!!§!! Вспомогательная страница к разделу ☞ ((:elimination_theory ТЕОРИЯ ИСКЛЮЧЕНИЯ)). Результаты раздела формулируются для вещественных полиномов (и такими же полиномами иллюстрируются). Все они будут справедливы и для полиномов над $ \mathbb C $. ==Симметрические полиномы на решениях системы алгебраических уравнений== Рассмотрим сначала систему из двух алгебраических уравнений $$ f_1(x,y)=0, \ f_2(x,y)=0 \, ; \{f_1,f_2\} \subset \mathbb R[x,y] \, . $$ Предположим, что ее множество решений не бесконечно, и не пусто: $$ \{(\alpha_j,\beta_j)\}_{j=1}^N \subset \mathbb C^2 \, . $$ Выражения $$ s_{k\ell}=\sum_{j=1}^N \alpha_j^k \beta_j^{\ell} , \ \{k,\ell\} \subset \{0,1,2,\dots \} \, . $$ называются **обобщенными суммами Ньютона** для системы $ f_1=0,f_2=0 $. ===Метод Якоби== Наложим ограничения на старшие формы $$ f_{j,n_j}(x,y):=a_{j,0}x^{n_j}+a_{j,1}x^{n_j-1}y+\dots+a_{j,n_j}y^{n_j} $$ в разложениях полиномов $ f_1, f_2 $ по степеням $x,y $. Предположение 1 . Пусть $a_{j,0}\ne 0, a_{j,n_j}\ne 0$ для $j\in\{1,2\}$. Иными словами $$ \deg_x f_j = \deg_y f_j = n_j \ \mbox{ при } j\in \{1,2\} \, . $$ Предположение 2 . Пусть число решений системы уравнений $ f_1=0, f_2=0 $ определяется ((:dets:resultant#teorema_bezu теоремой Безу)): $$ N:=n_1n_2 \ . $$ В соответствии с доказательством теоремы Безу, это предположение выполняется тогда и только тогда, когда результант $$ \mathcal A_0:=\mathcal R(f_{1,n_1}(x,1),f_{2,n_2}(x,1)) $$ отличен от нуля. Вычислим элиминанты полиномов $ f_1(x,y),f_2(x,y) $ $$ \mathcal X(x):=\mathcal R_y(f_1,f_2), \ \mathcal Y(y):=\mathcal R_x(f_1,f_2) \, . $$ Найдем полиномы их ((:dets:resultant:idea#rezultant_i_naibolshij_obschij_delitel_polinomov линейного представления)): $$\mathcal M(x,y) f_1+ \mathcal N(x,y) f_2 \equiv \mathcal X(x), \ \mathcal P(x,y) f_1+ \mathcal Q(x,y) f_2 \equiv \mathcal Y(y) \, . $$ Обозначим $$ \mathcal V(x,y):= \mathcal M(x,y) \mathcal Q(x,y) - \mathcal N(x,y) \mathcal P(x,y) $$ и $$ \mathfrak J(x,y) :=\frac{\partial f_1}{ \partial x} \frac{\partial f_2}{ \partial y} - \frac{\partial f_1}{ \partial y} \frac{\partial f_2}{\partial x} $$ --- ((algebra2/dets/jacobian#opredelenie_i_osnovnye_svojstva якобиан)) системы полиномов $ \{f_1,f_2\} $. Разложим рациональную функцию $ 1/ \mathcal X(x) $ в ((:fraction#lorana ряд Лорана)) по степеням $ x^{-1} $, а функцию $ 1/ \mathcal Y(y) $ в ряд Лорана по степеням $ y^{-1} $. !!Т!! **Теорема 1.** //Для любого полинома// $ g(x,y)\in \mathbb R[x,y] $ //коэффициент при// $ x^{-1} y^{-1} $ //в разложении дроби// $$ \frac{g(x,y)\mathcal V(x,y) \mathfrak J(x,y)}{\mathcal X(x) \mathcal Y(y)} $$ //по степеням// $ x^{-1} $ //и// $ y^{-1} $ //равен// $$ \sum_{j=1}^N g(\alpha_j, \beta_j) \, . $$ !!Т!! **Теорема 2.** //Коэффициент при// $ x^{-(k+1)} y^{-(\ell+1)} $ //в разложении дроби// $$ \frac{\mathcal V(x,y) \mathfrak J(x,y)}{\mathcal X(x) \mathcal Y(y)} $$ //по степеням// $ x^{-1} $ //и// $ y^{-1} $ //равен// $$ s_{k \ell}=\sum_{j=1}^N \alpha_j^k \beta_j^{\ell} \, . $$ !!П!! **Пример.** Вычислить обобщенные суммы Ньютона для системы $$f_1(x,y):=x^2+y^2-3\,x-y=0,\ f_2(x,y):=x^2+6\, xy-y^2-7\, x - 11\, y +12=0 \, . $$ **Решение.** Имеем: $$ \mathcal Y(y):=\mathcal R_x(f_1,f_2)=40(y^4-2\,y^3-y^2+2\,y),\ \mathcal X(x):=\mathcal R_y(f_1,f_2)=40(x^4-7\,x^3+16\,x^2-12\,x) \, . $$ Полиномы линейных представлений этих результантов: $$ \mathcal M(x,y)= 38\,x^2-6\,xy-148\,x+12\,y+144, \ \mathcal N(x,y)=2\,x^2-6\,xy-4\,x+12\,y \ , $$ $$ \mathcal P(x,y)=6\,xy+38\,y^2-4\,x-56\,y+16,\ \mathcal Q(x,y)=-6\,xy-2\,y^2+4\,x+8\,y \, . $$ Из них составляем функцию $$ \mathcal V= \mathcal M \mathcal Q - \mathcal N \mathcal P = $$ $$ =-240\,x^3y-80\,x^2y^2+240\,xy^3+160\,x^3+1280\,x^2y-80\,xy^2-480\,y^3-640\,x^2-2080\,xy+480\,y^2+640\,x+960\,y \, . $$ Составляем якобиан полиномов $ f_1, f_2 $: $$ \mathfrak J(x,y) =12\,x^2-8\,xy-12\,y^2-38\,x+26\,y+26 \, . $$ Далее вычисляем разложения $ 1/\mathcal X(x) $ и $ 1/\mathcal Y(y) $ в ряды Лорана по степеням отрицательных степеней переменных: $$ \frac{1}{\mathcal X(x)}=\frac{1}{40}\left(\frac{1}{x^4}+\frac{7}{x^5}+\frac{33}{x^6}+\frac{131}{x^7}+\frac{473}{x^8}+\frac{1611}{x^9} + \dots \right) \, , $$ $$ \frac{1}{\mathcal Y(y)}=\frac{1}{40}\left(\frac{1}{y^4}+\frac{2}{y^5}+\frac{5}{y^6}+\frac{10}{y^7}+\frac{21}{y^8}+\frac{42}{y^9} + \dots \right) $$ Теперь собираем все полученное в одно разложение, в нем нас интересуют только члены, содержащие отрицательные степени обеих переменных: $$ \frac{\mathcal V(x,y) \mathfrak J(x,y)}{\mathcal X(x) \mathcal Y(y)}= $$ $$ =\dots + \frac{4}{xy}+\frac{7}{x^2y}+\frac{2}{xy^2}+\frac{17}{x^3y}+\frac{2}{x^2y^2}+\frac{6}{xy^3}+\frac{43}{x^4y}+\frac{4}{x^3y^2}+\frac{10}{x^2y^3}+\frac{8}{xy^4}+ \dots $$ Имеем: $$ s_{0,0}=4,\ s_{1,0}=7,\ s_{0,1}=2,\ s_{2,0}=17,\ s_{1,1}=2, \ s_{0,2}=6, \ s_{3,0}=43,\dots $$ **Проверка.** Решения системы: $ (2,-1),(2,2),(0,1), (3,0) $. Следующий результат является аналогом в $ \mathbb R^2 $ ((:interpolation#rekursivnoe_vychislenie_koehfficientov равенств Эйлера-Лагранжа)) для полинома одной переменной. !!Т!! **Теорема 3.** //Для любого полинома// $ g(x,y)\in \mathbb R[x,y] $ //степени// $ \deg g < n_1+n_2-2 $ //справедливо// **равенство Якоби**: $$ \sum_{j=1}^N \frac{g(\alpha_j, \beta_j)}{\mathfrak J(\alpha_j, \beta_j)}=0 \, . $$ !!П!! **Пример.** Для системы предыдущего примера и при $ g(x,y)=3x+5y-7 $ имеем: $$ \frac{g(2,-1)}{\mathfrak J(2,-1)}+\frac{g(2,2)}{\mathfrak J(2,2)}+\frac{g(0,1)}{\mathfrak J(0,1)}+\frac{g(3,0)}{\mathfrak J(3,0)}=\frac{1}{4}-\frac{3}{10}-\frac{1}{20}+\frac{1}{10}=0 \, . $$ ===Метод Пуассона== ==Источники== [1]. **Jacobi C.G.J.** //Theoremata nova algebraica circa systema duarum aequationum, inter duas variabiles propositarum.// J.reine angew. Math. 1835. Vol. 14, P. 281-288. Также в: Gesammelte Werke. Bd. 3. 287-294. Reimer. Berlin 1884 [2]. **Jacobi C.G.J.** //De relationibus, quae locum habere debent inter puncta intersectionis duarum curvarum vel trium superficierum algebraicarum dati ordinis, simul cum enodatione paradoxi algebraici.// J.reine angew. Math. 1836. Vol. 15, P. 285-308. Также в: Gesammelte Werke. Bd. 3.331-354. Reimer. Berlin 1884 [3]. **Uteshev A.Yu., Shulyak S.G.** //Hermite's Method of Separation of Solutions of Systems of Algebraic Equations and its Applications.// Linear Algebra Appl. 1992. V.177, P.49-88. Текст ☞ ((https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0024379592903174 ЗДЕСЬ)) (pdf)