== Соприкасающаяся окружность. Эволюта, эвольвента == 

=== Разбор ДЗ ===
 
2. Найти кривизну и кручение кривой, заданной в неявном виде: $-x^2+y^2+z^2=1$, $-x^2+2y-z=0$ в точке $M(1,\,1,\,1)$. 

Ответ: $k=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}$, $\varkappa=1$.

3. Доказать, что кривая $x=1+2t+t^2, y=2-5t+t^2, z=1+t^2$~ --- плоская. Найти уравнение плоскости, в которой лежит эта кривая.

Ответ: $\varkappa=0$, $5x+2y-7z-2=0$.
 

=== Краткие теоретические сведения ===

==== Соприкосновение $k$-того порядка ====

Две кривые
$$ \gamma_1: \vec{r}_1=\vec{r}_1(t)\,\, \mbox{и} \,\, \gamma_2:  \vec{r}_2=\vec{r}_2(t) $$
имеют в общей точке $M_0$  //соприкосновение (касание) $k$-того порядка//, если в этой точке:
\begin{equation*}
    \frac{d\vec{r}_1}{dt}=\frac{d\vec{r}_2}{dt}, \ldots, \frac{d^k\vec{r}_1}{dt^k}=\frac{d^k\vec{r}_2}{dt^k},\, \frac{d^{k+1}\vec{r}_1}{dt^k}\neq\frac{d^{k+1}\vec{r}_2}{dt^k}.
\end{equation*} 

Для неявно заданных кривых  --- см. формулы в Феденко. 

// Касательная кривой имеет в точке касания имеет соприкосновение первого порядка.// 

 
==== Соприкасающаяся окружность плоской кривой ====

Пусть $\gamma$ --- плоская кривая, $M_0 (t=t_0)$ --- точка на ней.

Окружность, проходящая через точку $M_0$, называется  //соприкасающейся окружностью// кривой $\gamma$ в точке $M_0$, если кривая в этой точке с окружностью имеет соприкосновение второго порядка (не ниже второго порядка). 

Центр соприкасающейся окружности называют  //центром кривизны// кривой в заданной точке. 

Центр окружности лежит на нормали к кривой. Радиус окружности  (//радиус кривизны//) есть величина, обратная кривизне этой кривой в заданной точке $M_0$:
$$ R=1/k(t_0).$$

==== Эволюта и эвольвента ====

//Эволютой// плоской кривой называется огибающая ее нормалей.

Эволюта это геометрическое место центров кривизны плоской кривой.

Уравнение эволюты:
\begin{equation*}
   X = x-y'\frac{(x')^2+(y')^2}{x'y''-x''y'}, \,\, Y= y+x'\frac{(x')^2+(y')^2}{x'y''-x''y'}.
\end{equation*} 

//Эвольвентой// плоской кривой $\gamma$ называется такая кривая $\Gamma$ по отношению к которой $\gamma$ является эволютой.

Уравнение эвольвенты:
\begin{gather*}
    R = \vec{r(}t)-\frac{\vec{r'}(t)}{\sqrt{(\vec{r'})^2}}\int\sqrt{(\vec{r'}(t))^2}\,dt.
\end{gather*}

 

=== Решение задач === 

==== Задача 1 (Феденко № 179) ====

Докажите, что линии
\begin{equation*}
y_1=\mbox{sin}\,x, \,\, y_2=x^4-\frac16x^3+x.
\end{equation*}
имеют в начале координат касание третьего порядка

==== Решение задачи 1 ====

\begin{equation*}
 \begin{split}
  &y_1(0)=y_2(0)=0, \\
  &y'_1(0)=y'_2(0)=1, \\
  &y''_1(0)= y''_2(0)=0, \\
  &y'''_1(0)=y'''_2(0)=-1, \\
  &y_1^{(4)}(0)=0\neq y_2^{(4)}(0)=24. \\
  &\end{split}
\end{equation*}


==== Задача 2 (Феденко №369) ====

Напишите уравнение соприкасающейся окружности линии $y=\mbox{sin}\,x$ в точке $A\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$.

==== Решение задачи 2 ====

Радиус соприкасающейся плоскости $R=\displaystyle\frac{1}{k}$. Найдем кривизну для заданной кривой:
\begin{equation*}
    k = \displaystyle\frac{|y''|}{\left(1+(y')^2\right)^{3/2}}=\frac{\mbox{sin}\,x}{(1+\mbox{cos}^2\,x)^{3/2}}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
    k\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \,\, \Rightarrow \,\, R=1.
\end{equation*}   
Учитывая, что окружность касается синусоиды в точке $A\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}; 1\right)$,  радиус окружности равен $1$ и центр окружности лежит на нормали, проведенной в точке касания, получаем следующее уравнение:
\begin{equation*}
    \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)^2+y^2=1.
\end{equation*} 

{{ 369.png ?500 |Синусоида и соприкасающаяся окружность}} 


==== Задача 3 (Феденко №391) ====

Составьте уравнения и начертите эволюту кривой
\begin{equation*}
    x=a\left(\mbox{ln}\,\mbox{tg}\,\left(\displaystyle\frac{t}{2}\right)+\mbox{cos}\,t\right), \,\, y = a\,\mbox{sin}\,t.
\end{equation*}

==== Решение задачи 3 ====

Находим производные.
\begin{equation*}
\begin{split}
    x'&=a\left(\frac{1}{\mbox{sin}\,t}-\mbox{sin}\,t\right)=a\frac{\mbox{cos}^2t}{\mbox{sin}\,t},\\
    x''&=-a\,\mbox{cos}\,t\left(1+\frac{1}{\mbox{sin}^2\,t}\right),\\
    y'&=a\,\mbox{cos}\,t, \quad    y''=-a\,\mbox{sin}\,t.
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
    &(x')^2+(y')^2=a^2\mbox{ctg}^2\,t,\\
    &x'y''-x''y'=a^2\mbox{ctg}^2\,t.
\end{split}
\end{equation*} 

Получаем уравнения эволюты:
\begin{equation*}
\begin{split}
 &X= x(t)-a\,\mbox{cos}\,t\cdot1,\,\, Y= y(t)+a\,\displaystyle\frac{\mbox{cos}^2t}{\mbox{sin}\,t}\cdot1.\\
 &X = a\,\mbox{ln}\,\mbox{tg}\,\left(\displaystyle\frac{t}{2}\right), \,\, Y= \displaystyle\frac{a}{\mbox{sin}\,t}.
\end{split}
\end{equation*}
  
{{ 391.jpg |Кривая и эволюта (рисунок взят из ответов в Феденко}}  
  
==== Задача 4 (Феденко №397) ====

Составьте уравнения эвольвент окружности $x^2+y^2=a^2$ и сделайте рисунок.

==== Решение задачи 4 ====

Запишем параметрическое уравнение окружности:
\begin{equation*}
   x=a\,\mbox{cos}\,t, \,\,  y=a\,\mbox{sin}\,t.
\end{equation*}

\begin{gather*}
 \vec{r}(t)=\{a\,\mbox{cos}\,t,\,\,a\,\mbox{sin}\,t\},\\
 \vec{r'}(t)=\{-a\,\mbox{sin}\,t,\,\,a\,\mbox{cos}\,t\},\\
 (\vec{r'}(t))^2=a^2,\\
 \int\sqrt{(\vec{r'}(t))^2}\,dt = \int a\,dt = at+C.
\end{gather*}

Уравнения эвольвент:
\begin{equation*}
 \begin{array}{ccc}
 X&=&a\,\mbox{cos}\,t + (at+C)\,\mbox{sin}\,t,\\
 Y&=&a\,\mbox{sin}\,t - (at+C)\,\mbox{cos}\,t.\\
 \end{array}
\end{equation*}