!!Т!! **Теорема.** //Полиномы// $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ //имеют общий корень тогда и только тогда,
когда найдутся два полинома// $ \{u(x),v(x)\} \subset \mathbb C[x] $ //хотя бы один из которых не тождественный нуль и//
$ \deg u< \deg f, \deg v < \deg g $
//такие, что выполняется тождество//

$$ f(x)v(x)+g(x)u(x) \equiv 0 \ . $$

Доказательство  методом неопределенных коэффициентов: 
$$u(x):=U_0x^{n-1}+\dots+U_{n-1}, \ v(x):=V_0x^{m-1}+\dots+V_{m-1} \ . $$
Система линейных уравнений составляется приравниванием $0$ коэффициентов левой части тождества при $x^{n+m-1},\dots, x, 1 $.
С квадратной матрицей --- транспонированной Сильвестра для полиномов $ f(x) $ и $ g(x) $. Нетривиальное решение у однородной системы. Определитель равен нулю. 

Обратное тоже верно.

Здесь существенно именно ограничение на степени полиномов $u$ и $ v $. С другими парами --- $ (f,u)$, $ (g,v) $ или $ (u,v) $
--- те же рассуждения "не прокатят".

<note> Кажется, в таком виде результат был у Бохера... 
</note>