!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:dets:gram МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ГРАМА))
----
!!Т!! **Теорема.** $ {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m) \ge 0 $ //для любой системы векторов// $ \{X_{1},\dots,X_m \} $.
**Доказательство.** Если система $ \{X_1,\dots,X_m \} $ линейно зависима, то
$ \mathfrak{G}(X_1,\dots,X_m)= 0 $ по теореме, доказанной
☞
((:euclid_space#свойства_матрицы_грама ЗДЕСЬ)). Пусть система
$ \{X_1,\dots,X_m \} $ линейно независима. Это означает, что
при любом ненулевом наборе скаляров $ \alpha_1,\dots,\alpha_m $
вектор $ Y=\alpha_1 X_1+\dots+\alpha_m X_m $ будет ненулевым:
$ Y \ne \mathbb O $. Следовательно
$$
0<\langle Y,Y \rangle=\underbrace{(\alpha_1,\dots, \alpha_m)
\left(
\begin{array}{ccc}
\langle X_1,X_1 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\
\dots & & \dots \\
\langle X_m,X_1 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{l}
\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_m
\end{array}
\right)}_{=F(\alpha_{_1},\dots,\alpha_{_m}) }
$$
при любых $ (\alpha_1, \dots , \alpha_m) \ne \mathbb O $.
Это означает положительную определенность квадратичной формы $ F(\alpha_1,\dots,\alpha_m) $.
По ((:2form#знакоопределенность критерию Сильвестра)) все главные миноры ее матрицы --- т.е. матрицы Грама --- дожны быть положительными:
$$\mathfrak{G}(X_1)> 0,\mathfrak{G}(X_1,X_2)>0,\dots,\mathfrak{G}(X_1,X_2,\dots,X_m)>0 \, .$$
♦