!!§!! Вспомогательная страница к разделу ☞ ((algebra2:dets#тождество_сильвестра ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ)). Содержит материал теоретического значения, не очень существенный[[По крайней мере, в ближайшей перспективе.]] для остальных разделов. ---- == Тождества Сильвестра для определителя == !!Т!! **Теорема 1.** //Рассмотрим определитель матрицы// $ n_{} $//-го порядка// $ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^n $. //Составим новый определитель из его ((algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения алгебраических дополнений))// $ A_{ij} $ //к элементам, стоящим на пересечении первых// $ k_{} $ //строк и первых// $ k_{} $ //столбцов.// //Имеет место// **равенство** (**тождество**) **Сильвестра**: $$ \left|\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k} \\ \dots & & & \dots \\ A_{k1} & A_{k2} & \dots & A_{kk} \end{array} \right|= (\det A)^{k-1} \left|\begin{array}{llll} a_{k+1,k+1} & a_{k+1,k+2} & \dots & a_{k+1,n} \\ a_{k+2,k+1} & a_{k+2,k+2} & \dots & a_{k+2,n} \\ \dots & & & \dots\\ a_{n,k+1} & a_{n,k+2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right|\ , $$ //т.е. новый определитель получается как произведение степени// $ \det A_{} $ //на минор этого определителя, полученный вычеркиванием первых// $ k_{} $ //строк и первых// $ k_{} $ //столбцов.// **Доказательство.** Составим вспомогательную матрицу $$ B=\left(\begin{array}{ccccccc} A_{11} & \dots & A_{1k} & A_{1,k+1} & A_{1,k+2} & \dots & A_{1n} \\ \dots & & \dots & \dots & & & \dots \\ A_{k1} & \dots & A_{kk} & A_{k,k+1} & A_{k,k+2} & \dots & A_{kn} \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & & \ddots & \\ 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{array} \right)_{n\times n} \ , $$ определитель которой ((algebra2:dets#теорема_лапласа очевидно)) равен определителю из левой части тождества. Вычислим $$ \det (A \cdot B^{\top} ) $$ двумя способами. С одной стороны, на основании ((algebra2:dets#теорема_бине_-_коши теоремы Бине-Коши)) и ((algebra2:dets#элементарные_свойства_определителя свойства)) 1 определителя, этот определитель равен $$ (\det A) \cdot (\det B)\ . $$ С другой стороны, мы можем сначала вычислить произведение матриц, стоящих под знаком определителя. На основании ((algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения теоремы)) о сумме произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к другой строке, это произведение будет равно: $$ \left( \begin{array}{ccccllcl} \det A & 0 & \dots & 0 & a_{1,k+1} & a_{1,k+2} & \dots & a_{1n} \\ 0 & \det A & \dots & 0 & a_{2,k+1} & a_{2,k+2} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots &\vdots & & & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & \det A & a_{k,k+1} & a_{k,k+2} & \dots & a_{kn} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & a_{k+1,k+1} & a_{k+1,k+2} & \dots & a_{k+1,n} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & a_{k+2,k+1} & a_{k+2,k+2} & \dots & a_{k+2,n} \\ \dots & & & \dots &\dots & & & \dots\\ 0 & 0 & \dots & 0 & a_{n,k+1} & a_{n,k+2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right) \ . $$ Таким образом, получили равенство $$ \det A \cdot \left|\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k} \\ \dots & & & \dots \\ A_{k1} & A_{k2} & \dots & A_{kk} \end{array} \right|=\det (A \cdot B^{\top} ) =(\det A)^k \left|\begin{array}{llll} a_{k+1,k+1} & a_{k+1,k+2} & \dots & a_{k+1,n} \\ a_{k+2,k+1} & a_{k+2,k+2} & \dots & a_{k+2,n} \\ \dots & & & \dots\\ a_{n,k+1} & a_{n,k+2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \ , $$ откуда и следует доказываемое равенство в случае $ \det A \ne 0 $. Случай $ \det A=0 $ требует более изощренных рассуждений. Введем в рассмотрение параметр $ \lambda_{} $ и рассмотрим новый определитель $$ \det (A-\lambda E ) \ , $$ где $ E_{} $ означает ((:algebra2#единичная единичную матрицу)) порядка $ n_{} $. Этот определитель имеет специальное название и особенное значение в другом ☞ ((:algebra2:charpoly РАЗДЕЛЕ)), но это обстоятельство не имеет значения для последующих рассуждений. Применим к этому определителю только что проведенные рассуждения; результатом будет равенство, которое будет зависеть теперь и от параметра: $$ \det (A-\lambda E ) \left|\begin{array}{cccc} A_{11}(\lambda) & A_{12}(\lambda) & \dots & A_{1k}(\lambda) \\ A_{21}(\lambda) & A_{22}(\lambda) & \dots & A_{2k}(\lambda) \\ \dots & & & \dots \\ A_{k1}(\lambda) & A_{k2}(\lambda) & \dots & A_{kk}(\lambda) \end{array} \right|=(\det (A-\lambda E ))^k \left|\begin{array}{cccc} a_{k+1,k+1}-\lambda & a_{k+1,k+2} & \dots & a_{k+1,n} \\ a_{k+2,k+1} & a_{k+2,k+2}-\lambda & \dots & a_{k+2,n} \\ \dots & & & \dots\\ a_{n,k+1} & a_{n,k+2} & \dots & a_{nn}-\lambda \end{array} \right| \ . $$ Это равенство является тождеством по $ \lambda_{} $: оно справедливо для всех значений параметра. В каждой части сомножители оказываются ((:polynomial#полином_одной_переменной полиномами)) по этому параметру, следовательно на основании свойства делимости полиномов, обе части тождества можно разделить на $ \det (A_{}-\lambda E ) $. Получившееся тождество остается верным при всех значениях $ \lambda_{} $, а в частности и при значении $ \lambda_{}=0 $, при котором оно обращается в равенство из утверждения теоремы. ♦ !!=>!! При $ k=n_{} $ тождество Сильвестра дает возможность вычислить определитель матрицы ((:algebra2#обращение_матрицы взаимной)) матрице $ A_{} $: $$ \det \left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ A_{n1} & A_{n2} & \dots & A_{nn} \end{array} \right)^{\top} = (\det A)^{n-1} \ . $$ !!=>!! При $ k_{}=2 $ получаем $$ A\left( \begin{array}{ccccccccc} 1 & \dots & j-1 & j+1 & \dots & k-1 & k+1 & \dots & n \\ 1 & \dots & j-1 & j+1 & \dots & k-1 & k+1 & \dots & n \end{array} \right) \det A = A_{jj}A_{kk}-A_{jk}A_{kj} \ , $$ т.е. для вычисления определителя $ n_{} $-го порядка достаточно знать величины четырех миноров $ (n-1)_{} $-го порядка и одного минора $ (n-2)_{} $-го порядка --- в случае, если этот последний отличен от нуля. В случае ((:algebra2#симметричная симметричной матрицы)) $ A_{} $ число миноров $ (n-1)_{} $-го порядка уменьшается до трех: $$ A\left( \begin{array}{ccccccccc} 1 & \dots & j-1 & j+1 & \dots & k-1 & k+1 & \dots & n \\ 1 & \dots & j-1 & j+1 & \dots & k-1 & k+1 & \dots & n \end{array} \right) \det A = A_{jj}A_{kk}-A_{jk}^2 \ . $$ !!П!! **Пример.** Для определителя четвертого порядка один из вариантов тождества представлен ☞ ((algebra2:det4x4 ЗДЕСЬ)). !!Т!! **Теорема 2.** //В матрице// $ A $ //рассмотрим главный минор порядка// $ k $: $$ A_k=A\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \dots & k \\ 1 & 2 & \dots & k \end{array} \right)= \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} \\ \dots & & & \dots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} \end{array} \right| \ , $$ //а также все его ((:algebra2:rank#metod_okajmljajuschix_minorov окаймляющие миноры))// $$ B_{j\ell}=A\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & \dots & k & j \\ 1 & 2 & \dots & k & \ell \end{array} \right)= \left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} & a_{1 \ell} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} & a_{2 \ell} \\ \dots & & & \dots & \dots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} & a_{k \ell} \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jk} & a_{j \ell} \end{array} \right| \quad npu \quad \{j, \ell\} \subset \{k+1,\dots n \} \ . $$ //Составим из// $ B_{j\ell} $ //матрицу. Имеет место// **равенство** (**тождество**) **Сильвестра**: $$ \det \left[ B_{j\ell} \right]_{j, \ell=k+1}^n = A_k^{n-k-1} \det A \ . $$ ==Источники== Доказательство теоремы 1 (с незначительной модификацией) взято из [1]. **Нетто Е.** //((:references#netto Начала теорiи определителей))//. Mathesis. Одесса. 1912, cc.62-63