☞
((:detse:resultante English version))
Для понимания материалов настоящего раздела крайне желательно ознакомиться с разделами
☞
((/polynomial ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ)) и
☞
((:algebra2:dets ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ))
==Результант==
~~TOC~~
Будем обозначать через $ \mathbb A_{} $ какое-либо из множеств $ \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $.
===Результант в форме Сильвестра==
Для ((:polynomial полиномов)) $ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n $ и $ g(x)=b_{0}x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_m $ при $ a_{0}\ne 0, b_0\ne 0 $ рассмотрим квадратную матрицу порядка $ m+n_{} $
$$
M=\left(\begin{array}{cccccccccc}
a_0&a_1&a_2&\ldots&\ldots&a_n&0&\dots &0 &0\\
0&a_0&a_1&\ldots&\ldots&a_{n-1}&a_n&\dots&0 &0\\
\vdots&&\ddots&&&&&&\ddots\\
0&0&\ldots&a_0&\ldots&\ldots & & \ldots &a_{n-1} &a_n\\
0&0&\ldots&&b_0&b_1&\ldots& \ldots &b_{m-1}&b_m\\
0&0&\ldots&b_0&b_1&\ldots &&\ldots &b_m&0\\
\vdots&&&\ldots&&&& &&\vdots\\
0&b_0&\ldots&\ldots&&b_m&\ldots&&\ldots&0\\
b_0&\ldots&\ldots&&b_m&0&\ldots&&&0
\end{array}\right)
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
\\ \\ \\ \\
\end{array}\right\} m
\\
\left. \begin{array}{l}
\\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\right\} n
\end{array}
$$
(элементы выше $ a_{n} $ и $ b_{0} $, и ниже $ a_{0} $ и $ b_{m} $ все равны нулю). Выражение
$$
{\mathcal R}(f,g)= (-1)^{n_{}(n-1)/2} \det M
$$
называется **результантом**[[Resultant (//лат.//) --- отражающий; термин введен Лапласом в 1776 г.]] (**в форме Сильвестра**) полиномов $ f_{} $ и $ g_{} $ .
В подавляющем большинстве учебников определение результанта приводится в несколько иной форме: строки коэффициентов полинома $ g_{}(x) $ переставляются местами так, чтобы образовывались ступеньки из них, поднимающиеся из правого нижнего угла. Так, к примеру,
$$
{\mathcal R}(a_0x^3+a_1x^{2}+a_2x+a_3,\ b_0x^3+b_1x^{2}+b_2x+b_3)=
$$
$$
=
\left|\begin{array}{cccccc}
a_0&a_1&a_2&a_3 & &\\
& a_0&a_1&a_2&a_3 & \\
& & a_0&a_1&a_2&a_3 \\
b_0&b_1&b_2&b_3 & &\\
& b_0&b_1&b_2&b_3 & \\
& & b_0&b_1&b_2&b_3
\end{array}\right| \ .
$$
Такое определение позволяет сэкономить на знаке $ (-1)^{n_{}(n-1)/2} $, стоящем в определении. Тем не менее, из соображений, которые будут понятны
☟
((#субрезультанты_и_наибольший_общий_делитель НИЖЕ)), мне удобней использовать именно приведенную выше форму матрицы.
!!П!! **Пример.**
$$
{\mathcal R}(a_0x^2+a_1x+a_2,\ b_0x^2+b_1x+b_2)=
$$
$$
=(a_0b_2-a_2b_0)^2-(a_0b_1-a_1b_0)(a_1b_2-a_2b_1) \, .
$$
!!Т!! **Теорема.** //Если// $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ --- //корни полинома// $ f_{}(x) $,// а //$ \mu_{1},\dots,\mu_m $ --- //корни полинома//[[В обоих случаях --- с учетом их ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратностей)).]] $ g_{}(x) $ , //то//
$$
{\mathcal R}(f,g)= a_0^m b_0^n \prod_{k=1}^m \prod_{j=1}^n (\lambda_j - \mu_k) \ .
$$
!!=>!!
$$
{\mathcal R}(f,g)= a_0^m \prod_{j=1}^n g(\lambda_j)= (-1)^{mn} b_0^n \prod_{k=1}^m f(\mu_k) \ .
$$
!!=>!! $ {\mathcal R}(f,g)=0_{} $ тогда и только тогда, когда полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ имеют общий корень.
!!§!! ''Откуда возникает результант в форме Сильвестра см.''
☞
((dets:resultant:idea ЗДЕСЬ))
!!П!! **Пример.** Найти все значения параметра $ {\color{Red} \alpha } $, при которых полиномы
$$ x^{3}+{\color{Red} \alpha }\,x+1 \ \mbox{ и } \ x^{2}+{\color{Red} \alpha }\,x+1 $$
имеют общий корень.
**Решение.** Вычисляем определитель с помощью ((algebra2:dets#метод_приведения_к_треугольному_виду_метод_гаусса элементарных преобразований строк)):
$$
{\mathcal R}(x^3+{\color{Red} \alpha }\,x+1,\ x^2+{\color{Red} \alpha }\,x+1)= (-1)^{3\cdot 2/2}\left| \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & {\color{Red} \alpha } & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & {\color{Red} \alpha } & 1 \\
0 & 0 & 1 & {\color{Red} \alpha } & 1 \\
0 & 1 & {\color{Red} \alpha } & 1 & 0 \\
1 & {\color{Red} \alpha } & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right| =-
\left| \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & {\color{Red} \alpha } & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & {\color{Red} \alpha } & 1 \\
0 & 0 & 1 & {\color{Red} \alpha } & 1 \\
0 & 0 & {\color{Red} \alpha } & 1-{\color{Red} \alpha } & -1 \\
0 & {\color{Red} \alpha } & 1-{\color{Red} \alpha } & -1 & 0
\end{array}
\right|=
$$
(первую строку вычли из последней, вторую --- из предпоследней), ((algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения разложим по элементам первого столбца)):
$$
=-\left| \begin{array}{cccc}
1 & 0 & {\color{Red} \alpha } & 1 \\
0 & 1 & {\color{Red} \alpha } & 1 \\
0 & {\color{Red} \alpha } & 1-{\color{Red} \alpha } & -1 \\
{\color{Red} \alpha } & 1-{\color{Red} \alpha } & -1 & 0
\end{array}
\right|=-
\left| \begin{array}{cccc}
1 & 0 & {\color{Red} \alpha } & 1 \\
0 & 1 & {\color{Red} \alpha } & 1 \\
0 & {\color{Red} \alpha } & 1-{\color{Red} \alpha } & -1 \\
0 & 1-{\color{Red} \alpha } & -1-{\color{Red} \alpha }^2 & -{\color{Red} \alpha }
\end{array}
\right|=
$$
(из последней строки вычли первую, домноженную на $ {\color{Red} \alpha } $), снова разложим по первому столбцу:
$$
=-\left| \begin{array}{ccc}
1 & {\color{Red} \alpha } & 1 \\
{\color{Red} \alpha } & 1-{\color{Red} \alpha } & -1 \\
1-{\color{Red} \alpha } & -1-{\color{Red} \alpha }^2 & -{\color{Red} \alpha }
\end{array}
\right|=
-\left| \begin{array}{ccc}
1 & {\color{Red} \alpha } & 1 \\
{\color{Red} \alpha }+1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 0
\end{array}
\right|=
$$
(ко второй строке прибавили первую, к третьей --- первую, домноженную на $ {\color{Red} \alpha } $), разложим по последнему столбцу:
$$
=-\left| \begin{array}{cc}
{\color{RubineRed} \alpha }+1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}
\right|=-(-({\color{Red} \alpha }+1)-1)={\color{Red} \alpha }+2 \ .
$$
**Ответ.** $ {\color{Red} \alpha }=-2_{} $.
**Проверка.** $ x^{3}-2\,x+1\equiv (x-1)(x^2+x-1),\ x^2-2\,x+1\equiv (x-1)(x+1) $.
!!?!! Найти все значения параметра $ {\color{Red} \alpha } $, при которых полиномы
$$ x^{3}+{\color{Red} \alpha }\,x^2-14 \quad \mbox{ и } \ x^{3}+{\color{Red} \alpha }\,x-14 $$
имеют общий корень.
!!§!! В частном случае $ g_{}(x)\equiv f^{\prime}(x) $ результант превращается в ((dets:discrim#дискриминант)).
Основная цель введения результанта -- ((:dets:resultant#исключение_переменных_в_системе_полиномиальных_уравнений исключение переменных в системе полиномиальных уравнений )).
===Свойства==
1.
Если $ \deg f(x) = n_{} $, $ \deg g(x)=m_{} $, то
$$ {\mathcal R}(f,g)=(-1)^{nm}{\mathcal R}(g,f) \ . $$
2.
$$
{\mathcal R}\left(f_1\cdot f_2,\, g\right)={\mathcal R}(f_1,\,g)\cdot {\mathcal R}(f_2,\, g)
$$
3.
$${\mathcal R}(Af(x)+Bg(x),Cf(x)+Dg(x))=(AD-BC)^n{\mathcal R}\left(f(x),g(x)\right)$$
Последнее равенство справедливо в предположении, что
$$ \deg f= n\ge m =\deg g \ge 1 \quad u \quad \deg (Af(x)+Bg(x))=\deg (Cf(x)+Dg(x))= n \ .$$
4.
Если $ f(x)=a_{0}x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n $ и $ g(x)=b_{0}x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_m $
и числа $ a_{0},a_n,b_0,b_m $ отличны от нуля, то
$$ {\mathcal R}(f,g) = (-1)^{mn}{\mathcal R}(a_nx^n+\ldots+a_0,b_mx^m+\ldots+b_0) \ .$$
===Результант как полиномиальная функция коэффициентов==
По построению, результант является ((:polynomialm полиномом)) с целыми коэффициентами относительно коэффициентов полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $:
$$ {\mathcal R}(a_0 x^n+ \ldots + a_{n}, b_0x^m + \ldots + b_m)\equiv R(a_0,\dots,a_n,b_0,\dots,b_m) \in {\mathbb Z}[a_0,\dots,a_n,b_0,\dots,b_m]
\ ;$$
степень этого полинома равна $ mn_{} $. Как полином от $ a_0,\dots,a_{n} $ результант является ((:polynomialm#однородный_полином однородным)) степени $ m_{} $; как полином от $ b_{0},\dots,b_m $ результант является однородным степени $ n_{} $.
!!Т!! **Теорема.** //Если полиномы// $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ //имеют единственный общий корень// $ \lambda_{} $, //то//
$$ \lambda^j : \lambda^k = \frac{\partial R}{\partial a_{n-j-\ell}} :
\frac{\partial R}{\partial a_{n-k-\ell}} = \frac{\partial R}{\partial b_{m-j-q}} :
\frac{\partial R}{\partial b_{m-k-q}} $$
//при любых// $ \{j,k,\ell,q_{} \}\subset \{0,1,2,\dots \} $.
**Доказательство.** Рассмотрим случай $ j=0, k=1 $. Продифференцируем по $ b_{q} $ определяющее результант равенство:
$$
{\mathcal R}(f,g)= a_0^m \prod_{j=1}^n g(\lambda_j) \ ;
$$
получим:
$$
\frac{\partial R}{\partial b_{q}}= \sum_{j=1}^n \frac{\partial g(\lambda_j)}{\partial b_{q}} \cdot \prod_{j=1 \atop j\ne q}^n g(\lambda_j) =
\sum_{j=1}^n \lambda_j^{m-q} \prod_{j=1 \atop j\ne q}^n g(\lambda_j) \ .
$$
Если полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ имеют единственный общий корень $ \lambda_1 $, то последнее равенство преобразуется в
$$
\frac{\partial R}{\partial b_{q}}=\lambda_1^{m-q} \prod_{j=2}^n g(\lambda_j)
$$
и произведение $ \prod $ отлично от нуля. Поскольку равенство справедливо для любых значений $ q_{} $, то
$$
\frac{\partial R}{\partial b_{q-1}} \Bigg/ \frac{\partial R}{\partial b_{q}}= \lambda_1 \ ,
$$
а общий случай из теоремы доказывается аналогично.
♦
===Субрезультанты и наибольший общий делитель==
Рассмотрим матрицу $ M_{} $ из ((#результант_в_форме_сильвестра определения результанта)) и удалим из нее первую и последнюю строки, а также первый и последний столбцы. Получим снова квадратную матрицу порядка $ m_{}+n-2 $. Определитель получившейся матрицы:
$$
{\mathcal R}^{(1)}(f,g)=
\left|\begin{array}{cccccccc}
a_0&a_1&\ldots&\ldots&a_{n-1}&a_n&\dots&0 \\
\vdots&\ddots&&&&&\ddots\\
0&\ldots&a_0&\ldots&\ldots & & \ldots &a_{n-1} \\
0&\ldots&&b_0&b_1&\ldots& \ldots &b_{m-1}\\
0&\ldots&b_0&b_1&\ldots &&\ldots &b_m\\
\vdots&&\ldots&&&& &\vdots\\
b_0&\ldots&\ldots&&b_m&\ldots&&0
\end{array}\right|
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
\\ \\ \\
\end{array}\right\} m-1
\\
\left. \begin{array}{l}
\\ \\ \\ \\
\end{array}\right\} n-1
\end{array}
$$
называется **первым субрезультантом** результанта $ {\mathcal R}(f_{},g) $.
!!Т!! **Теорема.** //Для того чтобы полиномы// $ f_{}(x) $ //и// $ g_{}(x) $ //имели один и только один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы//
$${\mathcal R}(f,g)=0,\ {\mathcal R}^{(1)}(f,g)\ne 0\ .$$
!!=>!! При выполнении условий предыдущей теоремы единственный общий корень полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ можно выразить в виде рациональной функции коэффициентов полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $:
$$
\lambda=-{\det M_1^{(1)}\over {\mathcal R}^{(1)}(f,g)} .
$$
Здесь матрица $ M_1^{(1)} $ получается из $ M_{} $ удалением первой и последней строк, первого и __предпоследнего__ столбцов.
!!П!! **Пример.** При выполнении условий теоремы для полиномов
$$
f(x)=a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5 \ u \ g(x)=b_0x^3+b_1x^2+b_2x+b_3
$$
($ a_{0} \ne 0, b_0 \ne 0 $) их общий корень выражается формулой
$$ \lambda =-
\left|
\begin{array}{cccccc}
a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&0\\
0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_5\\
0&0&0&b_0&b_1&b_3\\
0&0&b_0&b_1&b_2&0\\
0&b_0&b_1&b_2&b_3&0\\
b_0&b_1&b_2&b_3&0&0
\end{array}\right| \Bigg/
\left|\begin{array}{cccccc}
a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\
0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4\\
0&0&0&b_0&b_1&b_2\\
0&0&b_0&b_1&b_2&b_3\\
0&b_0&b_1&b_2&b_3&0\\
b_0&b_1&b_2&b_3&0&0
\end{array} \right| \ .
$$
Определитель матрицы $ M_{k} $, получаемой из матрицы $ M_{} $ вычеркиванием $ k_{} $ первых и $ k_{} $ последних столбцов,
$ k_{} $ первых и $ k_{} $ последних строк, называется $ {\mathbf k} $**-м субрезультантом**
полиномов $ f_{} $ и $ g_{} $ и обозначается $ {\mathcal R}^{(k)}(f,g) $. Для однообразия
будем считать нулевым субрезультантом определитель матрицы $ M_{} $:
$$ {\mathcal R}^{(0)}(f,g)= \det M =(-1)^{n(n-1)/2}{\mathcal R}(f,g) . $$
!!П!! **Пример.** Для полиномов
$ f(x)=a_{0}x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5 $ и $ g(x)=b_{0}x^3+ b_1x^2+b_2x+b_3 $:
$$
{\mathcal R}^{(2)}(f,\ g)=
\left|\begin{array}{cccc}
a_0&a_1&a_2&a_3\\
0&0&b_0&b_1\\
0&b_0&b_1&b_2\\
b_0&b_1&b_2&b_3
\end{array} \right| ;\
{\mathcal R}^{(3)}(f,\ g)
=\left|\begin{array}{cc}
0&b_0\\
b_0&b_1
\end{array}\right| = -b_0^2 .
$$
!!§!! ''Откуда возникают субрезультанты см.''
☞
((dets:resultant:idea#откуда_берутся_субрезультанты ЗДЕСЬ))
!!Т!! **Теорема.** //Для того чтобы полиномы// $ f_{}(x) $ //и// $ g_{}(x) $ //имели ((:polynomial#наибольший_общий_делитель наибольший общий делитель)) степени// $ k>0 $, //необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия//
$${\mathcal R}(f,g)=0,\ {\mathcal R}^{(1)}(f,g)= 0,\ \dots , {\mathcal R}^{(k-1)}(f,g)= 0, {\mathcal R}^{(k)}(f,g)\ne 0.$$
!!=>!! При выполнении условий предыдущей теоремы наибольший общий делитель
полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ можно представить в виде
$$
\operatorname{HOD} (f(x),g(x)) \equiv x^k{\mathcal R}^{(k)}(f,g) +x^{k-1} \det M_k^{(1)} +\ldots +\det M_k^{(k)} .
$$
Здесь $ M_k^{(j)} $ --- матрица, получаемая из субрезультанта $ {\mathcal R}^{(k)}(f,g) $ заменой последнего его столбца на столбец
$$
[a_{m+n-2k+j-1}, a_{m+n-2k+j-2},\dots, a_{n-k+j},b_{m-k+j},b_{m-k+j+1},\dots,b_{m+n-2k+j-1}]^{\top}
$$
(полагаем $ a_{K}=0 $ при $ K>n_{} $ и $ b_{L}=0 $ при $ L>m_{} $).
!!П!! **Пример.** Найти наибольший общий делитель полиномов
$$ f(x)= x^6-x^5+3\,x^{3}-2\,x^2+1 \quad u \quad g(x)=x^{5}+x^3+x^2+2\,x+1 \ . $$
**Решение.** Опуская вычисления, приведем лишь окончательный результат:
$$
{\mathcal R}(f,g)=0,\ {\mathcal R}^{(1)}(f,g)= 0,\ {\mathcal R}^{(2)}(f,g)= 0, \ {\mathcal R}^{(3)}(f,g)=
\left|
\begin{array}{rrrrr}
1 & -1 & 0 & 3 & -2 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 2
\end{array}
\right|
=-7 \ne 0
$$
Таким образом, $ \operatorname{HOD} (f(x),g(x)) $ имеет степень $ 3 $. Для его нахождения составим определитель заменой последнего столбца субрезультанта $ {\mathcal R}^{(3)} $:
$$
\operatorname{HOD} (f(x),g(x)) =\left|
\begin{array}{rrrrr}
1 & -1 & 0 & 3 & -2\,x^3+x \\
0 & 1 & -1 & 0 & 3\,x^3-2\,x^2+1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & x^3+x^2+2\,x+1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & x^3+2\,x^2+x \\
1 & 0 & 1 & 1 & 2\,x^3+x^2
\end{array}
\right|=-7\,x^3 +7\,x^2-7\,x-7 \ .
$$
**Ответ.** $ x^3-x^{2}+x+1 $.
В частном случае $ g(x)\equiv f^{\prime}(x) $ субрезультанты превращаются в ((dets:discrim#субдискриминанты субдискриминанты)).
===Результант в форме Кронекера==
Для полиномов
$$
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n\quad u \quad g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\ldots+b_m
$$
($ a_{0}\ne 0 $) построим сначала формальное разложение дроби $ g_{}(x)/f(x) $ в ((:fraction#лорана ряд Лорана)) по отрицательным степеням $ x_{} $.
Для случая $ \deg g < \deg f $ выписываем разложение
$$
\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{c_0}{x}+\frac{c_1}{x^2}+\dots+\frac{c_j}{x^{j+1}}+\dots \ ,
$$
домножаем обе части на $ f_{}(x) $ и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $ x_{} $ в левой и правой частях получившегося равенства. В случае $ m=n-1 $
формулы, выражающие коэффициенты $ c_{j} $ через коэффициенты полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ следующие:
$$
\begin{array}{ll}
c_0&=b_{0}/a_0,\\
c_1& =(-c_{0}a_1+b_1)/a_0,\\
c_2& =(-c_{0}a_2-c_1a_1+b_2)/a_0, \\
\dots & \dots \\
c_{n-1}&=(-c_0a_{n-1}-c_1a_{n-2}-\dots-c_{n-2}a_1+b_{n-1})/a_0,\\
c_{K+n}&=(-c_{K}a_{n}-c_{K+1}a_{n-1}-\dots-c_{K+n-1}a_1)/a_0 \quad npu \quad \forall K \in \{0,1,2,\dots \} \ .
\end{array}
$$
В случае $ m
☞