**((:subject_index Указатель))** --- **((:content Разделы))** --- **((:algebra2:notations Обозначения))** --- **((:users:au:index Автор))** --- **((:start:project_history О проекте))** ---- Вспомогательная страница к разделу ((:dets:geometry#тетраэдра ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ)) ---- !!Т!! **Теорема.** //Тетраэдр в// $ \mathbb R^{3} $ //задан вершинами// $ P_1= (x_{1},y_1,z_1) ,P_2=(x_2,y_2,z_2) , P_3=(x_3,y_3,z_3) , P_4=(x_4,y_4,z_4) $. //Справедлива// **формула Тартальи** (**Кэли-Менгера**) //для квадрата его объема через длины его ребер//: $$ V^2=\frac{1}{288} \left| \begin{array}{ccccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \ . $$ **Доказательство.** Перемножим два определителя $$ \underbrace{\left| \begin{array}{ccccc} (P_1,P_1) & x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ (P_2,P_2) & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ (P_3,P_3) & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ (P_4,P_4) & x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right|}_{\det A} \cdot \underbrace{\left| \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ -2\,x_1 & -2\,x_2 & -2\,x_3 & -2\,x_4 & 0 \\ -2\,y_1 & -2\,y_2 & -2\,y_3 & -2\,y_4 & 0 \\ -2\,z_1 & -2\,z_2 & -2\,z_3 & -2\,z_4 & 0 \\ (P_1,P_1) & (P_2,P_2) & (P_3,P_3) & (P_4,P_4) & 1 \end{array} \right|}_{\det B} \ ; $$ здесь $ (P_j,P_j) = x_j^2+y_j^2+z_j^2 $ для $ j\in \{1,2,3,4\} $. С одной стороны, по ((:algebra2:dets#теорема_бине_-_коши теореме Бине-Коши)), это произведение равно искомому определителю $$ \det (AB)= \left| \begin{array}{ccccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \, . $$ С другой стороны, разложением $ \det A_{} $ (и $ \det B $) по последней строке (по последнему столбцу) получаем $$ \det A= \left| \begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|= -\left| \begin{array}{llll} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{array} \right| \ , \det B = \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2\,x_1 & -2\,x_2 & -2\,x_3 & -2\,x_4 \\ -2\,y_1 & -2\,y_2 & -2\,y_3 & -2\,y_4 \\ -2\,z_1 & -2\,z_2 & -2\,z_3 & -2\,z_4 \end{array} \right|=(-2)^3 \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \end{array} \right| \ . $$ Определители в правых частях равны ((:dets:geometry#тетраэдра шестикратному объему тетраэдра)). ♦ ((dets:geometry:cayley:test1 .))