==Вронскиан и его применения== **Вронскианом** системы функций $ \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} $ называется определитель $$ W(u_1(x),\dots,u_n(x))= \left| \begin{array}{llll} u_1(x) & u_2(x) & \dots & u_n(x) \\ u_1^{\prime}(x) & u_2^{\prime}(x) & \dots & u_n^{\prime}(x) \\ u_1^{\prime \prime}(x) & u_2^{\prime \prime}(x)&\dots& u_n^{\prime \prime}(x)\\ \dots & & & \dots \\ u_1^{(n-1)}(x) &u_2^{(n-1)}(x) &\dots & u_n^{(n-1)}(x) \end{array} \right| \ ; $$ (функции предполагаются $ (n-1) $ раз дифференцируемыми при в точке $ x_{} $). !!Т!! **Теорема.** //Аналитические на интервале// $ ]a,b[ $ //функции// $ u_1(x),\dots,u_n(x) $ //будут ((:linear_space#линейная_зависимость_базис_координаты линейно зависимыми)) на// $ ]a,b[ $ //тогда и только тогда, когда// $$ W(u_1(x),\dots,u_n(x))\equiv 0 \quad \mbox{ на } \quad ]a,b[ \, . $$ !!?!! Являются ли системы функций **a)** $ \{ 1,\cos^2 x,\cos^4 x,\cos (4\,x) \} $; **б)** $ \{ 1,\sin^2 x,\sin^4 x,\sin (4\,x) \} $; **в)** $ \{ \sin x,\sin^3 x,\sin (3\,x) \} $ линейно зависимыми на $ \mathbb R $? **Решение** (частичное) ☞ ((:complex_num#синус_и_косинус_кратного_угла ЗДЕСЬ)). Условие аналитичности функций является существенным для необходимости и достаточности условия теоремы. Так, функции $$ u_1(x)=x^2 \quad u \quad u_2(x)=\left\{ \begin{array}{rl} -x^2 & npu \ x<0 \\ x^2 & npu \ x\ge 0 \end{array} \right. $$ являются линейно независимыми, но их вронскиан тождественно равен нулю при $ x\in \mathbb R $. Однако, поскольку практически все встречавшиеся мне на практике функции были аналитическими, то я обычно не заморачиваю себе голову дополнительными проверками... !!=>!! Если $ W(u_1,u_2,\dots,u_n) \equiv 0 $ при $ \forall x\in ]a,b[ $, а $ W(u_2,\dots,u_n) \ne 0 $ при $ \forall x\in ]a,b[ $, то существуют такие постоянные $ c_2,\dots,c_n $, что $$ u_1 \equiv c_2u_2+\dots+c_n u_n \quad npu \quad x \in ]a,b[ \ . $$ !!Т!! **Теорема.** При любых постоянных $ \{c_{jk}\}_{j,k=1}^n $ выполяется равенство $$W(c_{11}u_1+c_{12}u_2+\dots+c_{1n}u_n,c_{21}u_1+c_{22}u_2+\dots+c_{2n}u_n,\dots, c_{n1}u_1+c_{n2}u_2+\dots+c_{nn}u_n)= $$ $$ =\det \left[ c_{jk}\right]_{j,k=1}^n W(u_1,u_2,\dots,u_n) \ . $$ !!Т!! **Теорема.** $$ W(u_1(\phi(x)),u_2(\phi(x)),\dots,u_n(\phi(x))) \equiv \left( \phi(x) \right)^n W(u_1(y),u_2(y),\dots,u_n(y)) \ , $$ //здесь после вычисления вронскиана в правой части тождества, в него производится подстановка// $ y= \phi(x) $. !!Т!! **Теорема [Кристофель].** //Если// $ \{u(x),u_1(x),\dots,u_n(x)\} $ --- //функции// $ (n-1) $ //раз дифференцируемые на// $ ]a,b[ $, то $$ W(u(x)u_1(x),\dots,u(x)u_n(x))\equiv (u(x))^n W(u_1(x),\dots,u_n(x)) \ \mbox{ на } ]a,b[ \ . $$ !!Т!! **Теорема.** //Если функции// $ \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} $ //дифференцируемы// $ n_{} $ //раз, то дифференцирование вронскиана сводится к дифференцированию его последней строки//: $$ \frac{d\, }{d\, x} \left| \begin{array}{llll} u_1(x) & u_2(x) & \dots & u_n(x) \\ u_1^{\prime}(x) & u_2^{\prime}(x) & \dots & u_n^{\prime}(x) \\ u_1^{\prime \prime}(x) & u_2^{\prime \prime}(x)&\dots& u_n^{\prime \prime}(x)\\ \dots & & & \dots \\ u_1^{(n-2)}(x) &u_2^{(n-2)}(x) &\dots & u_n^{(n-2)}(x) \\ u_1^{(n-1)}(x) &u_2^{(n-1)}(x) &\dots & u_n^{(n-1)}(x) \end{array} \right| \equiv \left| \begin{array}{llll} u_1(x) & u_2(x) & \dots & u_n(x) \\ u_1^{\prime}(x) & u_2^{\prime}(x) & \dots & u_n^{\prime}(x) \\ u_1^{\prime \prime}(x) & u_2^{\prime \prime}(x)&\dots& u_n^{\prime \prime}(x)\\ \dots & & & \dots \\ u_1^{(n-2)}(x) &u_2^{(n-2)}(x) &\dots & u_n^{(n-2)}(x) \\ u_1^{(n)}(x) &u_2^{(n)}(x) &\dots & u_n^{(n)}(x) \end{array} \right| $$ **Доказательство** следует из ((algebra2:dets#дифференцирование_определителя правила дифференцирования определителя)) и свойства определителя, сформулированного в теореме $ 4 $ ☞ ((:algebra2/dets/prop ЗДЕСЬ)). ♦ **Задача.** По заданной системе функций $ \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} $ построить дифференциальное уравнение, которому они удовлетворяют. !!Т!! **Теорема.** //Если вронскиан// $ W(u_1(x),\dots,u_n(x)) $ //не равен тождественно нулю, то набор// $ \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} $ //образует фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения// $ n $//-го порядка// $$ \frac{W(u_1(x),\dots,u_n(x),y(x))}{W(u_1(x),\dots,u_n(x))}=0 \ , $$ (//коэффициент при// $ y^{(n)}(x) $// равен// $ 1 $).