!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:dets:geometry ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ))
----
==Теорема Птолемея и ее развитие==
~~TOC~~
===Теорема Птолемея==
!!Т!! **Теорема [Птолемей]**.// Точки//
$$ P_1=(x_{1},y_1) , P_2=(x_2,y_2), P_3 =(x_{3},y_3), P_4=(x_{4},y_4) $$
//лежат на одной окружности или на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство//
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 \\
|P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 \\
|P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 \\
|P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0
\end{array}
\right|=0 .
$$
//Здесь// $ |P_jP_k|^2=(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2 $.
**Доказательство.** Уравнение
$$
\left|
\begin{array}{llll}
x^2+y^2 & x & y & 1 \\
x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2& 1 \\
x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3& 1
\end{array}
\right|=0 .
$$
задает уравнение окружности, проходящей через точки $ P_1,P_2,P_3 $ или, в случае коллинеарности этих точек, прямой, через них проходящей. Точка $ P_4 $ будет лежать на той же
окружности (соответственно, прямой) тогда и только тогда, когда определитель матрицы
$$
W=
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
y_1 & y_2 & y_3& y_4 \\
x_1^2+y_1^2 & x_2^2+y_2^2 & x_3^2+y_3^2& x_4^2+y_4^2
\end{array}
\right)
$$
обращается в нуль. Составим вспомогательную матрицу
$$
\tilde W=
\left(
\begin{array}{cccc}
x_1^2+y_1^2 & -2\,x_1 & -2\,y_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2 & -2\,x_2 & -2\,y_2 & 1 \\
x_3^2+y_3^2 & -2\,x_3 & -2\,y_3 & 1 \\
x_4^2+y_4^2 & -2\,x_4 & -2\,y_4 & 1
\end{array}
\right) \ ;
$$
очевидно:
$$ \det (\tilde W)=-4 \det (W) \ . $$
((:algebra2#умножение_матриц Произведение матриц)) дает матрицу из условия теоремы
$$
\tilde W \cdot W =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 \\
|P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 \\
|P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 \\
|P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0
\end{array}
\right) \ .
$$
По ((:algebra2:dets#теорема_бине_-_коши теореме Бине-Коши)) ее определитель равен
$$ - 4 \, [\det (W)]^2 \ . $$
♦
В литературе более известна другая формулировка теоремы.
!!=>!! Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин его противоположных сторон.
**Доказательство.** Эквивалентность двух формулировок следует из равенства
$$ \left|
\begin{array}{cccc}
0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 \\
|P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 \\
|P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 \\
|P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0
\end{array}
\right|=
$$
$$ -\left(|P_1P_2|\cdot |P_3P_4|+|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|+|P_1P_3|\cdot |P_2P_4| \right)\times $$
$$ \times \left(|P_1P_2|\cdot |P_3P_4|+|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|-|P_1P_3|\cdot |P_2P_4| \right) \times $$
$$ \times \left(|P_1P_2|\cdot |P_3P_4|-|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|+|P_1P_3|\cdot |P_2P_4| \right) \times $$
$$ \times \left(-|P_1P_2|\cdot |P_3P_4|+|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|+|P_1P_3|\cdot |P_2P_4| \right) \ . $$
Первый сомножитель в нуль не обращается. Каждый из трех оставшихся имеет одинаковую структуру. Мы заранее не знаем как занумерованы вершины четырехугольника. Один из сомножителей как раз и отвечает ситуации "сумма произведений длин противоположных сторон минус произведение длин диагоналей" выпуклого четырехугольника. Покажем, к примеру, что если выпуклым является четырехугольник $ P_1P_2P_3P_4 $ то необходимо будет выполняться условие
$$ |P_1P_2|\cdot |P_3P_4|+|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|=|P_1P_3|\cdot |P_2P_4| \ . $$
{{ dets:geometry:ptolemy11.jpg |}}
Для вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна $ 2\, \pi $; следовательно, существует сторона, два прилегающих угла к которой являются тупыми. Пусть этой стороной является $ P_2P_3 $ --- как на рисунке. Очевидно, что
$$ |P_1P_3|> |P_1P_2|,\ |P_1P_3|> |P_2P_3|,\ |P_2P_4|> |P_2P_3|,\ |P_2P_4|> |P_3P_4| \ . $$
Таким образом,
$$ |P_1P_3| \cdot |P_2P_4| > |P_1P_2| \cdot |P_3P_4| \ , $$
и, следовательно, четвертый сомножитель положителен:
$$ |P_2P_3|\cdot |P_1P_4|+|P_1P_3|\cdot |P_2P_4|-|P_1P_2|\cdot |P_3P_4|> 0 \ . $$
С другой стороны выражение
$$ |P_1P_3| \cdot |P_2P_4| - |P_2P_3|\cdot |P_1P_4|=|P_1P_3| ( |P_2P_4| - |P_2P_3|)-|P_2P_3|(|P_1P_4|-|P_1P_3|) $$
положительно при условии $ |P_1P_3|< |P_1P_4| $ поскольку $ |P_2P_4| > |P_2P_3| $.
Если же $ |P_1P_4|>|P_1P_3| $, то из очевидного неравенства
$$ |P_1P_3| + |P_2P_4|> |P_1P_4|+|P_2P_3| $$
следует
$$|P_2P_4|-|P_1P_4|>|P_2P_3|-|P_2P_4| $$
и снова
$$ |P_1P_3| \cdot |P_2P_4| - |P_2P_3|\cdot |P_1P_4|>(|P_1P_4|-|P_1P_3|)(||P_1P_3|-|P_2P_3|) >0 \ . $$
Таким образом, во всех случаях $ |P_1P_3| \cdot |P_2P_4| > |P_2P_3|\cdot |P_1P_4| $ и третий сомножитель положителен:
$$ |P_1P_2|\cdot |P_3P_4|-|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|+|P_1P_3|\cdot |P_2P_4|>0 \ . $$
Таким образом, при данном обозначении вершин выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность, обязательно будет выполнено равенство
$$ |P_1P_2|\cdot |P_3P_4|+|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|=|P_1P_3|\cdot |P_2P_4| \ . $$
♦
===Пространственный аналог==
!!Т!! **Теорема.** // Точки//
$$ P_1=(x_{1},y_1,z_1) , P_2=(x_2,y_2,,z_2), P_3 =(x_{3},y_3,z_3),P_4=(x_4,y_4,z_4), P_5=(x_{5},y_5,z_5) $$
//лежат на одной сфере или на одной плоскости тогда и только тогда, когда выполнено равенство//
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 & |P_1P_5|^2 \\
|P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_2P_5|^2 \\
|P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & |P_3P_5|^2 \\
|P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & |P_4P_5|^2 \\
|P_1P_5|^2 & |P_2P_5|^2 & |P_3P_5|^2 & |P_4P_5|^2 & 0
\end{array}
\right|=0 \ .
$$
//Здесь// $ |P_jP_k|^2=(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2+(z_j-z_k)^2 $.
**Доказательство** полностью аналогично доказательству теоремы из предыдущего пункта. Матрица
$$
W=
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 \\
y_1 & y_2 & y_3& y_4 & y_5 \\
z_1 & z_2 & z_3& z_4 & z_5 \\
x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_5^2+y_5^2+z_5^2
\end{array}
\right)
$$
имеет нулевой определитель тогда и только тогда, когда точки $ \{P_j\}_{j=1}^5 $ лежат на одной сфере или на одной плоскости. Определитель вспомогательной матрицы
$$
\tilde W=
\left(
\begin{array}{ccccc}
x_1^2+y_1^2+z_1^2 & -2\,x_1 & -2\,y_1 & -2\,z_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2+z_2^2 & -2\,x_2 & -2\,y_2 & -2\,z_2 & 1 \\
x_3^2+y_3^2+z_3^2 & -2\,x_3 & -2\,y_3 & -2\,z_3 & 1 \\
x_4^2+y_4^2+z_4^2 & -2\,x_4 & -2\,y_4 & -2\,z_4 & 1 \\
x_5^2+y_5^2+z_5^2 & -2\,x_5 & -2\,y_5 & -2\,z_5 & 1
\end{array}
\right)
$$
равен $ 8\,\det (W) $. Произведение матриц $ \tilde W \cdot W $ дает матрицу из условия теоремы.
♦
===Матрица расстояний==
Пусть в произвольном ((:euclid_space#определения евклидовом пространстве)) $ \mathbb E $ задана система точек $ \{P_1,\dots,P_m\} $. Матрица
$$
\left[ |P_jP_k| \right]_{j,k=1}^m =\left(
\begin{array}{cccc}
0 & |P_1P_2| & \dots & |P_1P_m| \\
|P_1P_2| & 0 & \dots & |P_2P_m| \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
|P_1P_m| & |P_2P_m| & \dots & 0
\end{array}
\right)
$$
называется ((http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B9 матрицей расстояний)) этой системы.
Иногда в качестве матрицы расстояний берут матрицу
$$
\mathfrak D=\left[ |P_jP_k|^2 \right]_{j,k=1}^m =\left(
\begin{array}{cccc}
0 & |P_1P_2|^2 & \dots & |P_1P_m|^2 \\
|P_1P_2|^2 & 0 & \dots & |P_2P_m|^2 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
|P_1P_m|^2 & |P_2P_m|^2 & \dots & 0
\end{array}
\right) \ ,
$$
состоящую из квадратов расстояний, т.е. как раз ту, что рассматривается в теореме Птолемея.
!!Т!! **Теорема.** //Пусть в пространстве// $ \mathbb R^{n}_{} $ //даны точки//
$$ \{P_j=(x_{j1},x_{j2},\dots,x_{jn}) \}_{j=1}^m $$
//и расстояние определяется формулой//
$$ |P_jP_k|^2=\sum_{i=1}^n (x_{ji}-x_{ki})^2 \ . $$
//Тогда в случае// $ m>n+2 $ //имеем// $ \det (\mathfrak D)=0 $. //В случае// $ m=n+2 $ //условие// $ \det (\mathfrak D)=0 $ //необходимо и достаточно для того, чтобы точки// $ \{P_j\}_{j=1}^m $ //лежали на одной сфере или же на одном ((:linear_space#линейные_многообразия линейном многообразии)) (гиперплоскости) в// $ \mathbb R^{n}_{} $.
**Доказательство.** По аналогии с доказательствами теорем предыдущих пунктов составим матрицы
$$
W=
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & \dots & 1 \\
x_{11} & x_{21} & \dots & x_{m1} \\
x_{12} & x_{22} & \dots & x_{m2}\\
\dots & & & \dots \\
x_{1n} & x_{2n} & \dots & x_{mn} \\
x_{11}^2+x_{12}^2+\dots + x_{1n}^2 & x_{21}^2+x_{22}^2+\dots + x_{2n}^2 & \dots & x_{m1}^2+x_{m2}^2+\dots + x_{mn}^2
\end{array}
\right)_{(n+2)\times m}
$$
и
$$
\tilde W=
\left(
\begin{array}{cccccc}
x_{11}^2+x_{12}^2+\dots + x_{1n}^2 & -2\,x_{11} & -2\,x_{12} & \dots & -2\,x_{1n} & 1 \\
x_{21}^2+x_{22}^2+\dots + x_{2n}^2 & -2\,x_{21} & -2\,x_{22} & \dots & -2\,x_{2n} & 1 \\
\dots & & & & & \dots \\
x_{m1}^2+x_{m2}^2+\dots + x_{mn}^2 & -2\,x_{m1} & -2\,x_{m2} & \dots & -2\,x_{mn} & 1
\end{array}
\right)_{m\times (n+2)} \ .
$$
В отличие от предыдущих пунктов, при $ m\ne n+2 $ эти матрицы не являются квадратными. Тем не менее, произведение $ \tilde W \cdot W $ является квадратной матрицей
порядка $ m_{} $. По ((:algebra2:dets#теорема_бине_-_коши теореме Бине-Коши)), в случае $ m>n+2 $ будет выполнено $ \det( \tilde W \cdot W)=0 $. В случае $ m=n+2 $ обе матрицы
будут квадратными при
$$ \det (\tilde W) = (-1)^{n+1}2^n \det (W) \ . $$
Таким образом,
$$
\det (\mathfrak D)=(-1)^{n+1}2^n [\det (W)]^2 \ .
$$
♦
==Источники==
[1]. **Uspensky J.V.** //Theory of Equations.// New York. McGraw-Hill. 1948