!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:dets:gram МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ГРАМА))
----
==Задачи==
1.
Пусть $ \{X_{1},\dots,X_n, Y_1,\dots,Y_n \} $ --- произвольная система векторов $ n_{} $-мерного пространства $ \mathbb E_{} $. Доказать, что
$$
{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_n){\mathfrak G}(Y_1,\dots,Y_n)=
\left|
\begin{array}{cccc}
\langle X_1,Y_1 \rangle & \langle X_1,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_1,Y_n \rangle \\
\langle X_2,Y_1 \rangle & \langle X_2,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_2,Y_n \rangle \\
\dots & && \dots \\
\langle X_n,Y_1 \rangle & \langle X_n,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_n,Y_n \rangle
\end{array}
\right|^2 \ .
$$
2.
Пусть $ \{X_{1},\dots,X_n \} $ и $ \{ {\mathfrak X}_{1},\dots, {\mathfrak X}_n \} $ --- два базиса
пространства $ \mathbb E_{} $, а $ C_{} $ --- ((:linear_space#преобразование_координат_при_замене_базиса матрица перехода)) от одного базиса к другому. Доказать, что
$$ G({\mathfrak X}_1,\dots, {\mathfrak X}_n )= C^{\top}G(X_1,\dots,X_n)C \ . $$
3.
Пусть $ \{X_{1},\dots,X_n \} $ --- произвольные векторы $ n_{} $-мерного пространства $ \mathbb E_{} $, а $ \mathcal A_{} $ --- ((mapping:operator линейный оператор)), действующий в этом пространстве. Доказать, что
$$ {\mathfrak G}(\mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A (X_n))=\left( \det (\mathcal A) \right)^2 \cdot {\mathfrak G}(X_1,\dots, X_n) \ . $$
4.
Доказать, что любая вещественная симметричная матрица $ A \in \mathbb R^{n\times n} $ с неотрицательными ((:algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения ведущими минорами)) (т.е. ((:2form#знакоопределенность положительно полуопределенная)) ) является матрицей Грама некоторой системы столбцов $ \{X_1,\dots, X_n\} \subset \mathbb R^n $; скалярное произведение задается ((:euclid_space#определения стандартным способом)). Иными словами, любую такую матрицу можно представить в виде произведения
$$ A=C^{\top}C $$
при некоторой матрице $ C \in \mathbb R^{n\times n} $.
5.
[**Пойа**]. Доказать, что определитель
$$ \det [(|X_1|^2+|X_2|^2+\dots+|X_m|^2)E-G(X_1,X_2,\dots,X_m)]=
$$
$$
=\left|
\begin{array}{cccc}
|X_2|^2+\dots+|X_m|^2 & -\langle X_1,X_2 \rangle & \dots & -\langle X_1,X_m \rangle \\
-\langle X_2,X_1 \rangle & |X_1|^2+|X_3|^2+\dots+|X_m|^2 & \dots & -\langle X_2,X_m \rangle \\
\dots & && \dots \\
-\langle X_m,X_1 \rangle & -\langle X_m,X_2 \rangle & \dots & |X_1|^2+\dots+|X_{m-1}|^2
\end{array}
\right|
$$
всегда неотрицателен и обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы $ \{X_1,\dots,X_m\} $ пропорциональны, т.е. $ \{X_j=c_j X \}_{j=1}^m $ при некоторых $ X \in \mathbb E $ и $ \{ c_j \}_{j=1}^ m \subset \mathbb R $.
6.
Вычислить площадь параллелограмма в $ \mathbb R^3 $ с вершинами $ (0,0,0), (1,1,2), (3,1,3), (4,2,5) $.