== Огибающая однопараметрического семейства поверхностей. Ребро возврата ==

=== Краткие теоретические сведения === 

Дано:\\
- кривая $\gamma$: $x=x(t),\, y=y(t),\, z=z(t)$,\\
- поверхность $\varPhi(x,y,z)=0$,\\
- их общая точка $M(t_0)$.\\

==== Соприкосновение $k$-того порядка ====

Когда точка $M(t)$ стремится по кривой $\gamma$ к точке $M(t_0)$, функция $\varPhi(x(t),y(t),z(t))$ будет бесконечно малой величиной при $t\to t_0$. Если порядок малости этой величины относительно $t-t_0$ равен $k+1$, то говорят, что кривая имеет с поверхностью касание $k$-того порядка.

==== Огибающая ====

Пусть дано однопараметрическое семейство поверхностей:
\begin{equation*}
    F(x,y,z,C)=0.
\end{equation*}
Гладкая поверхность называется //огибающей// однопараметрического семейства поверхностей, если в каждой своей точке она касается по крайней мере одной поверхности семейства и каждым своим куском касается бесконечного числа поверхностей семейства.

Уравнение огибающей, если она существует, определяется из системы
\begin{equation*}
        \left\{
        \begin{array}{lcl}
          F(x,y,z,C)& = &0, \\
          F'_C (x,y,z,C)& = &0. \\
        \end{array}
      \right.
\end{equation*}
Исключаем из этой системы параметр $C$ получаем уравнение некоторой поверхности
$$ f(x,y,z)=0,$$
это //дискриминантная поверхность//.

Если в каждой точке дискриминанты выполняется условие: $F^2_x+F^2_y+F^2_z\neq0$, то $f(x,y,z)=0$ --- огибающая.

==== Ребро возврата ====

Если огибающая существует, то она касается каждой фиксированной поверхности семейства вдоль линии, которая называется //характеристикой// этого семейства. Эта линия задается записанной выше системой при некотором фиксированном значении $C$, соответствующему фиксированной поверхности.

Характеристики на огибающей образуют однопараметрическое семейство линий. Если это однопараметрическое семейство линий имеет огибающую, то эта огибающая называется //ребром возврата//. Оно удовлетворяет системе:
\begin{equation*}
        \left\{
        \begin{array}{lcl}
          F(x,y,z,C)& = &0, \\
          F'_C (x,y,z,C)& = &0, \\
          F''_{CC} (x,y,z,C)& = &0. \\
        \end{array}
      \right.
\end{equation*}


=== Решение задач ===

==== Задача 1 (Феденко 612) ====

Покажите, что линия
$$yz=x,\,\, xz=y+1$$
имеет с поверхностью $z=xy$ в точке $M(0,-1,0)$ касание второго порядка.

==== Решение задачи 1 ====

Запишем параметризацию кривой:
\begin{equation*}
    z=t,\,\,  y= \frac{1}{t^2-1}, \,\, x= \frac{t}{t^2-1}.
\end{equation*}
Тогда
\begin{equation*}
    \varPhi(x(t),y(t),z(t))=t-\frac{t}{(t^2-1)^2}.
\end{equation*}
Найдем предел для $k=2$
\begin{equation*}
    \lim_{t\to0}\frac{\varPhi(x(t),y(t),z(t))}{t^{k+1}}=\lim\limits_{t\to0}\frac{t(t^2-2)(t^2)}{t^3}=-2.
\end{equation*}

==== Задача 2 (Феденко 624) ====

Найти ребро возврата огибающей семейства поверхностей
\begin{equation*}
    x\,\mbox{sin}\,\alpha-y\,\mbox{cos}\,\alpha+z=b\alpha,
\end{equation*}
где $\alpha$ --- параметр, $b=\mbox{const}$.

==== Решение задачи 2 ====

Запишем систему, задающую ребро возврата:
$$
\left\{
\begin{aligned}
&x\,\mbox{sin}\,\alpha-y\,\mbox{cos}\,\alpha+z-b\alpha=0,\\
&x\,\mbox{cos}\,\alpha+y\,\mbox{sin}\,\alpha+z-b=0,\\
&-x\,\mbox{sin}\,\alpha+y\,\mbox{cos}\,\alpha=0.
\end{aligned}
\right.
$$
Решая систему, получим параметрическое уравнение винтовой линии: $x=b\,\mbox{cos}\,\alpha$, $y=b\,\mbox{sin}\,\alpha$, $z=b\alpha$.