!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:euclid_space ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО))
----
==Матрица и определитель Грама==
~~TOC~~
Пусть в ((:euclid_space#определения евклидовом пространстве)) $ \mathbb E_{} $ известным образом задано скалярное произведение $ \langle X_{},Y \rangle $. **Матрицей Грама** системы векторов $ \{X_{1},\dots,X_m \} $ называется квадратная матрица, состоящая из всевозможных скалярных произведений этих векторов:
$$
G(X_1,\dots,X_m)=
\left(
\begin{array}{cccc}
\langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\
\langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_m \rangle \\
\dots & & & \dots \\
\langle X_m,X_1 \rangle & \langle X_m,X_2 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle
\end{array}
\right)
= \left[ \langle X_j,X_k \rangle \right]_{j,k=1}^m \ .
$$
Матрица Грама является ((:algebra2#симметричная симметричной матрицей)).
Ее определитель называется **определителем Грама** (или **грамианом**) системы векторов $ \{X_{1},\dots,X_m \} $:
$$
{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_m)=\left|
\begin{array}{cccc}
\langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\
\langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_m \rangle \\
\dots & & & \dots \\
\langle X_m,X_1 \rangle & \langle X_m,X_2 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle
\end{array}
\right| = \det \left[ \langle X_j,X_k \rangle \right]_{j,k=1}^m \ .
$$
!!П!! **Пример.** Если в пространстве $ \mathbb R^{ n } $ строк, состоящих из $ n_{} $ вещественных чисел, скалярное произведение определяется по правилу[[Будем называть этот способ **стандартным**.]]
$$ \langle X,Y \rangle=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \quad npu \quad X=(x_1,x_2,\dots,x_n), Y=(y_1,y_2,\dots,y_n) \ , $$
то матрица Грама строк
$$ X_1=\left(x_{11},x_{12},\dots, x_{1n}\right),\dots,X_m=\left(x_{m1},x_{m2},\dots, x_{mn}\right) $$
вычисляется перемножением матриц:
$$ G(X_1,\dots,X_m)=X\cdot X^{\top} \quad npu \quad X=
\left(\begin{array}{cccc}
x_{11} & x_{12} &\dots & x_{1n} \\
\dots & & & \dots \\
x_{m1}& x_{m2} & \dots & x_{mn}
\end{array} \right)
$$
и при $ ^{\top}_{} $ означающем ((:algebra2#транспонирование транспонирование)). Из ((:algebra/dets/binet_cauchy теоремы Бине-Коши)) немедленно следует, что при $ m>n_{} $ (числе строк превышающем размерность пространства) определитель Грама равен нулю. Этот результат обобщен ((#линейная_независимость_векторов НИЖЕ)) для произвольных евклидовых пространств.
!!П!! **Пример.** Если в пространстве полиномов с вещественными коэффициентами скалярное произведение задано формулой
$$ \langle p(x),q(x) \rangle =\int_0^1 p(t) q(t) d\,t \ ,$$
то
$$ G(1,x,x^2)= \left(
\begin{array}{ccc}
\int_0^1 1 d\,t & \int_0^1 t d\,t & \int_0^1 t^2 d\,t \\
& & \\
\int_0^1 t d\,t & \int_0^1 t^2 d\,t & \int_0^1 t^3 d\,t \\
& & \\
\int_0^1 t^2 d\,t & \int_0^1 t^3 d\,t & \int_0^1 t^4 d\,t
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/3 & 1/4 & 1/5
\end{array} \right) \ .
$$
Обобщение получившейся матрицы известно как ((:interpolation#аппроксимация матрица Гильберта)).
Если система векторов $ \{X_{1},\dots,X_n \} $ образует ((:linear_space#линейная_зависимость_базис_координаты базис пространства)) $ \mathbb E_{} $ (т.е. пространство $ \mathbb E_{} $ является $ n_{} $-мерным), то задание матрицы Грама $ G(X_{1},\dots,X_n) $ позволяет свести вычисление скалярного произведения произвольных векторов из $ \mathbb E_{} $ к действиям над их координатами:
$$ X=x_1X_1+x_2X_2+\dots+x_nX_n,\ Y=y_1X_1+y_2X_2+\dots+y_nX_n \ \Rightarrow $$
$$
\langle X,Y \rangle=\left(x_1,x_2,\dots,x_n \right)
\left(
\begin{array}{cccc}
\langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_n \rangle \\
\langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_n \rangle \\
\dots & & & \dots \\
\langle X_n,X_1 \rangle & \langle X_n,X_2 \rangle & \dots & \langle X_n,X_n \rangle
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}
\right) \ .
$$
===Линейная независимость векторов==
!!Т!! **Теорема.** $ {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m)=0 $ //тогда и только тогда, когда система векторов// $ \{X_{1},\dots,X_m \} $ //((:linear_space#линейная_зависимость_базис_координаты линейно зависима))//.
**Доказательство**
☞
((:euclid_space#свойства_матрицы_грама ЗДЕСЬ)).
!!=>!! Если какой-то ((:algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения главный минор)) матрицы Грама обращается в нуль, то и все главные миноры бóльших порядков обращаются в нуль.
===Свойства определителя Грама==
!!Т!! **Теорема.** $ {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m) \ge 0 $ //для любой системы векторов// $ \{X_{1},\dots,X_m \} $.
**Доказательство**
☞
((:dets:gram:vspom2 ЗДЕСЬ))
!!=>!! При $ m=2_{} $ получаем ((:euclid_space#свойства неравенство Коши-Буняковского)):
$$ \langle X_1,X_1 \rangle \cdot \langle X_2,X_2 \rangle \ge \langle X_1,X_2 \rangle^2 \ . $$
!!=>!! Матрица Грама линейно независимой системы векторов является ((:2form#знакоопределенность положительно определенной)).
!!Т!! **Теорема.** //Пусть// $ X_m^{^{\bot}} $ //означает ((:euclid_space#вычисление_расстояния ортогональную составляющую вектора))// $ X_m $ //относительно// $ {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{m-1}) $. //Тогда//
$$
\mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1},X_m)=\mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1})\left|X_m^{^{\bot}}
\right|^2 \ .
$$
**Доказательство**
☞
((:dets:gram:vspom3 ЗДЕСЬ))
!!=>!! Величина определителя Грама не превосходит его ((algebra2:dets#элементарные_свойства_определителя главного члена)), т.е. произведения элементов его главной диагонали:
$$\mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1},X_m)\le \left|X_1 \right|^2 \times \dots
\times \left|X_{m-1} \right|^2 \left|X_m \right|^2 \ . $$
!!=>!! Для произвольной квадратной вещественной матрицы
$$A=\left( \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}
\right)
$$
справедливо **неравенство Адамара**[[Адамар Жак Саломон (Hadamard Jacques Salomon, 1865-1963) --- французский математик.]]:
$$
\left| \det A \right| \le \sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{1j}^2}
\sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{2j}^2} \times \dots \times
\sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{nj}^2} \ .
$$
Иными словами: модуль определителя матрицы не превосходит произведения длин
его строк. Аналогичное утверждение справедливо и относительно столбцов матрицы.
**Доказательство.** Обозначим $ j_{} $-ю строку матрицы $ A_{} $ через $ A^{[j]} $. Тогда, поскольку $ \det A= \det A^{\top} $ (см. свойство
1
☞
((:algebra2:dets#элементарные_свойства_определителя ЗДЕСЬ)) ), имеем:
$$\left( \det A \right)^2= \det \left(A\cdot A^{\top} \right)= \det
\left[
\begin{array}{cccc}
\langle A^{[1]},A^{[1]} \rangle & \langle A^{[1]},A^{[2]} \rangle & \dots &
\langle A^{[1]},A^{[n]} \rangle \\
\langle A^{[2]},A^{[1]} \rangle & \langle A^{[2]},A^{[2]} \rangle & \dots &
\langle A^{[2]},A^{[n]} \rangle \\
\dots & & & \dots \\
\langle A^{[n]},A^{[1]} \rangle & \langle A^{[n]},A^{[2]} \rangle & \dots &
\langle A^{[n]},A^{[n]} \rangle
\end{array}
\right]=
$$
$$
=\mathfrak{G}\left(A^{[1]},A^{[2]},\dots,A^{[n]} \right)
$$
при задании скалярного произведения в $ \mathbb R^n $ стандартным способом. На основании предыдущего следствия, имеем:
$$
\le \left|A^{[1]} \right|^2 \left|A^{[2]} \right|^2 \times \dots \times \left|A^{[n]} \right|^2 \ .
$$
Равенство возможно тогда и только тогда, когда либо все строки попарно ортогональны, либо хотя бы одна строка --- нулевая.
♦
!!П!! **Пример.**
$$
\left|\det\left(
\begin{array}{rrr}
-47 & 40 & -81 \\
91 & 68 & -10 \\
31 & -51 & 77
\end{array}
\right) \right| \le
$$
$$
\le
\left\{ \begin{array}{cl}
\sqrt{(47^2+40^2+81^2)(91^2+68^2+10^2)(31^2+51^2+77^2)} &\le 1131360 \\
& \\
\sqrt{(47^2+91^2+31^2)(40^2+68^2+51^2)(81^2+10^2+77^2)} & \le 1127957
\end{array}
\right.
$$
при точной величине определителя $ 31867 $.
!!Т!! **Теорема.** //Величина определителя Грама не изменится, если к системе векторов применить ((:euclid_space#ортогонализация алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта)). В обозначениях этого алгоритма имеет место равенство://
$$ {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m) = {\mathfrak G}\left({\mathfrak E}_1,\dots, {\mathfrak E}_m \right)=|{\mathfrak E}_1|^2\times \dots \times
|{\mathfrak E}_m|^2 \ . $$
===Расстояние до линейного многообразия==
!!Т!! **Теорема.** //Расстояние// $ d_{} $ //от точки// $ X_{0} \in {\mathbb E} $ //до ((:linear_space#линейные_многообразия линейного многообразия)) в// $ \mathbb E_{} $
$$
Y_0+\mathcal L(Y_1,\dots,Y_k)=
\{ Y_0+\lambda_1 Y_1+\dots+\lambda_k Y_k \ \mid \
\{\lambda_1,\dots,\lambda_k\} \subset {\mathbb R} \}
$$
//и при фиксированных ((:linear_space#линейная_зависимость_базис_координаты линейно независимых))//
$ \{Y_{0},Y_1,\dots,Y_k \}\subset {\mathbb E} $,
//вычисляется по формуле//
$$
d=\sqrt{\frac{{\mathfrak G}(Y_1,\dots,Y_k, X_0-Y_0)}{{\mathfrak G}(Y_1,\dots,Y_k)}} \ .
$$
**Доказательство** для случая $ Y_0=\mathbb O_{} $
☞
((:euclid_space:vspom2 ЗДЕСЬ)). Случай $ Y_{0}\ne \mathbb O $ сводится к предыдущему сдвигом пространства на вектор $ (- Y_{0}) $: см. комментарии к теореме $ 5_{} $
☞
((:euclid_space#вычисление_расстояния ЗДЕСЬ)).
♦
!!§!! Другие применения определителя Грама в задачах вычисления расстояний между поверхностями в $ {\mathbb R}^{n} $
☞
((:algebra2:optimiz:distance ЗДЕСЬ)).
===Объемы параллелепипедов==
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Если параллелограмм построен на векторах $ X_{1} $ и $ X_2 $ из $ \mathbb R^2 $, то за основание можно принять длину вектора $ X_{1} $, а за высоту --- длину перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ X_2 $ на ось вектора $ X_{1} $.
{{ dets:square.gif |}}
Аналогично, объем параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,X_3 $ из $ \mathbb R^{3} $, равен произведению площади основания на высоту; площадь основания --- это площадь параллелограмма, построенного на векторах $ X_1,X_2 $, а высота --- длина перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ X_3 $ на плоскость векторов $ X_1,X_2 $.
{{ dets:volume.gif |}}
Объем $ k_{} $-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве $ \mathbb E_{} $ определим по индукции. Если этот параллелепипед построен на векторах $ X_1,X_2,\dots,X_{k-1},X_k $, то за его **объем** примем произведение объема $ (k-1) $-мерного параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,\dots,X_{k-1} $ на ((:euclid_space#вычисление_расстояния длину перпендикуляра)), опущенного из точки $ X_{k} $ на ((:linear_space#линейная_зависимость_базис_координаты линейную оболочку)) векторов $ X_1,X_2,\dots,X_{k-1} $ (т.е. на длину ортогональной составляющей $ X_k $ относительно $ \mathcal L ( X_1,X_2,\dots,X_{k-1}) $):
$$\mathbf V(X_1,X_2,\dots,X_{k-1},X_k)=\left|X_k^{\bot} \right| \mathbf V(X_1,X_2,\dots,X_{k-1}) \ . $$
!!Т!! **Теорема.** //Квадрат объема параллелепипеда, построенного на векторах// $ X_1,X_2,\dots,X_k $, //совпадает с величиной определителя Грама от той же системы векторов//:
$$[V(X_1,X_2,\dots,X_k)]^2= \mathfrak G (X_1,X_2,\dots,X_k) \ .$$
**Доказательство** следует из представления длины ортогональной составляющей $ X_k^{^{\bot}} $ через определители Грама (см. теорему $ 2_{} $ и следствие к ней
☞
((:euclid_space#вычисление_расстояния ЗДЕСЬ)) ).
!!=>!! Модуль определителя вещественной матрицы
$$ A=
\left( \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}
\right)
$$
равен объему параллелепипеда в пространстве $ \mathbb R^{n}_{} $, построенного на вершинах с координатами
$$ (0,0,\dots, 0), (a_{11},a_{12}, \dots , a_{1n}),(a_{21},a_{22}, \dots , a_{2n}), \dots, (a_{n1},a_{n2}, \dots, a_{nn}) $$
(т.е. "построенного на строках матрицы") и равен объему параллелепипеда
построенного на вершинах с координатами
$$ (0,0,\dots, 0), (a_{11},a_{21}, \dots , a_{n1}),(a_{12},a_{22}, \dots , a_{n2}), \dots, (a_{1n},a_{2n}, \dots, a_{nn}) $$
(т.е. "построенного на столбцах матрицы").
**Доказательство** фактически совпадает с доказательством ((#свойства_определителя_грама неравенства Адамара)):
$$ \left(\det A \right)^2 = \left\{ \begin{array}{cc}
\det \left(A \cdot A^{\top}\right)=\mathfrak G (A^{[1]},A^{[2]},\dots,A^{[n]}) &=
\left[\mathbf V(A^{[1]},A^{[2]},\dots,A^{[n]})\right]^2 \\
& \\
\det \left(A^{\top} \cdot A \right) =
\mathfrak G (A_{[1]},A_{[2]},\dots,A_{[n]}) & = \left[\mathbf V(A_{[1]},A_{[2]},\dots,A_{[n]})\right]^2
\end{array} \right. $$
♦
==Задачи==
☞
((:dets:gram:problems ЗДЕСЬ)).