== Линейчатые поверхности. Поверхности вращения ==

=== Краткие теоретические сведения ===

Поверхность, допускающая параметризацию вида:
\begin{equation*}
    \vec{R}=\vec{\rho}(u)+v\vec{\mu}(u),
\end{equation*}
где $\vec{\rho}$, $\vec{\mu}$ --- гладкие вектор-функции,
называется //линейчатой//.
$u=\mbox{const}$ называется //образующей// (образующая имеет направляющий вектор $\vec{\mu}(u)$),
$\vec{\rho}=\vec{\rho}(u)$ называется //направляющей//.

//Линейчатая поверхность// --- поверхность, описанная движением прямой, называемой //образующей//, пересекающей при движении некоторую кривую, называемую //направляющей// поверхности.

Рассмотрим два вида линейчатой поверхности --- цилиндрическая и коническая.

**Цилиндрическая поверхность:**\\
Направляющая: $\vec{\rho}=\vec{\rho}(u)$,\\
Образующая: постоянный единичный вектор $\vec{\mu}=\vec{e}$.
\begin{equation*}
    \vec{R}=\vec{\rho}(u)+v\vec{e}.
\end{equation*}


**Коническая поверхность:**\\
Вершина в точке $M(\vec{\rho}_0)$,\\
Направляющая: $\vec{\rho}=\vec{\rho}(u)$,\\
Образующая:  $\vec{\mu}=\vec{\rho}(u)-\vec{\rho}_0$.
\begin{equation*}
    \vec{R}=\vec{\rho}_0+v(\vec{\rho}(u)-\vec{\rho}_0).
\end{equation*}

Описанные линейчатые поверхности являются //развертывающимися//, то есть их касательные плоскости остаются неизменными вдоль прямолинейной образующей.

Еще один пример развертывающейся поверхности --- поверхность, образованная касательными к некоторой кривой.

Из сказанного выше следует, что совокупность всех касательных плоскостей развертывающейся линейчатой поверхности представляет собой однопараметрическое семейство, то есть развертывающаяся линейчатая поверхность является огибающей однопараметрического семейства плоскостей.

//Поверхность вращения// --- поверхность, образованная при вращении некоторой кривой около оси. Линии пересечения поверхности с плоскостями, проходящими через ось вращения, называются \emph{меридианами}, а линии пересечения с плоскостями, перпендикулярными оси, называются \emph{параллелями}.

Уравнение поверхности вращения, которая образуется при вращении кривой
\begin{equation*}
    x=x(u), \,\, z=z(u), \,\, x\geqslant0
\end{equation*}
расположенной в плоскости $(xz)$, вокруг оси $Oz$:
\begin{equation*}
    x=x(u)\,\mbox{cos}\,v, \,\, y= x(u)\,\mbox{sin}\,v, \,\, z=z(u).
\end{equation*}


=== Решение задач ===

==== Задание 1 (Феденко 535) ====

Написать уравнение цилиндрической поверхности, для которой линия $\vec{\rho}=\vec{\rho}(u)$ является направляющей, а образующие параллельны вектору $\vec{e}$.
\begin{equation*}
    \vec{R}=\vec{\rho}(u)+v\vec{e}.
\end{equation*}

==== Задание 2 (Феденко 536) ====
Напишите параметрические уравнения цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны вектору $\vec{a}=\{1,2,3\}$, а направляющая задана уравнениями: $x=u$, $y=u^2$, $z=u^3$.

Направляющая: $\vec{\rho}=\{u, u^2, u^3\}$,\\
Образующая: $\vec{\mu}=\{1,2,3\}$,\\
Уравнение:
\begin{equation*}
    \vec{R}=\vec{\rho}(u)+v\vec{e}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
   \left\{
  \begin{aligned}
  &x=u+v, \\
  &y=u^2+2v,\\
  &z=u^3+3v.
  \end{aligned}
 \right.
\end{equation*}

==== Задание 3 (Феденко 534) ====

Напишите параметрические уравнения гиперболического и параболического цилиндров.

Для гиперболического цилиндра:\\
Направляющая: $\vec{\rho}=\left\{\frac{a}{2}\left(u+\frac{1}{u}\right), \frac{b}{2}\left(u-\frac{1}{u}\right),0\right\}$,\\
Образующая: $\vec{\mu}=\{0,0,1\}$,
Уравнение:
\begin{equation*}
    \vec{R}=\vec{\rho}(u)+v\vec{e}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
   \left\{
  \begin{aligned}
  &x=a\,\mbox{ch}\,u, \\
  &y=b\,\mbox{sh}\,u,\\
  &z=v.
  \end{aligned}
 \right.
\end{equation*}

Для параболического цилиндра --- самостоятельно.
 


==== Задание 4 (Феденко 541) ====

Задана точка $M(a,b,c)$ и линия $L$:
\begin{equation*}
    x=f(u), \,\, y=\varphi(u), \,\, z=\psi(u).
\end{equation*}
Напишите в параметрическом и неявном виде уравнения конуса с вершиной в точке $M$ и с направляющей линией $L$.

Коническая поверхность:\\
Вершина в точке $M(a,b,c)$,\\
Направляющая: $\vec{\rho}=\{f(u), \varphi(u), \psi(u)\}$,\\
Образующая:  $\vec{\mu}=\vec{\rho}(u)-\vec{\rho}_0=\{f(u)-a, \varphi(u)-b, \psi(u)-c\}$.
\begin{equation*}
    \vec{R}=\vec{\rho}_0+v(\vec{\rho}(u)-\vec{\rho}_0).
\end{equation*}
\begin{equation*}
   \left\{
  \begin{aligned}
  &x=a+v\left(f(u)-a\right), \\
  &y=b+v\left(\varphi(u)-b\right),\\
  &z=c+v\left(\psi(u)-c\right).
  \end{aligned}
 \right.
\end{equation*}

==== Задание 5 ====

Составьте параметрическое и неявное уравнения конуса, образуемого прямыми, проходящими через точку $M(1,1,1)$ и пересекающими эллипс:
\begin{equation*}
    x=a\,\mbox{cos}\,u, \,\, y=b\,\mbox{sin}\,u, \,\, z=0.
\end{equation*}

Коническая поверхность:\\
Вершина в точке $M(1,1,1)$,\\
Направляющая: $\vec{\rho}=\{a\,\mbox{cos}\,u, b\,\mbox{sin}\,u, 0\}$,\\
Образующая:  $\vec{\mu}=\vec{\rho}(u)-\vec{\rho}_0=\{a\,\mbox{cos}\,u-1, b\,\mbox{sin}\,u-1, -1\}$.
\begin{equation*}
    \vec{R}=\vec{\rho}_0+v(\vec{\rho}(u)-\vec{\rho}_0).
\end{equation*}
\begin{equation*}
   \left\{
  \begin{aligned}
  &x=1+v\left(a\,\mbox{cos}\,u-1\right), \\
  &y=1+v\left(b\,\mbox{sin}\,u-1\right),\\
  &z=1-v.
  \end{aligned}
 \right.
\end{equation*}

Неявное уравнение:
\begin{equation*}
    \left(\frac{x-z}{a}\right)^2+\left(\frac{y-z}{b}\right)^2=(1-z)^2.
\end{equation*}

==== Задание 6 (Феденко 529) ====

Напишите уравнение тора, который получается при вращении окружности
\begin{equation*}
 x=a+b\,\mbox{cos}\,u, \,\, y=0 , \,\, z=b\,\mbox{sin}\,u  \,\, (b<a)
\end{equation*}
вокруг оси $Oz$.

\begin{equation*}
 x=(a+b\,\mbox{cos}\,u)\,\mbox{cos}\,v, \,\, y= (a+b\,\mbox{cos}\,u)\,\mbox{sin}\,v, b\, \,\, z=\mbox{sin}\,u.
\end{equation*}