\cos \frac{2 \pi k}{n} +\mathbf i\, \sin \frac{2 \pi k}{ n} \right\}_{k=0}^{n-1} \ .$$ Это подмножество является группой относительно умножения: $$\mathfrak e = \varepsilon_0=1; \ \varepsilon_j \varepsilon_k=\varepsilon_{j+k \pmod{n}} =\left\{\begin{array}{ll} \varepsilon_{j+k} \in \mathbb G & npu \ j+k< n, \\ \varepsilon_{j+k-n} \in \mathbb G & npu \ j+k\ge n; \end{array} \right. $$ $$\varepsilon_j^{-1}=\varepsilon_{-j}=\varepsilon_{n-j} \in \mathbb G \ .$$ ====Полиномы== Множества ((:polynomial#общая_информация полиномов)) $ \mathbb Z[x],\, \mathbb Q[x],\ \mathbb R[x], \mathbb C[x] $ с коэффициентами из соответственно $ \mathbb Z_{} $, $ \mathbb Q_{} $, $ \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $ являются группами относительно сложения. Единичным элементом является тождественно нулевой полином, а полином $ (-f(x)) $ --- обратным полиному $ f(x)_{} $. Те же множества не являются группами относительно умножения. ====Полная линейная группа== Множество ((:algebra2#квадратные_матрицы квадратных)) $ n\times n_{} $ матриц над $ \mathbb R_{} $ является полугруппой, но не группой относительно операции умножения, т.к. не для всякой матрицы $ A_{} $ существует обратная. Но вот подмножество ((:algebra2#обращение_матрицы невырожденных матриц)) образует группу, называемую **полной линейной группой степени n над** $ \mathbb R_{} $ и обозначаемую[[ganze lineare (//нем.//) --- полная линейная]] $ \mathbf{GL}(n,\mathbb R) $. !!?!! Образует ли множество матриц $$ \mathbf{a)} \quad \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right);\ $$ $$ \mathbf{b)} \quad \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) $$ группу относительно умножения? ---- Группа называется **абелевой**[[Абель Нильс Хенрик (Abel Niels Henrik, 1802--1829) --- норвежский математик. Доказал неразрешимость в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени. При изучении алгебраических уравнений широко использовал понятие коммутативной группы. Создал теорию эллиптических функций.]] если операция $ \ast $ коммутативна. В противном случае группа **неабелева**. Группа $ \mathbf{GL}(n,\mathbb R) $ из последнего примера --- неабелева. Все предыдущие --- абелевы. В литературе иногда операцию $ \ast $ в абелевой группе обозначают $ +_{} $; тогда нейтральный элемент $ \mathfrak e $ обозначают $ 0_{} $; а $ {\mathfrak a}^{-1} $ --- через $ - \mathfrak a $ (и называют элементом, **противоположным** $ \mathfrak a $). Подгруппу $ \mathbf{GL}(n,\mathbb R) $ образует множество $ \mathbf{GL}(n,\mathbb Z) $ матриц с целочисленными элементами и определителями равными $ (+ 1) $ или $ (-1) $. Такие матрицы называются **унимодулярными**. ==== Монотонные функции== Рассмотрим множество функций $ \{\varphi (x) \} $, непрерывных, (строго) возрастающих на $ [0_{},1] $ и таких, что $ \varphi(0)=0,\varphi(1)=1 $. В качестве операции $ \ast $ возьмем суперпозицию функций, т.е. подстановку одной функции в другую[[На языке мат.анализа это называется //сложной// функцией.]]: $$ \varphi (x)\ast \psi (x) = \varphi\left( \psi (x) \right) \ .$$ Множество с введенной операцией образует группу: ассоциативность имеется; $ {\mathfrak e}=x $; $ \varphi^{-1} (x) $ --- ((:algebra2/dets/jacobian#zamena_peremennyx_i_obratnoe_otobrazhenie функция обратная)) к $ \varphi (x) $ (существует и принадлежит рассматриваемому множеству на основании известных результатов из мат.анализа). Группа неабелева, т.к., например, для $$ \varphi=x^2, \ \psi=\sin \frac{ \pi x}{ 2} \quad \mbox{ имеем } \ \varphi \ast \psi = \left(\sin \frac{ \pi x}{ 2} \right)^2,\ \mbox{ в то время как }\ \psi \ast \varphi = \sin \frac{ \pi x^2}{ 2} \ . $$ ---- Полугруппа (группа) называется **конечной** если она состоит из конечного числа элементов; это число называется тогда **порядком полугруппы** (**группы**) и обозначается[[cardinalis (//лат.//) --- 1) количественный; 2) главный, основной; 3) кардинал.]] $ \operatorname{Card} (\mathbb G) $ или $ | \mathbb G | $ или $ \# \mathbb G $. ==== Отображения плоских фигур== Рассмотрим множество, элементами которого являются отображения плоскости: именно, вращения плоских фигур вокруг начала координат на углы, кратные некоторому фиксированному $ \varphi >0 $. Эти отображения можно задать в матричной форме: если $ (x,y_{}) $ --- координаты точки до поворота, а $ (X_{},Y) $ --- ее координаты после поворота на угол $ k\, \varphi\ (k\in \mathbb Z) $, то связь между ними дается формулой $$ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) = P_k\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \quad npu \quad P_k= \left( \begin{array}{rr} \cos k \varphi & -\sin k \varphi \\ \sin k \varphi & \cos k \varphi \end{array} \right) \ . $$ Бинарной операцией над элементами этого множества возьмем комбинацию --- последовательное выполнение --- поворотов. Легко видеть, что эта операция коммутативна: результат поворота на угол $ k\varphi $, а затем --- на угол $ \ell\varphi $ будет таким же и при изменении последовательности поворотов и совпадать с поворотом на угол $ (k+\ell) \varphi $. Аналитика подтверждает геометрию: $$P_kP_{\ell}=P_{\ell} P_k =P_{k+\ell} \ . $$ Далее, за единичный элемент относительно комбинации поворотов возьмем поворот, при котором все точки остаются на месте: $ P_0=E $. Наконец, поворотом, обратным повороту на угол $ k\varphi $, будет поворот на угол $ (-k\varphi) $: $ P_{k}^{-1}=P_{-k} $. Таким образом, все свойства группы выполнены, и наше множество является группой, причем абелевой. Будет ли эта группа конечной? Ответ на этот вопрос зависит от угла $ \varphi $. Так, если $ \varphi=2\, \pi / m,\ m\in\mathbb Z $, то $ P_m=E=P_0,P_{m+1}=P_1, \dots,P_{m+k}=P_k $; при этом матрицы $ P_0,P_1,\dots,P_{m-1} $ все различны. Следовательно, $ \operatorname{Card} (\mathbb G)=m $. Если $ \varphi=2\, \pi p / q $ и дробь $ p/q $ несократима, то $ \operatorname{Card} (\mathbb G)=q $. Наконец, при $ \varphi=2\, \pi \alpha $ и $ \alpha_{} $ --- иррациональном, имеем: $ P_k\ne P_{\ell} $ ни при каких целых индексах $ k, \ell, k\ne \ell $. В этом случае группа бесконечна. Определим теперь на той же самой плоскости еще одно отображение: зеркальное отражение. Плоская фигура отображается в зеркально симметричную ей относительно абсолютно плоского зеркала, проходящего через ось абсцисс и перпендикулярного плоскости: {{ mirrow.gif |}} Это отображение также можно задать в матричной форме: $$ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) = T\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \quad npu \ T = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \ . $$ Очевидно, что два последовательных отражения возвращают фигуру в исходное состояние; действительно: $$ T^2=E \ . $$ Таким образом, множество из двух отображений --- тождественного и зеркального --- образует группу второго порядка, причем абелеву. Попробуем теперь составить объединение множеств рассмотренных выше отображений, одновременно допустив к рассмотрению и повороты и отражения, и их всевозможные комбинации. Для простоты, рассмотрим повороты на угол $ \varphi=2\pi/3 $. Комбинируя теперь все возможные последовательные отображения, приходим ко множеству: * **тождественное**, * **поворот на угол** $ 2\pi/3 $, * **поворот на угол** $ 4\pi/3 $, * **отражение**, * **поворот на угол** $ 2\pi/3 $ **и отражение**, * **отражение и поворот на угол** $ 2\pi/3 $, * **поворот на угол** $ 4\pi/3 $ **и отражение**, * **отражение и поворот на угол** $ 4\pi/3 $, * ... {{ plaintrans1.jpg |}} Видим, что имеется всего $ 6_{} $ различных отображений; кроме того, $ \mathfrak{tr}\ne \mathfrak{rt} $. Итак, получившаяся группа порядка $ 6_{} $ является неабелевой. !!?!! $ \mathfrak{tr}^2=\mathfrak{rt} $ ? $ \mathfrak{r}^2 \mathfrak{t}=\mathfrak{tr} $ ? ====Перестановки== ===Образующие элементы группы== Пусть $ \mathfrak a $ и $ \mathfrak b $ --- элементы группы $ \mathbb G $. Тогда, по определению группы, $ {\mathfrak a}^{-1} $ и $ {\mathfrak b}^{-1} $ также должны быть элементами $ \mathbb G $ наряду с $ {\mathfrak a}{\mathfrak b}^{-1}{\mathfrak a} $, $ {\mathfrak a}{\mathfrak b}{\mathfrak a}^{-1}{\mathfrak b} $ и т.д. Любое произведение, которое можно записать, используя в качестве сомножителей $ \mathfrak a, \mathfrak b, {\mathfrak a}^{-1}, {\mathfrak b}^{-1} $ в любом порядке и в любом конечном числе, является элементом $ \mathbb G $. Если все элементы группы можно записать в виде произведений, включающих лишь $ \mathfrak a $ и $ \mathfrak b $ (и их обратные), то мы назовем $ \mathfrak a $ и $ \mathfrak b $ **образующими** (или **образующими элементами**) группы $ \mathbb G $. Это понятие обобщается очевидным образом. Если все элементы группы $ \mathbb G $ могут быть выражены в виде произведений элементов из некоторого множества $ \mathbb S $ (и их обратных), то элементы множества $ \mathbb S $ называются **образующими группы** $ \mathbb G $, или говорят, что они **порождают группу** $ \mathbb G $. Вернемся к примерам предыдущих пунктов. Аддитивная группа целых чисел имеет единственную образующую, именно $ 1_{} $. Для группы корней $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $ образующим можно выбрать $ \varepsilon_1 $, поскольку $ \varepsilon_k=\varepsilon_1^k $ для любого $ k\in \{0,1,\dots,n-1 \} $. С тем же успехом можно было бы взять и некоторые другие корни --- но __не любые__! Так, для $ n=6 $, корни $ \varepsilon_2,\, \varepsilon_3 $ или $ \varepsilon_4 $ образующими группы не будут: $$ \varepsilon_2^2=\varepsilon_4,\ \varepsilon_2^3=1=\varepsilon_0, \dots $$ Образующим можно взять любой ((:complex_num#корни_из_единицы первообразный)) корень $ \varepsilon_k $, т.е. тот, для которого $ \operatorname{HOD}(k,n)=1 $. Группа ((#отображения_плоских_фигур отображений плоской фигуры)) --- если допускаются к рассмотрению и повороты и отражения --- имеет две образующие: поворот на угол $ \varphi $ и отражение. Простейший случай --- это группа с одной образующей. Группа $ \mathbb G $ называется **циклической** если она порождается единственным своим элементом. Если этот элементом является $ \mathfrak a $, то циклическую группу обозначают $ \langle {\mathfrak a} \rangle $: $$ \langle {\mathfrak a} \rangle = \{{\mathfrak a}^k \}_{k\in\mathbb Z} \ . $$ !!?!! Доказать, что циклическая группа всегда абелева. Вычисляя положительные степени элемента $ \mathfrak a $ мы можем никогда не встретить повторений: все элементы бесконечной последовательности $$ \mathfrak a,\, \mathfrak a^2,\dots , {\mathfrak a}^k,\dots $$ будут различными. В этом случае говорят, что элемент $ \mathfrak a $ имеет **бесконечный порядок**. Если же $ {\mathfrak a}^k={\mathfrak a}^{\ell} $ при некоторой паре показателей $ k_{} $ и $ \ell_{} $, $ k < \ell $, то, домножая обе части равенства на $ {\mathfrak a}^{-k} $, получаем: $ {\mathfrak a}^{\ell-k}=\mathfrak e $. Наименьшее целое число $ n_{} $, для которого $ {\mathfrak a}^n=\mathfrak e $ называется **порядком элемента** $ \mathfrak a $. !!?!! Рассматривается ((#классы_вычетов мультипликативная группа классов вычетов)) по модулю $ 17_{} $. Найти порядок классов $ \overline 2, \overline 4, \overline 7 $. ===Подгруппа== Подмножество $ \mathbb H $ группы $ \mathbb G $ называется ее **подгруппой**, если оно само является группой (относительно бинарной операции $ \ast $). Иначе говоря, $ \mathfrak e \in \mathbb H $, и при произвольных элементах $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ из $ \mathbb H $ должны выполняться условия $ {\mathfrak a}\ast {\mathfrak b} \in \mathbb H $, $ {\mathfrak b}\ast {\mathfrak a} \in \mathbb H $, $ {\mathfrak a}^{-1} \in \mathbb H $, $ {\mathfrak b}^{-1} \in \mathbb H $. Любая группа $ \mathbb G $ имеет очевидные подгруппы: саму себя и подгруппу, состоящую из единственного элемента $ \mathfrak e $. Эти две подгруппы называются **несобственными**. Нас интересует случай существования **собственных** подгрупп. Такие подгруппы очевидно имеет аддитивная группа целых чисел: например, множество четных чисел является замкнутым относительно операции сложения. Любой отличный от $ \mathfrak e $ элемент $ \mathfrak a $ группы $ \mathbb G $ образует в ней ((#образующие_элементы_группы циклическую)) подгруппу $ \langle {\mathfrak a} \rangle = \{{\mathfrak a}^k \}_{k\in\mathbb Z} $. Эта подгруппа может оказаться как собственной, так и несобственной. !!П!! **Пример.** Группа ((#корни_из_единицы корней n-й степени из единицы)) при $ n_{}=6 $ имеет собственные подгруппы: $$ \mathbb H_1 =\{1,\, \varepsilon_2,\, \varepsilon_4\} \quad u \quad \mathbb H_2=\{1,\, \varepsilon_3 \} \ , $$ а при $ n_{}=7 $ их не имеет. В самом деле, если предположить, что подгруппа $ \mathbb H $ содержит элемент $ \varepsilon_{k} $ при $ k\in \{1,\dots,6\} $, то, по свойству замкнутости относительно умножения, она должна содержать и любую степень этого элемента: $ \varepsilon_k^0=1, \varepsilon_k^1,\,\varepsilon_k^2=\varepsilon_{2k \pmod{7}},\, \varepsilon_k^3=\varepsilon_{3k \pmod{7}},\dots $ Легко установить, что первые $ 7_{} $ элементов этой последовательности будут различными. Но тогда они обязаны пробегать все множество корней седьмой степени из $ 1_{} $. ♦ !!П!! **Пример.** В группе ((#отображения_плоских_фигур отображений плоских фигур)) можно выделить две подгруппы: подгруппу поворотов на целое кратное угла $ 2\pi/3 $, т.е. в обозначениях того пункта: $ \{ \mathfrak{i}, \mathfrak{r}, \mathfrak{r}^2 \} $; и подгруппу отражений $ \{ \mathfrak{i}, \mathfrak{t} \} $. !!?!! Показать, что множество $ \mathbf{SL}(n, \mathbb R) $ матриц порядка $ n_{} $ с определителями, равными $ 1_{} $ образует подгруппу $ \mathbf{GL}(n,\mathbb R) $ (называется **специальной линейной группой степени n над** $ \mathbb R_{} $). Будет ли $ \mathbf{SL}(n, \mathbb R) $ абелевой? !!?!! Образует ли множество матриц вида $$ \left(\begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right) \quad npu \ a^2\ne b^2 $$ подгруппу группы $ \mathbf{GL}(n,\mathbb R) $? Будет ли эта подгруппа абелевой? Разумеется, подгруппа может порождаться и не одним образующим. !!?!! Доказать, что если $ \mathbb H_1 $ и $ \mathbb H_2 $ --- подгруппы группы $ \mathbb G $, то и $ \mathbb H_1 \bigcap \mathbb H_2 $ --- подгруппа группы $ \mathbb G $. Предположим теперь, что группа $ \mathbb G $ --- конечная, тогда и любая ее подгруппа тоже должна быть конечной. Каким может тогда быть порядок подгруппы? !!Т!! **Теорема** [**Лагранж**]. //Порядок конечной группы кратен порядку любой из ее подгрупп:// $ \operatorname{Card} (\mathbb G) $ //делится на// $ \operatorname{Card} (\mathbb H) $. **Доказательство** ☞ ((:gruppe:vspom2 ЗДЕСЬ)). !!=>!! Если $ \operatorname{Card} (\mathbb G) $ --- ((:numtheory#простые_числа простое число)), то группа $ \mathbb G $ не имеет собственных подгрупп и является циклической. !!=>!! Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы. !!П!! **Пример.** Множество ненулевых ((#классы_вычетов классов вычетов)) $$ \mathbb Z_p \setminus \overline 0=\{ \overline 1, \dots , \overline{p-1} \} $$ по простому модулю $ p_{} $ образует группу относительно умножения. В разделе ☞ ((:modular:index#первообразный_корень ИНДЕКС)) дается определение порядка (показателя) $ \operatorname{ord}(A) $ числа $ A_{} $ по модулю $ p_{} $ как наименьшее $ k\in \mathbb N $ такое, что $ A^k \equiv 1 \pmod{p} $. Доказывается, что $ \operatorname{ord}(A) $ является делителем числа $ p-1 $. Очевидно, что этот результат является частным случаем предыдущего следствия. Его можно обобщить и на случай составного модуля $ M_{} $. В этом случае множество $$ \mathbb Z_M \setminus \overline 0=\{ \overline 1, \dots , \overline{M-1} \} $$ не образует группы относительно умножения. Но вот подмножество классов, взаимно простых с модулем $ M_{} $, группу образует. По определению ((:numtheory#функция_эйлера функции Эйлера)), порядок этой группы равен $ \phi(M) $. Тогда, в соответствии со следствием, $ \phi(M) $ должно делится на $ \operatorname{ord}(A) $ для любого $ A_{} $ такого, что $ \operatorname{HOD}(A,M)=1 $. И это заключение совпадает с теоремой 3, приведенной в разделе ☞ ((:modular:index#первообразный_корень ИНДЕКС)). ♦ !!?!! Образует ли группу относительно умножения множество матриц $$ \left\{ \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{array} \right)^k \right\}_{k\in \mathbb Z} \ ? $$ Если да, то будет ли эта группа абелевой? Конечной? Существует ли у этой группы собственная подгруппа? ===Факторгруппа== определяется ☞ ((:gruppe:vspom2 ЗДЕСЬ)). ===Таблица умножения== Какая информация необходима для полного задания группы как математического объекта? Ответ на этот вопрос был дан ((:biogr#кэли Кэли)) в 1854 г., когда он ввел таблицу умножения группы. Она похожа на привычную арифметическую таблицу умножения. Элементы группы размещаются в верней строке и в том же порядке в левом столбце таблицы --- дадим этой строке и этому столбцу номер $ 0_{} $, а внутри нее размещаются произведения элементов. При этом нельзя считать заранее заданным, что любые два элемента группы коммутируют между собой. Поэтому сомножители в каждом произведении пишутся в том порядке, в каком выполняется умножение: первым ставится сомножитель из нулевого столбца, а вторым --- из нулевой строки. Для абелевой группы таблица умножения будет симметричной относительно главной диагонали, т.е. диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол таблицы. !!П!! **Пример.** Для группы ((#отображения_плоских_фигур отображений плоских фигур)) в обозначениях того пункта и с учетом тривиальных упрощений $ \mathfrak{r}^3 = \mathfrak{i} $, $ \mathfrak{t}^2 = \mathfrak{i} $: | ^ $ \mathfrak{i}_{} $ ^ $ \mathfrak{r}_{} $ ^ $ \mathfrak{r}^2 $ ^ $ \mathfrak{t} $ ^ $ \mathfrak{tr} $ ^ $ \mathfrak{rt} $ ^ ^ $ \mathfrak{i}_{} $ | $ \mathfrak{i}_{} $ | $ \mathfrak{r}_{} $ | $ \mathfrak{r}^{2} $ | $ \mathfrak{t}_{} $ | $ \mathfrak{tr} $ | $ \mathfrak{rt} $ | ^ $ \mathfrak{r}_{} $ | $ \mathfrak{r}_{} $ | $ \mathfrak{r}^2 $ | $ \mathfrak{i}_{} $ | $ \mathfrak{rt} $ | $ \mathfrak{rtr} $ | $ \mathfrak{r^2t} $ | ^ $ \mathfrak{r}^2 $ | $ \mathfrak{r}^2 $ | $ \mathfrak{i}_{} $ | $ \mathfrak{r}_{} $ | $ \mathfrak{r}^2 \mathfrak{t} $ | $ \mathfrak{r}^2 \mathfrak{tr} $ | $ \mathfrak{t}_{} $ | ^ $ \mathfrak{t} $ | $ \mathfrak{t}_{} $ | $ \mathfrak{tr} $ | $ \mathfrak{tr}^2 $ | $ \mathfrak{i}_{} $ | $ \mathfrak{r}_{} $ | $ \mathfrak{trt} $ | ^ $ \mathfrak{tr} $ | $ \mathfrak{tr} $ | $ \mathfrak{tr}^2 $ | $ \mathfrak{t} $ | $ \mathfrak{trt} $ | $ \mathfrak{trtr} $ | $ \mathfrak{tr}^2 \mathfrak{t} $ | ^ $ \mathfrak{rt} $ | $ \mathfrak{rt} $ | $ \mathfrak{rtr} $ | $ \mathfrak{rtr}^2 $ | $ \mathfrak{r}_{} $ | $ \mathfrak{r}^2 $ | $ \mathfrak{rtrt} $ | Дальнейшие упрощения связаны с результатом упражнения в конце ☞ ((#отображения_плоских_фигур ПУНКТА)): $ \mathfrak{tr}^2=\mathfrak{rt},\ \mathfrak{r}^2 \mathfrak{t}=\mathfrak{tr} $. Из них выводим цепочки: $$ \mathfrak{rtr}=\mathfrak{tr}^2 \mathfrak{r}=\mathfrak{t} ; \quad \mathfrak{trt} = \mathfrak{t} \mathfrak{tr}^2 =\mathfrak{t}^2 \mathfrak{r}^2=\mathfrak{r}^2 ; $$ $$ \mathfrak{trtr}=\mathfrak{t}^2=\mathfrak{i} ; \quad \mathfrak{tr}^2 \mathfrak{t} = \mathfrak{rt}^2=\mathfrak{r}; \quad \mathfrak{rtr}^2=\mathfrak{r}^2\mathfrak{t}=\mathfrak{tr} ;\quad \mathfrak{r}^2\mathfrak{tr}=\mathfrak{tr}^2 = \mathfrak{rt}; \quad \mathfrak{rtrt}=\mathfrak{t}^2=\mathfrak{i} \ . $$ | ^ $ \mathfrak{i}_{} $ ^ $ \mathfrak{r}_{} $ ^ $ \mathfrak{r}^2 $ ^ $ \mathfrak{t} $ ^ $ \mathfrak{tr} $ ^ $ \mathfrak{rt} $ ^ ^ $ \mathfrak{i}_{} $ | $ \mathfrak{i}_{} $ | $ \mathfrak{r}_{} $ | $ \mathfrak{r}^{2} $ | $ \mathfrak{t}_{} $ | $ \mathfrak{tr} $ | $ \mathfrak{rt} $ | ^ $ \mathfrak{r}_{} $ | $ \mathfrak{r}_{} $ | $ \mathfrak{r}^2 $ | $ \mathfrak{i}_{} $ | $ \mathfrak{rt} $ | $ \mathfrak{t} $ | $ \mathfrak{tr} $ | ^ $ \mathfrak{r}^2 $ | $ \mathfrak{r}^2 $ | $ \mathfrak{i}_{} $ | $ \mathfrak{r}_{} $ | $ \mathfrak{tr} $ | $ \mathfrak{rt} $ | $ \mathfrak{t}_{} $ | ^ $ \mathfrak{t} $ | $ \mathfrak{t}_{} $ | $ \mathfrak{tr} $ | $ \mathfrak{rt} $ | $ \mathfrak{i}_{} $ | $ \mathfrak{r}_{} $ | $ \mathfrak{r}^2 $ | ^ $ \mathfrak{tr} $ | $ \mathfrak{tr} $ | $ \mathfrak{rt} $ | $ \mathfrak{t} $ | $ \mathfrak{r}^2 $ | $ \mathfrak{i}_{} $ | $ \mathfrak{r}_{} $ | ^ $ \mathfrak{rt} $ | $ \mathfrak{rt} $ | $ \mathfrak{t} $ | $ \mathfrak{tr} $ | $ \mathfrak{r}_{} $ | $ \mathfrak{r}^2 $ | $ \mathfrak{i}_{} $ | ♦ Перечислим теперь некоторые свойства таблицы умножения. Поиск в таблице обратного элемента к элементу $ \mathfrak a $ иллюстрируется приведенной схемой: {{ table1.jpg |}} Остальные свойства будем нумеровать 1. Для группы порядка $ n_{} $ внутри таблицы (т.е. в ее строках и столбцах с номерами $ 1,2,\dots,n $) содержатся все $ n_{} $ элементов группы. 2. Каждая строка таблицы образована какой-то перестановкой элементов нулевой строки (и аналогичное утверждение справедливо относительно столбцов). !!Т!! **Теорема.** //Пусть// $ \operatorname{Card} (\mathbb G)=n $ //и// $ \{\mathfrak a_1,\dots,\mathfrak a_n\} $ --- //различные элементы группы// $ \mathbb G $. //Тогда для любого// $ \mathfrak b \in \mathbb G $ //множества// $$ \mathfrak b \cdot \mathbb G =\{ \mathfrak b \mathfrak a_j \}_{j=1}^n \quad \mbox{ и } \quad \mathbb G \cdot \mathfrak b =\{ \mathfrak a_j \mathfrak b \}_{j=1}^n $$ //совпадают с группой// $ \mathbb G $. **Доказательство**. Рассмотрим первое из множеств --- $ \mathfrak b \cdot \mathbb G $. Его элементы являются элементами группы $ \mathbb G $ и все различны, поскольку, если бы было выполнено $ \mathfrak b \mathfrak a_j=\mathfrak b \mathfrak a_k $, то, домножив это равенство слева на $ \mathfrak b^{-1} $, получили бы $ \mathfrak a_j= \mathfrak a_k $. Таким образом, элементы рассматриваемого множества представляют собой перестановку элементов множества $ \{ \mathfrak a_j \}_{j=1}^n $ (здесь можно сослаться на принцип Дирихле или "принцип ящиков", использовавшийся при доказательстве ((:modular#теорема_ферма теоремы Ферма)) ). Для второго множества из теоремы доказательство аналогично. ♦ 3. Если рассмотреть строку таблицы, соответствующую выбору в нулевом столбце единичного элемента $ \mathfrak e $, то эта строка будет тождественна нулевой строке (аналогичное утверждение справедливо относительно и для соответствующего столбца): {{ table5.jpg |}} 4. Аксиома об обратном элементе переформулируется следующим образом: если в таблице сложилась конфигурация {{ table4.jpg |}} то на месте ? должен находиться единичный элемент $ \mathfrak e $: если $ \mathfrak a \mathfrak b =\mathfrak e $, то и $ \mathfrak b \mathfrak a =\mathfrak e $. Иными словами: расположение единичного элемента группы в таблице умножения должно быть симметрично относительно главной диагонали. 5. Рассмотрим следующую конфигурацию, сложившуюся в таблице умножения: {{ table2.jpg |}} Она действительно встретится, поскольку в каждой строке и в каждом столбце таблицы должен содержаться единичный элемент. Чему равен элемент, стоящий на месте ? !!Т!! **Теорема.** //Искомый элемент равен// $ \mathfrak b \mathfrak a $. **Доказательство**. Пусть конфигурация соответствует следующему расположению элементов группы в нулевых строке и столбце: {{ table3.jpg |}} Тогда, на основании равенств $$ vy= yv=\mathfrak e, \ uy= \mathfrak b,\ vx=\mathfrak a $$ и свойств группы получаем цепочку: $$ ux=u \mathfrak e x = u (yv) x = (uy)(vx)= \mathfrak b \mathfrak a \ . $$ ♦ ===Изоморфизм групп== В предыдущих пунктах можно было заметить, что группы, образованные элементами различной природы часто имели сходные свойства: такими, например были аддитивная группа ((#классы_вычетов классов вычетов)) по модулю $ n_{} $, т.е. $ \mathbb Z_n $ , и мультипликативная ((#корни_из_единицы группа комплексных корней n-й степени из)) $ 1_{} $. Формализовать подобное сходство можно с помощью установления соответствия между элементами этих групп: чтобы описание свойств одной группы свободно переводилось в описание свойств другой. Рассмотрим две группы: $ \mathbb G $ с операцией $ \ast $ и $ \tilde{\mathbb G} $ с операцией $ \tilde{\ast} $. Отображение $ F: \mathbb G \mapsto \tilde{\mathbb G} $, отображающее каждый элемент группы $ \mathbb G $ на элемент группы $ \tilde{\mathbb G} $, называется **гомоморфизмом**, если $$ F(\mathfrak a \ast \mathfrak b) =F(\mathfrak a) \tilde \ast F(\mathfrak b) \quad npu \quad \forall \mathfrak a \in \mathbb G,\, \forall \mathfrak b \in \mathbb G \ . $$ Если, вдобавок, гомоморфизм задает взаимно-однозначное соответствие между $ \mathbb G $ и $ \tilde{\mathbb G} $, то он называется **изоморфизмом**. В случае существования изоморфизма между группами, сами группы называются **изоморфными** или **абстрактно равными**. Легко показать, что отношение изоморфизма групп является отношением эквивалентности. !!П!! **Пример.** Группа поворотов плоскости вокруг начала координат на углы, кратные $ 2\, \pi/n $ при $ n \in \mathbb Z $ изоморфна ((#корни_из_единицы группе корней степени n из единицы)): $$\left\{\varepsilon_k=\cos \frac{2 \pi k}{n} +\mathbf i\, \sin \frac{2 \pi k}{ n} \right\}_{k=0}^{n-1} $$ рассматриваемой относительно операции умножения. Изоморфизм устанавливается очевидным способом. Его следствием становится возможность аналитического выражения преобразования координат. Если интерпретировать плоскость $ (x,y) $ как комплексную, и ввести переменную $ z=x+ \mathbf i y $, то поворот на угол $ 2\, \pi/n $ вокруг начала координат задается правилом: $$ z \mapsto z\varepsilon_1 \ , $$ а поворот на угол $ 2\, \pi k/n $ --- $$ z \mapsto z\varepsilon_k= z\varepsilon_1^k \ . $$ Возвращение к вещественным числам показывает эквивалентность найденных представлений, приведенным ((#отображения_плоских_фигур ВЫШЕ)), для вывода которых использовался аппарат теории матриц. Это замечание, в свою очередь, позволяет говорить об изоморфизме группы $ \left\{\varepsilon_k \right\}_{k=0}^{n-1} $ группе матриц вида $$ P_k= \left( \begin{array}{rr} \cos 2\, \pi k/n & -\sin 2\, \pi k/n \\ \sin 2\, \pi k/n & \cos 2\, \pi k/n \end{array} \right) \quad npu \quad k\in \{0,\dots,n-1\} , $$ рассматриваемой относительно операции ((:algebra2#умножение_матриц умножения матриц)). Последнее замечание можно переформулировать на строгом алгебраическом языке как "//проявление свойства транзитивности для изоморфизма как отношения эквивалентности//"... Но если читателю непонятны эти слова --- пусть не расстраивается! !!П!! **Пример.** Рассмотрим аддитивную группу вещественных чисел и мультипликативную группу положительных вещественных чисел. Эти группы изоморфны, поскольку функция $ \log x $ (здесь логарифм рассматривается по любому основанию большему $ 1_{} $) взаимно-однозначно отображает множество $ \mathbb R_{+} $ на $ \mathbb R_{} $, и, вдобавок, $ \log (xy)=\log x + \log y $. Этот изоморфизм лежит в основе работы логарифмической линейки: операция умножения чисел заменяется более простой --- в смысле технической реализации --- операцией сложения. {{ dscf8279.jpg |}} !!?!! Может ли группа быть изоморфна собственной подгруппе? !!?!! Доказать, что любые две циклические группы одинакового порядка (конечного или бесконечного) изоморфны. Можно доказать, что существует лишь конечное число абстрактно различных групп порядка $ n_{} $. В самом деле, с точностью до обозначения элементов для множества, состоящего из $ n_{} $ различных символов, существует лишь конечное число ((#таблица_умножения таблиц умножения)), имеющих $ n^2 $ клеток. Эти таблицы не могут быть выбраны произвольным образом; оказывается для того, чтобы таблица определяла объект, удовлетворяющий аксиомам группы, необходимо и достаточно, чтобы для нее выполнялись свойства 1 - 5 из предыдущего ((#таблица_умножения ПУНКТА)). Так, например, при $ n=6 $ существуют всего //две// абстрактно различные группы: циклическая, изоморфная группе корней $ 6_{} $-й степени из единицы, и неабелева группа, изоморфная ((#отображения_плоских_фигур группе отображений плоских фигур)). Известно, что существует $ 267_{} $ абстрактно различных групп порядка $ 64_{} $. ===Кольцо== В предыдущих пунктах мы анализировали множества с точки зрения одной определенной бинарной операции. Однако, часть рассмотренных примеров составляли множества, в которых были определены и другие операции. Пусть $ \mathbb K $ --- некоторое множество с двумя определенными в нем операциями $ \oplus $ и $ \ast $. Это множество называется **кольцом**[[Произвольное кольцо принято обозначать буквой $ R_{} $ --- от немецкого Ring, однако в случае настоящего ресурса получится коллизия с полем вещественных чисел $ \mathbb R_{} $.]] относительно указанных операций если выполнено 1. $ \oplus $ --- коммутативна: $ {\mathfrak a} \oplus {\mathfrak b}={\mathfrak b} \oplus {\mathfrak a} $; 2. $ \oplus $ --- ассоциативна: $ ({\mathfrak a} \oplus {\mathfrak b}) \oplus {\mathfrak c} = {\mathfrak a} \oplus ({\mathfrak b} \oplus {\mathfrak c}) $; 3. $ \oplus $ --- обратима, т.е. для любых двух элементов $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ из $ \mathbb K $ существует решение уравнения $ {\mathfrak a} \oplus x = {\mathfrak b} $; 4. операции подчиняются дистрибутивному (распределительному) закону: $${\mathfrak a} \ast ({\mathfrak b} \oplus {\mathfrak c})={\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} \oplus {\mathfrak a} \ast {\mathfrak c} \quad u \quad ({\mathfrak b} \oplus {\mathfrak c}) \ast {\mathfrak a}= {\mathfrak b}\ast {\mathfrak a} \oplus {\mathfrak c}\ast {\mathfrak a} \ .$$ Первые три условия определяют кольцо $ \mathbb K $ как ((gruppe#полная_линейная_группа абелеву группу)) относительно операции $ \oplus $. Традиционно принято называть операцию $ \oplus $ **суммой**, а $ \ast $ --- **произведением**; нейтральный элемент относительно суммы называют **нулем**: $ {\mathfrak o} \oplus {\mathfrak a}={\mathfrak a} $. На произведение не накладывается практически никаких ограничений. Однако в приложениях, как правило, возникают кольца, в которых умножение может удовлетворять одному или нескольким из следующих условий (справедливых для любых элементов $ {\mathfrak a}, {\mathfrak b}, {\mathfrak c} $) 5. $ ({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}) \ast {\mathfrak c} = {\mathfrak a} \ast ({\mathfrak b} \ast {\mathfrak c}) $ (ассоциативное кольцо); 6. $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}={\mathfrak b} \ast {\mathfrak a} $ (коммутативное кольцо). Элемент $ {\mathfrak a} \ne {\mathfrak o} $ коммутативного кольца называется **делителем нуля**, если $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak o} $ при некотором $ {\mathfrak b} \ne {\mathfrak o} $ (элемент $ {\mathfrak b} $ также называется делителем нуля). !!П!! **Пример.** Множество $ \mathbb Z_6 $ классов вычетов по модулю $ 6_{} $ образует коммутативное кольцо с делителями нуля: $ \overline 2 \cdot \overline 3 = \overline 0 $. 7. Существование **единицы**, т.е. элемента $ \mathfrak e $ такого, что $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak e}={\mathfrak e} \ast {\mathfrak a}={\mathfrak a} $ (кольцо с единицей); 8. существование обратного элемента относительно умножения для любого элемента $ {\mathfrak a} \ne {\mathfrak o} $: $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak a}^{-1}={\mathfrak e} $. !!П!! **Пример.** $ \mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R $ и $ \mathbb C_{} $ --- коммутативные и ассоциативные кольца относительно сложения и умножения. $ \mathbb N_{} $ не является кольцом, т.к. не существует натурального решения уравнения $ 3+x=2 $. !!П!! **Пример.** Множества полиномов ((:polynomial одной переменной)) $$ \mathbb Z[x],\mathbb Q[x],\mathbb R[x], \mathbb C[x] $$ и ((:polynomialm нескольких переменных)) $$ \mathbb Z[x_1,\dots,x_n] , \mathbb Q[x_1,\dots,x_n] , \mathbb R[x_1,\dots,x_n] , \mathbb C[x_1,\dots,x_n] $$ --- коммутативные и ассоциативные кольца относительно сложения и умножения. !!П!! **Пример.** Множество квадратных матриц фиксированного порядка с элементами из $ \mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R $ или $ \mathbb C_{} $ --- некоммутативное и ассоциативное кольцо относительно сложения и умножения. !!П!! **Пример.** $ \mathbb Z_{} $ --- кольцо с единицей, а его подмножество четных чисел --- кольцо без единицы. Для колец обобщается понятие ((#изоморфизм_групп изоморфизма)), введенного для групп. Кольцо $ \mathbb K $ с операцией сложения $ \oplus $ и умножения $ \ast $ называется изоморфным кольцу $ \widetilde {\mathbb K} $ с операцией сложения $ \tilde \oplus $ и умножения $ \tilde \ast $ если между элементами множеств $ \mathbb K $ и $ \widetilde{\mathbb K} $ можно установить такое взаимно-однозначное соответствие: $ F: \mathbb K \mapsto \widetilde{ \mathbb K} $, которое сохраняет результаты операций между образами и их прообразами: $$ F({\mathfrak a} \oplus {\mathfrak b})= F({\mathfrak a}) \tilde \oplus F({\mathfrak b}) \quad \mbox{ и } \quad F({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b})= F({\mathfrak a}) \tilde \ast F({\mathfrak b}) \ . $$ !!?!! Доказать, что кольцо $ \mathbb C_{} $ комплексных чисел изоморфно кольцу матриц вида $$ \left\{\left(\begin{array}{rr} a & b \\ -b & a \end{array} \right) \Bigg| \{a,b\} \subset \mathbb R \right\} . $$ ====Идеал== Подмножество $ \mathbb I $ кольца $ \mathbb K $ называется **двусторонним идеалом** или просто **идеалом** кольца $ \mathbb K $ если оно является подгруппой кольца $ \mathbb K $ относительно операции $ \oplus $ (сложения) и замкнуто относительно операции $ \ast $ умножения на элементы из $ \mathbb K $. Формально: 1. $ \mathbb I \subset \mathbb K $ и $ \mathbb I $ --- группа относительно $ \oplus $; 2. $ \mathfrak a \ast \mathfrak k \in \mathbb I $, $ \mathfrak k \ast \mathfrak a \in \mathbb I $ для $ \forall \mathfrak a \in \mathbb I $ и для $ \forall \mathfrak k \in \mathbb K $. Можно доказать, что для непустого множества $ \mathbb I $ условие 1 из определения идеала эквивалентно 1'. $ \mathfrak a \ominus \mathfrak b \in \mathbb I $ для $ \forall \{ \mathfrak a, \mathfrak b\} \subset \mathbb I $, где $ \ominus $ означает операцию, обратную операции $ \oplus $. !!П!! **Пример.** В кольце $ \mathbb Z_{} $ целых чисел подмножество четных чисел образует идеал, а вот подмножество нечетных чисел идеала не образует. Обобщаем: в том же кольце, множество $ \{Ak \mid k \in \mathbb Z \} $ чисел кратных любому заданному числу $ A_{} \in \mathbb Z $ также является идеалом. !!П!! **Пример.** В кольце $ \mathbb A[x] $ полиномов одной переменной, где $ \mathbb A_{} $ означает любое из полей $ \mathbb Z_{}, \mathbb Q, \mathbb R $ или $ \mathbb C_{} $, множество $ \{ a(x) k(x) \mid k(x) \in \mathbb A[x] \} $ полиномов кратных любому заданному полиному $ a(x) \in \mathbb A[x] $ образует идеал. ♦ Пусть $ \mathbb K $ --- коммутативное кольцо. Идеал $ \mathbb I $ этого кольца называется **главным идеалом**, если существует такой элемент $ \mathfrak a\in \mathbb K $, что $$ \mathbb I = \left\{ \mathfrak a \ast \mathfrak k \mid \ \mathfrak k \in \mathbb K \right\} \ .$$ В этом случае элемент $ \mathfrak a $ называется **порождающим** или **образующим элементом идеала** $ \mathbb I $, а идеал $ \mathbb I $ --- порожденным элементом $ \mathfrak a $. !!П!! **Пример.** Подмножество множества $ \mathbb A[x] $ полиномов одной переменной, обращающихся в нуль в данной точке $ x_0 \in \mathbb A $, образует главный идеал, порождающим элементом которого является $ x-x_0 $. Подмножество множества $ \mathbb A[x,y] $ полиномов двух переменных, обращающихся в нуль в данной точке $ (x_0,y_0) \in \mathbb A^2 $, образует идеал, но этот идеал не является главным: полиномы $ x-x_0 $ и $ y-y_0 $ принадлежат идеалу, но не существует $ a(x,y) \in \mathbb A[x,y] $ такого, что $$ a(x_0,y_0)=0 \quad \mbox{ и } \quad x-x_0 \equiv a(x,y)k_1(x,y),\quad y-y_0 \equiv a(x,y)k_2(x,y) $$ при $ \{k_1(x,y),k_2(x,y)\} \subset \mathbb A[x,y] $. ♦ Пусть $ \mathbb K $ --- коммутативное кольцо и $ \{\mathfrak a_1,\dots, \mathfrak a_m \} \subset \mathbb K $. Множество $$ \left\{ \mathfrak k_1 \ast \mathfrak a_1 \oplus \dots \oplus \mathfrak k_m \ast \mathfrak a_m \ \mid \ \{\mathfrak k_1, \dots, \mathfrak k_m \} \subset \mathbb K \right\} $$ образует идеал кольца $ \mathbb K $. Говорят, что элементы $ \mathfrak a_1,\dots, \mathfrak a_m $ составляют **базис** этого **идеала** и этот факт записывают $$ \mathbb I = \left \langle \mathfrak a_1,\dots, \mathfrak a_m \right \rangle \ . $$ Говорят, что произвольный идеал $ \mathbb I $ **допускает конечный базис** если, если найдутся такие его элементы $ \mathfrak a_1,\dots, \mathfrak a_m $, что будет выполнено предыдущее равенство. В этом обозначении случилась коллизия с обозначением ((#образующие_элементы_группы циклической группы)); однако альтернативные варианты, принятые в литературе, приводят к другим коллизиям. В отличие от ((:linear_space#линейная_зависимость_базис_координаты линейных пространств)), на базисные элементы не накладывается ограничений типа линейной независимости. ===Поле== **Полем** называется коммутативное и ассоциативное кольцо[[field (//англ.//)]] $ \mathbb F $ с единицей, в котором выполняется условие 8 . Иначе говоря, в $ \mathbb F $ уравнение $ {\mathfrak a}\ast x = {\mathfrak b} $ разрешимо при любых $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ из $ \mathbb F $, $ {\mathfrak a}\ne {\mathfrak o} $. !!?!! Докажите, что в поле не может быть делителей нуля: из равенства $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak o} $ обязательно следует, что либо $ {\mathfrak a}= {\mathfrak o} $ либо $ {\mathfrak b}= {\mathfrak o} $. !!П!! **Пример.** $ \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C_{} $ --- поля, а $ \mathbb Z_{} $ --- не поле. Множество квадратных матриц фиксированного порядка не является полем, т.к. не при всех $ A_{} $ и $ B_{} $ уравнение $ AX=B_{} $ разрешимо относительно матрицы $ X_{} $. Наименьшее число элементов, образующих поле, равно двум, потому что поле должно содержать нейтральный элемент $ \mathfrak o $ относительно сложения и нейтральный элемент $ \mathfrak e $ относительно умножения. Эти два элемента должны удовлетворять правилам сложения и умножения, приведенным в таблицах $$ \begin{array}{c|cc} \oplus & \mathfrak o & \mathfrak e \\ \hline \mathfrak o & \mathfrak o & \mathfrak e \\ \mathfrak e & \mathfrak e & \mathfrak o \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{c|cc} \ast & \mathfrak o & \mathfrak e \\ \hline \mathfrak o & \mathfrak o & \mathfrak o \\ \mathfrak e & \mathfrak o & \mathfrak e \end{array} $$ !!П!! **Пример.** Множество классов вычетов $ \mathbb Z_{M} $, рассматриваемое относительно операций сложения и умножения, является полем при простом модуле $ M= p_{} $ и не является полем при составном модуле $ M_{} $. Для $ M=2 $ получаем, фактически, предыдущую таблицу: $$ \begin{array}{c|cc} \mathbb{+} & \overline 0 & \overline 1 \\ \hline \overline 0 & \overline 0 & \overline 1 \\ \overline 1 & \overline 1 & \overline 0 \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{c|cc} \mathbb{\times} & \overline 0 & \overline 1 \\ \hline \overline 0 & \overline 0 & \overline 0 \\ \overline 1 & \overline 0 & \overline 1 \end{array} $$ Для $ M=3 $ можно было бы взять полную систему вычетов по этому модулю в виде $ \{ \overline 0, \overline 1, \overline 2\} $. Но более изящно выглядит таблица если взять эту систему в виде $ \{ \overline 0, \overline 1, \overline {-1}\} $: $$ \begin{array}{r|rrr} \mathbb{+} & \overline 0 & \overline 1 & \overline {-1} \\ \hline \overline 0^{} & \overline 0 & \overline 1 & {\overline {-1}}^{} \\ \overline 1 & {\overline 1}^{{}^{}} & \overline{-1}^{} & \overline {0} \\ \overline {-1} & {\overline {-1}}^{{}^{}} & \overline {0} & \overline {1} \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{r|rrr} \mathbb{\times} & \overline 0 & \overline 1 & \overline {-1} \\ \hline \overline 0 & {\overline 0}^{{}^{}} & \overline 0 & \overline {0} \\ \overline 1 & \overline 0 & \overline 1 & \overline {-1}^{{}^{}} \\ \overline {-1} & \overline {0} & \overline {-1}^{{}^{}} & \overline {1} \end{array} $$ Можно доказать, что для любого простого числа $ p_{} $ и натурального $ m_{} $ существует поле, содержащее $ p^{m} $ элементов. Более того, для любого конечного поля количество его элементов, т.е. $ \operatorname{Card} (\mathbb F) $, должно быть степенью простого числа. Поле классов вычетов $ \mathbb Z_{p} $ дает пример такого поля --- и соответствует показателю $ m_{}=1 $. Можно доказать, что любое другое поле того же порядка будет изоморфно $ \mathbb Z_{p} $. Как построить поле порядка $ p^{m} $ при $ m_{}>1 $ ? Классы вычетов уже не могут быть выбраны подходящими кандидатами --- $ \mathbb Z_4 $ не является полем. Для ответа на этот вопрос проделаем сначала "шаг в сторону" --- рассмотрим пример бесконечного поля. ====Поле из полиномов== Множества полиномов $ \mathbb Z[x], \mathbb Q[x], \mathbb R[x], \mathbb C[x] $ от одной переменной $ x_{} $, рассматриваемые относительно операция сложения и умножения, не образуют полей, поскольку не существует полинома $ s(x) $, удовлетворяющего тождеству $ f(x) s(x) \equiv 1 $ при $ \deg f(x)\ge 1 $. Попробуем всё-таки создать на основе множества $ \mathbb Q[x] $ новое, которое будет являться полем. Основная трудность --- ввести подходящую операцию умножения. Будем решать ее исходя из аналогии, существующей между полиномами и целыми числами --- попробуем сконструировать множество классов вычетов на основе $ \mathbb Q[x] $. С этой целью выберем (пока произвольный) полином $ M(x) \in \mathbb Q[x], \deg M\ge 1 $. Будем называть полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ сравнимыми по модулю $ M(x) $ если они имеют одинаковые остатки при делении на $ M(x) $, или, что то же, если их разность $ f(x)-g_{}(x) $ ((:polynomial#делимость_полиномов делится на)) $ M(x) $, или, что то же, $ f_{}(x) $ можно представить в виде: $$ f(x)\equiv g(x) + M(x)q(x) \quad npu \quad q(x) \in \mathbb Q[x] \ . $$ Записывать этот факт будем так же как и для целых чисел: $$ f(x) \equiv g(x) \pmod{M(x)} \ . $$ Сложение и умножение будем также производить по модулю $ M(x) $, т.е. по вычислении суммы или произведения результаты будем "усекать" до остатков от деления на $ M(x) $. Рассмотрим теперь подмножество $ \mathbb Q_{m-1}[x] $ полиномов, степени которых __строго меньше__ $ m=\deg M(x) $. Cумма полиномов $ f(x)+g(x) $ из этого множества будет снова полиномом этого множества, поэтому остаток от ее деления на $ M(x) $ совпадает с ней самой. Рассмотрим повнимательней операцию умножения по модулю: $$ f(x)\cdot g(x) \pmod{M(x)} \ . $$ Для нее выполняются аксиомы 4 --- 7 из предыдущего ((#кольцо пункта)). В самом деле, остаток от деления произведения $ f(x)\cdot g(x) \cdot h(x) $ на $ M(x) $ не зависит от порядка вычисления[[Здесь $ \equiv_{} $ означает тождественное равенство.]]: $$ \left[f(x)\cdot g(x) \pmod{M(x)}\right] \cdot h(x) \pmod{M(x)} \equiv f(x)\cdot \left[g(x) \cdot h(x) \pmod{M(x)}\right] \pmod{M(x)} \ . $$ Полином тождественно равный $ 1_{} $ --- именно тот, что обеспечивает выполнение аксиомы 7 . Сложности возникают с проверкой выполнимости аксиомы 8 . Для любого полинома $ f_{}(x) $, $ \deg f < m $ надо найти полином $ h_{}(x) $ с тем же ограничением на степень, для которого выполняется условие $$ f(x) h(x) \equiv 1 \pmod{M(x)} \ , $$ или, эквивалентно, должен найтись еще один полином $ q(x) \in \mathbb Q[x] $ такой, что пара полиномов $ \{h(x), q(x)\} $ обеспечит выполнение тождества $$ f(x) h(x) +q(x) M(x) \equiv 1 \ . $$ Последнее тождество имеет специальное название --- в теории полиномов одной переменной оно известно как ((:polynomial:relat_prime#тождество_безу тождество Безу)). Существование пары полиномов $ \{h(x), q(x)\} \subset \mathbb Q[x] $ гарантировано при условии ((:polynomial:relat_prime#взаимно-простые_полиномы взаимной простоты)) полиномов $ f_{}(x) $ и $ M(x) $: $ \operatorname{HOD} (f(x),M(x)) \equiv 1 $. Более того, при выполнении последнего условия существует единственный полином $ h(x) \in \mathbb Q[x] $ степени не выше $ m-1 $, удовлетворяющий этому тождеству. Конструктивные способы нахождения этого полинома можно найти ☞ ((:polynomial:relat_prime#тождество_безу ЗДЕСЬ)). Итак, при условии $ \operatorname{HOD} (f(x),M(x)) \equiv 1 $ будет существовать решение сравнения $ f(x) h(x) \equiv 1 \pmod{M(x)} $ относительно $ h(x)\in \mathbb Q_{m-1}[x] $. Однако, аксиома 8 требует существования решения сравнения для решительно всех полиномов $ f(x) \in \mathbb Q_{m-1}[x] $. И для выполнения этого требования полином $ M(x) $ должен быть взят взаимно простым с любым полиномом $ f(x) \in \mathbb Q[x] $ степени $ \le m-1 $. Как этого добиться? --- Противоположное свойство --- ((polynomial#делимость_полиномов нетривиальность)) $ \operatorname{HOD} (f(x),M(x))= d(x) $ --- имеет следствием возможность разложения $ M(x) $ на множители $$ M(x)\equiv d(x) M_1(x) \quad npu \quad \{ d(x),M_1(x)\} \subset \mathbb Q[x] , \deg d(x) < m, \deg M_1(x) < m \ . $$ Иными словами, в этом случае полином $ M(x) $ является ((:polynomial#приводимость приводимым)) над множеством (полем) $ \mathbb Q_{} $. **Вывод.** Операция умножения полиномов из $ \mathbb Q_{m-1}[x] $ по модулю $ M(x) $ будет удовлетворять аксиомам поля при условии, что $ M(x) $ --- ((:polynomial#приводимость неприводим)) над множеством (полем) $ \mathbb Q_{} $. !!П!! **Пример.** Пусть $ M(x)=x^3+3\,x+1 $. Этот полином неприводим над полем $ \mathbb Q_{} $. Для любого полинома $ f_{}(x)\in \mathbb Q[x] $ степени не выше второй должен существовать обратный относительно умножения по модулю $ M(x) $. Найдем его выражение для полинома $ f(x)=a_0x+a_1 ,\ a_0\ne 0 $. Для нахождения полиномов $ h(x) $ и $ q_{}(x) $ из ((:polynomial:relat_prime#тождество_безу тождества Безу)) $$ h(x)(a_0x+a_1)+q(x)M(x) \equiv 1 $$ можно было бы воспользоваться либо алгоритмом Евклида с вычислением континуанты, либо методом неопределенных коэффициентов (оба метода изложены ☞ ((:polynomial:relat_prime#тождество_безу ЗДЕСЬ)) ). Однако, поскольку коэффициенты $ a_0,a_1 $ --- не числовые, а буквенные (символьные), применение упомянутых алгоритмов приведет к громоздким выражениям. Поэтому --- из соображений не столько конструктивных, сколько наглядных --- мы воспользуемся представлениями искомых полиномов $ h(x) $ и $ q_{}(x) $ в виде определителей. Подходящий для этой цели аппарат связан с понятием **результанта** полиномов $ f_{}(x) $ и $ M(x) $ и изложен ☞ ((:dets:resultant:idea#результант_и_наибольший_общий_делитель_полиномов ЗДЕСЬ)). Собственно говоря, нас интересует только один полином --- именно $ h(x) $ --- и вот его выражение: $$ h(x)\equiv \frac{\left| \begin{array}{cccl} a_0 & a_1 & 0 & x^2 \\ 0 & a_0 & a_1 & x \\ 0 & 0 & a_0 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \end{array}\right|} {\left| \begin{array}{cccc} a_0 & a_1 & 0 & 0 \\ 0 & a_0 & a_1 & 0 \\ 0 & 0 & a_0 & a_1 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \end{array}\right|} \ . $$ В знаменателе дроби как раз и стоит ((:dets:resultant#результант_в_форме_сильвестра представление Сильвестра для результанта)) $ \mathcal R(f,M) $ полиномов $ f_{}(x) $ и $ M(x) $ и этот определитель равен $$ \mathcal R(f,M) = a_0^3-3\,a_0^2a_1-a_1^3=a_0^3\left[1-3 \frac{a_1}{a_0}- \left(\frac{a_1}{a_0}\right)^3 \right]\equiv a_0^3 M(-a_1/a_0) \ . $$ Поскольку, по предположению, $ M(x) $ неприводим над $ \mathbb Q_{} $, то $ M(-a_1/a_0)\ne 0 $ (полином $ M(x) $ не может иметь рациональных корней). Следовательно, выражение для $ h(x) $ в виде отношения определителей существует при любых $ \{a_0,a_1\} \in \mathbb Q[x] $. ((:algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения Раскладываем)) определитель из числителя по последнему столбцу: $$ h(x)\equiv \frac{-x^2\left|\begin{array}{ccc} 0 & a_0 & a_1 \\ 0 & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right|+x \left|\begin{array}{ccc} a_0 & a_1 & 0 \\ 0 & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right|- \left|\begin{array}{ccc} a_0 & a_1 & 0 \\ 0 & a_0 & a_1 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right|}{a_0^3-3\,a_0^2a_1-a_1^3}\equiv $$ $$ \equiv \frac{-a_0^2x^2+a_0a_1x-(3\,a_0^2+a_1^2)}{a_0^3-3\,a_0^2a_1-a_1^3} \ . $$ **Проверка**. Если умножить числитель последней дроби на $ a_0x+a_{1} $ и прибавить к полученному $ a_0^3 M(x) $, то получим как раз выражение из знаменателя. !!П!! **Пример.** Попробуем решить аналогичную задачу для полинома $ M(x)=x^{4}+4 $. Нахождение полинома обратного полиному первой степени $ f(x)=a_0x+a_1 \in \mathbb Q[x] ,\ a_0\ne 0 $ относительно умножения по модулю $ M(x) $ полностью аналогично предыдущему примеру, и мы просто приведем ответ: $$ h(x)\equiv \frac{-a_0^3x^3+a_0^2a_1x^2-a_0a_1^2x+a_1^3}{4\,a_0^4+a_1^4} \ . $$ Знаменатель не обращается в нуль ни при каких $ \{a_0,a_1\} \subset \mathbb Q $. Рассмотрим теперь полином второй степени $ f(x)=a_0x^2+a_1x+a_2 \in \mathbb Q[x], a_0\ne 0 $. $$ h(x)\equiv \left|\begin{array}{cccccl} a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 & x^3 \\ 0 & a_0 & a_1 & a_2 & 0 & x^2 \\ 0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2 & x \\ 0 & 0 & 0 & a_0 & a_1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array} \right| \Bigg/ \left|\begin{array}{cccccc} a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array} \right| \equiv $$ $$ \equiv \frac{(-a_1^3+2\,a_0a_1a_2)\,x^3-(4\,a_0^3-a_1^2a_2+a_0a_2^2)\,x^2+(4\,a_0^2a_1-a_1a_2^2)x-(4\,a_0a_1^2-4\,a_0^2a_2-a_2^3)}{\mathcal R(f,M)} $$ при $$ \mathcal R(f,M)=16\,a_0^4+8\,a_0^2a_2^2-16\,a_0a_1^2a_2+a_2^4+4\,a_1^4 \ . $$ Вопрос об обращении знаменателя в нуль при рациональных наборах $ a_0,a_1,a_2 $ становится нетривиальным. Зная ответ, дадим подсказку: $ \mathcal R(f,M)=0 $, например, при $ a_0=t, a_1=2\,t,\ a_3=2\,t $ при $ \forall t\in \mathbb Q $. Для таких наборов коэффициентов полином $ f_{}(x) $ имеет нетривиальный делитель с $ M(x) $, и, следовательно, обратного относительно умножения по модулю $ M(x) $ для $ f_{}(x) $ не существует. Объяснение этой неудачи кроется в факте __приводимости__ полинома $ M(x) $ над $ \mathbb Q_{} $: $$ x^4+4\equiv (x^2+2\,x+2)(x^2-2\,x+2) \ . $$ Теперь очевидно, что все полиномы вида $$ f(x)=tx^2\pm 2\,t+2\, t \quad npu \quad t \in \mathbb Q $$ не будут иметь обратных относительно умножения по модулю $ M(x) $. За исключением этого подмножества, все остальные полиномы второй степени обратимы относительно указанной операции. Очевидно, что и среди полиномов третьей степени можно найти необратимые. ♦ Возвращаясь теперь к вопросу, поставленному в конце предыдущего пункта, теперь можем сформулировать ответ: конечное поле порядка $ p^m $ будем строить комбинацией двух объектов --- поля $ \mathbb Z_p $ классов вычетов по простому модулю $ p_{} $ и полиномов одной переменной степени не выше $ m_{}-1 $ с операцией умножения по модулю некоторого неприводимого полинома $ M(x) $ степени $ m_{} $. Подробнее ☞ ((:gruppe:galois ПОЛЯ ГАЛУА)). ===Алгебра== **Алгеброй** $ \mathbb A_{} $ над полем $ \mathbb F $ называется такое ((#кольцо кольцо)), в котором определено умножение $ \star $ элементов на элементы из $ \mathbb F $, удовлетворяющее аксиомам: 9. $ ({\mathbf A}\oplus {\mathbf B})\star {\mathfrak a}={\mathbf A}\star {\mathfrak a}\oplus {\mathbf B}\star {\mathfrak a}, \quad {\mathbf A}\star {\mathfrak e}={\mathbf A} $; 10. $ ({\mathbf A} \ast {\mathbf B})\star {\mathfrak a}=({\mathbf A} \star {\mathfrak a})\ast {\mathbf B}= {\mathbf A}\ast ({\mathbf B}\star {\mathfrak a}) $ при любых $ \{{\mathbf A},{\mathbf B}\} \subset \mathbb A_{} $ и $ {\mathfrak a} \in \mathbb F $. Первым примером алгебр над полем $ \mathbb R_{} $ явились **гиперкомплексные** числа. В 1843 г. У.Гамильтон придумал теорию **кватернионов**, т.е. чисел, являющихся $ n_{} $-мерными (при $ n>2 $) аналогами ((:complex_num комплексных чисел)). Произвольный кватернион записывается в виде линейной комбинации $$X=x_01+x_1 \mathbf i+x_2 \mathbf j+x_3 \mathbf k, \quad npu \quad \{x_0,x_1,x_2,x_3 \} \subset \mathbb R $$ элементов базиса $ 1, \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k $. Здесь $ 1_{} $ --- обычная (вещественная) единица, а умножение остальных элементов базиса задается таблицей | $ \times $ ^ $ \mathbf i $ ^ $ {}_{} \quad \mathbf j $ ^ $ \mathbf k $ ^ ^ $ \mathbf i $ | $ -1 $ | $ {}_{} \quad \mathbf k $ | $ -\mathbf j $ | ^ $ \mathbf j $ | $ -\mathbf k $ | $ -1 $ | $ \ \mathbf i $ | ^ $ \mathbf k $ | $ \ \mathbf j $ | $ -\mathbf i $ | $ -1 $ | Часто в записи кватерниона $ 1_{} $ опускается: $$X=x_0+\underbrace{x_1 \mathbf i+x_2 \mathbf j+x_3 \mathbf k}_{\mathbf V}$$ здесь $ x_{0} $ называется **скалярной**, а $ {\mathbf V} $ --- **векторной частями кватерниона**. Равенство кватернионов $ X=x_0+x_1 \mathbf i+x_2 \mathbf j+x_3 \mathbf k $ и $ Y=y_0+y_1 \mathbf i+y_2 \mathbf j+y_3 \mathbf k $ и их сумма определяются естественным образом, ``покоординатно'': $$ X=Y \quad \iff \quad \{x_j=y_j\}_{j=0}^3 , $$ $$ X+Y= (x_0+y_0)+(x_1+y_1) \mathbf i+(x_2+y_2) \mathbf j+(x_3+y_3) \mathbf k \, $$ Формула же произведения кватерниона $ X $ на $ Y $: $$ X \cdot Y=(x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3)+(x_0y_1+x_1y_0+x_2y_3-x_3y_2) \mathbf i + $$ $$+ (x_0y_2+x_2y_0+x_1y_3-x_3y_1) \mathbf j +(x_0y_3+x_3y_0+x_1y_2-x_2y_1) \mathbf k \, . $$ При $ x_3=x_4=0 $ кватернион $ X=x_0+x_1 \mathbf i $ может быть отождествлен с ((:complex_num#определение комплексным числом)). Однако, в отличие от поля комплексных чисел, коммутативность умножения для кватернионов, как правило, не имеет места: $$ (1+\mathbf i)(1+ \mathbf k) \ne (1+ \mathbf k)(1+\mathbf i) \, . $$ При $ x_0=0 $ кватернион называется **вектором** и может быть отождествлен с обычным вектором из $ \mathbb R^{3} $. Произведение двух таких векторов $ {\mathbf V}_1 $ и $ {\mathbf V}_2 $ (в соответствии с приведенной выше таблицей) выражается через скалярное и векторное произведения векторов: $$ {\mathbf V}_1 \cdot {\mathbf V}_2=-\langle {\mathbf V}_1,{\mathbf V}_2\rangle+\left[{\mathbf V}_1,{\mathbf V}_2 \right]$$ что показывает тесную связь кватернионов с векторным исчислением[[Последнее и возникло из теории кватернионов]]. Кватернион $ \overline{X}=x_0-{\mathbf V}=x_0-x_1 \mathbf i-x_2 \mathbf j-x_3 \mathbf k $ называется **сопряженным** к $ X =x_0+{\mathbf V} $. Легко проверить, что $$ \overline{X} X=X \overline{X}=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 \, . $$ Величина[[Корень --- арифметический.]] $$ |X|=\sqrt{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2} $$ называется **модулем кватерниона** $ X $. !!?!! Доказать, что для кватернионов выполняется $ |X_1X_2|=|X_1|\cdot |X_2| $. Сравнить с ((:numtheory:divispascal:vspom2 тождеством Эйлера)). Для любого кватерниона отличного от нулевого $ 0+0 \mathbf i+0 \mathbf j+0 \mathbf k $ существует обратный относительно операции умножения: $$ X^{-1}= \frac{\overline{X}}{|X|^2} \quad \Rightarrow \quad X^{-1}X=XX^{-1}=1 \, . $$ Тем самым гарантирована возможность решения в кватернионах любого линейного уравнения $$ A\cdot X= B,\quad Y \cdot A= B\, npu \ A \ne 0+0 \mathbf i+0 \mathbf j+0 \mathbf k\, . $$ Если расписать произведение кватерниона $ A=a_0+a_1 \mathbf i+a_2 \mathbf j+a_3 \mathbf k $ на кватернион $ X $ покоординатно, то получим координаты кватерниона $ Y= A \cdot X $ в виде $$ \left(\begin{array}{c} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{rrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \, . $$ Иными словами, при фиксированном кватернионе $ A $ и переменном кватернионе $ X $ формулу умножения $ A \cdot X $ можно интерпретировать как результат действия ((:mapping:operator#линейный_оператор линейного оператора)) в пространстве $ \mathbb R^4 $. ((:mapping:operator#матрица_оператора Матрица)) этого оператора (в стандартном базисе): $$ \mathbf A = \left(\begin{array}{rrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right) \, . $$ Можно пойти и дальше. Если построить аналогичную матрицу для кватерниона $ X $: $$ X= x_0+x_1 \mathbf i+x_2 \mathbf j+x_3 \mathbf k \quad \Rightarrow \quad \mathbf X = \left(\begin{array}{rrrr} x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right) \, , $$ то результат умножения матриц $ \mathbf A \cdot \mathbf X $ приводит к матрице того же вида, при этом в первом столбце произведения $$ \mathbf A \cdot \mathbf X= \left(\begin{array}{rrrr} a_0x_0-a_1x_1-a_2x_2-a_3x_3 & \ast & \ast & \ast \\ a_1x_0 +a_0x_1 -a_3x_2 +a_2x_3 & \ast & \ast & \ast \\ a_2 x_0 + a_3x_1+a_0x_2 -a_1x_3 & \ast & \ast & \ast \\ a_3 x_0 -a_2x_1+ a_1x_2 +a_0x_3 & \ast & \ast & \ast \end{array} \right) $$ стоят коэффициенты произведения кватернионов $ A \cdot X $. Легко проверить, что и сумма матриц $ \mathbf A + \mathbf X $ будет соответствовать $ A + X $. !!Т!! **Теорема.**// Алгебра кватернионов изоморфна алгебре матриц вида// $$ \{ x_0 E +x_1 \mathbf I +x_2 \mathbf J + x_3 \mathbf K \ \mid \ (x_0,x_1,x_2,x_3) \in \mathbb R^4 \} \ , $$ //где// $$ E=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right), $$ $$ \mathbf I = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right), \ \mathbf J = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right), \ \mathbf K= \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \, . $$ Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Строки матрицы $ \mathbf X $ попарно ортогональны: стандартное скалярное произведение любых двух строк равно $ 0_{} $. Длина же каждой строки одна и та же и равна модулю кватерниона $ X $. Следовательно, матрица $$ \frac{1}{\sqrt{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2}} \left(\begin{array}{rrrr} x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right) $$ является ((:algebra2:ort_matrix ортогональной)). Таким образом, кватернион может быть задан своим модулем и специфической ортогональной матрицей. Все операции над кватернионами переведены на язык матричного формализма. !!?!! Доказать, что если матрица $ \mathbf X $ соответствует кватерниону $ X $, то сопряженному кватерниону $ \overline X $ соответствует матрица $ \mathbf X^{\top} $. ==Задачи== ☞ ((:gruppe:problems ЗДЕСЬ)). ==Источники== [1]. **Гроссман И.**, **Магнус В.** //Группы и их графы.// М.Мир. 1971. [2]. **Реньи А.** //Трилогия о математике.// М.Мир.1980. [3]. Задача из **W.L.Putnam mathematical competition**. //American Mathematical Monthly//, V.80, N 2, 1973. P.172-173 [4]. Задача **E2300**. //American Mathematical Monthly//, V.79, N 5, 1972.