Для понимания материалов настоящего раздела рекомендуется ознакомиться с разделом ((:linear_space ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО))
.
== Евклидово пространство ==
~~TOC~~
Одной из важнейших задач геометрии является задача измерения расстояния между двумя объектами. В произвольном ((:linear_space линейном пространстве)) мы пока не можем определить насколько "близки" между собой объекты.
В настоящем разделе понятие расстояния между двумя векторами --- элементами
линейного пространства --- будет вводиться посредством скалярного произведения
векторов. Насколько обоснован такой порядок введения понятий:
$ \mbox{} \qquad $ ** скалярное произведение ** $ \to $ **длина** ?
Ведь в аналитической геометрии последовательность кажется более "естественной": скалярное произведение двух векторов $ X_{} $ и $ Y_{} $ определялось как произведение длин этих векторов
на косинус угла между ними:
$ \langle X,Y \rangle = |X| \cdot |Y| \cdot \cos (\widehat{X,Y}) $. Тем не менее,
формально непротиворечива и обратная схема: если допустить, что
скалярное произведение //любых// двух векторов может быть как-то
вычислено (например, в $ \mathbb R^{3} $ по формуле $ \langle X,Y \rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 $
при заданных координатах $ (x_1,x_2,x_3) $ и
$ (y_1,y_2,y_3) $ векторов $ X_{} $ и $ Y_{} $), то и длину векторов и угол между
ними можно выразить через подходящие скалярные произведения:
$$ |X|=\sqrt{ \langle X,X \rangle},\qquad \widehat{X,Y}=\arccos \frac{ \langle X,Y \rangle}{\sqrt{\langle X,X \rangle \langle Y,Y \rangle}} \ .$$
===Определения ==
Вещественное линейное пространство $ \mathbb E_{} $ называется **евклидовым**[[(англ.) inner product space]],
если в этом пространстве определена функция, ставящая в соответствие паре
векторов $ \{X,Y\}\subset \mathbb E $ вещественное число, называемое **скалярным
произведением векторов**[[Dot product, inner product, scalar product (//англ.//)]] $ X_{} $ и $ Y_{} $, и обозначаемое $ \langle X,Y \rangle_{} $ или $ (X,Y)_{} $; при этом фцнкция
подчиняется аксиомам:
1.
$ \langle X,Y \rangle= \langle Y,X \rangle $ для $ \{ X,\, Y\} \subset \mathbb E $; \\
2.
$ \langle X_1+X_2,Y \rangle = \langle X_1,Y \rangle + \langle X_2,Y \rangle $ для $ \{ X_1,\, X_2,\, Y \} \subset \mathbb E $;\\
3.
$ \langle \lambda\, X,Y\rangle=\lambda\, \langle X,Y\rangle $ для $ \{ X,Y\}\subset \mathbb E,\ \lambda \in \mathbb R $;\\
4.
$ \langle X,X \rangle>0 $ для $ \forall X\ne \mathbb O $, $ \langle \mathbb O,\mathbb O \rangle =0 $.
Из аксиом
1
и
2
вытекает свойство линейности скалярного произведения и по второму вектору: \\
2'.
$ \langle X,Y_1+Y_2 \rangle = \langle X,Y_1 \rangle + \langle X,Y_2 \rangle $ для $ \{X, Y_1,\, Y_2 \} \subset \mathbb E $
((:euclid_space:picture .))
!!П!! **Пример 1.** Пространство $ \mathbb R_{}^{n} $, рассматриваемое как пространство вещественных векторов-столбцов.
Для векторов
$$ X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] \quad \mbox{ и } \quad
Y=\left[\begin{array}{l} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]
$$
их скалярное произведение определим обобщением привычной из геометрии формулы
$$
\langle X,Y \rangle = \sum_{j=1}^n x_jy_j = X^{\top}Y \ ;
$$
в последней формуле $ {}^{\top} $ означает ((:algebra2#транспонирование транспонирование)).
Будем называть это скалярное произведение **стандартным**. Легко проверить выполнимость аксиом
1
-
4
.
Однако стандартное определение скалярного произведения вовсе не является
единственно допустимым; формально скалярное произведение можно ввести и другим способом.
Рассмотрим (пока произвольную) вещественную ((:algebra2#квадратные_матрицы квадратную матрицу)) $ A_{} $ порядка $ n_{} $ и положим
$$
\begin{array}{cccr}
\langle X,Y \rangle = X^{\top} A Y & = &
a_{11}x_1y_1+a_{12}x_1y_2+ \dots + a_{1n}x_1y_n &+ \\
&+&a_{21}x_2y_1+a_{22}x_2y_2+ \dots + a_{2n}x_2y_n &+ \\
&+& \dots &+ \\
&+&a_{n1}x_ny_1+a_{n2}x_ny_2+ \dots + a_{nn}x_ny_n & \ .
\end{array}
$$
(Здесь векторы $ X_{} $ и $ Y_{} $ из $ \mathbb R_{}^{n} $ снова рассматриваются как столбцы.) Если матрица $ A_{} $ является ((:algebra2:optimiz#знакоопределенность_квадратичной_формыкритерий_сильвестра положительно определенной)), то все аксиомы скалярного произведения будут удовлетворены.
Зачем нужна такая возможность в неоднозначности определения скалярного произведения в одном и том же пространстве? --- Ответ на этот вопрос откладывается до следующего пункта. А пока приведу одно замечание[[Несущественно для дальнейшего изложения, можно пропустить.]].
Введенное --- по любому из допустимых алгоритмов --- скалярное произведение в $ \mathbb R^{n}_{} $ является функцией от $ 2\,n $ аргументов --- координат векторов $ X_{} $ и $ Y_{} $:
$$ \langle X,Y \rangle = F(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n) \ . $$
Что это за функция? --- Очевидно, это --- ((:polynomialm полином)), причем ((:polynomialm#однородный_полином однородный)) второй степени.
Однако по каждой переменной из набора $ x_{1},\dots,x_n $ он является __линейным__. Именно, аксиомы
2
и
3
можно объединить в одно свойство линейности:
$$
F(\lambda_1X_1+ \lambda_2X_2,Y)=\lambda_1 F(X_1,Y)+ \lambda_2 F(X_2,Y) \ \mbox{ при } \ \{\lambda_1,\lambda_2 \} \subset \mathbb R,\
\{X_1,X_2 \} \subset \mathbb R^n \ .
$$
Аналогичное утверждение справедливо и относительно координат вектора $ Y_{} $. Наличие подобных свойств позволяет выделить во множестве произвольных однородных полиномов второй степени (квадратичных форм) от $ 2\, n $ переменных подмножество **билинейных форм**. Это определение допускает обобщение на произвольное количество наборов переменных из $ \mathbb R^{n}_{} $: **полилинейная форма**. В частности, полилинейной формой является ((:algebra2:dets определитель матрицы)) порядка $ n_{} $ как функция от $ n^{2} $ элементов этой матрицы, объединенных в наборы строк или столбцов (см.
☞
((algebra2:dets#элементарные_свойства_определителя ЗДЕСЬ)) ).
!!П!! **Пример 2.** Пространство $ \mathbb P_{n} $ ((:polynomial полиномов одной переменной)) степеней $ \le n_{} $ с вещественными коэффициентами.
Скалярное произведение полиномов
$$ p(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots + a_n \quad \mbox{ и } \quad
q(x)=b_{0}x^n+b_1x^{n-1}+\dots + b_n $$
введем формулой
$$
\langle p(x), q(x) \rangle = \sum_{j=0}^n a_j b_j.
$$
Легко проверить справедливость всех аксиом.
В том же пространстве укажем еще один способ задания скалярного произведения
$$
\langle p(x), q(x) \rangle = \int_{a}^b p(t)q(t) d\,t
$$
при некоторых фиксированных вещественных константах $ a_{} $ и $ b_{} $, $ a_{}
1